数的发展史
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数的发展史
引言
数，
是
数学中的基本概念，
也是人类文明的重要组成部分。
数的概念的
每一次扩
充都标志着数学的巨大飞跃。
一个时代人们对于数的认
识与应用，
以及数系理论
的完善程度，反映了当时数学发展的水
平。今天，我们所应用的数系，已经构造
的如此完备和缜密，
以
致于在科学技术和社会生活的一切领域中，
它都成为基本
的语言
和不可或缺的工具。在我们得心应手地享用这份人类文明的共同财富时，
是否想到在数系
形成和发展的历史过程中，
人类的智慧所经历的曲折和艰辛呢？
有理数
位置制记数法的出现，标志着人类
掌握的数的语言，已从少量的文字个体，
发展到了一个具有完善运算规则的数系。
人类第一个认识的数系，
就是常说的
“自
然数系”
。但是，随着人类认识的发展，自然数系的缺陷也就逐渐显
露出来。首
先，自然数系是一个离散的、而不是稠密的数系，因此，作为量的表征，它只
能
限于去表示一个单位量的整数倍，
而无法表示它的部分。
同时，
作为运算的手段，
在自然数系中只能
施行加法和乘法，
而不能自由地施行它们的逆运算。
这些缺陷，
由于分数和负数的出现而得以弥补。
有趣的是这些分数也都带有强烈的地域特征。巴比伦的分数是
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进位的，
埃及采用的是单分数，阿
拉伯的分数更加复杂：单分数、主分数和复合分数。这
种繁复的分数表示必然导致分数运
算方法的繁杂，
所以欧洲分数理论长期停滞不
前，直到
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世纪以后才逐步形成现代的分数算法。与之形成鲜明对照的是中国<
/p>
古代在分数理论上的卓越贡献。
原始的分数概念来源于对量的分割。
如
《说文·
八部》
对
< br>“分”
的解释：
“分，
别也。从
八从刀，刀以分别物也。
”但是，
《九章算术》中的分数是从除
法运算引
入的。其“合分术”有云：
“实如法而一。不满法者，
以法命之。
”这句话的今译
是：被除数除以除数。如果不能除尽
，便定义了一个分数。中国古代分数理论的
高明之处是它借助于“齐同术”把握住了分数
算法的精髓：通分。刘徽在《九章
算术注》中所言：
众分错杂，非细不会。乘而散之，
所以通之。通之则可并也。凡母互乘子谓
之齐，群母相乘谓之同。同者，相与通同共一母
也。齐者，子与母齐，势不可失
本数也。
有了齐同术，
就可将分数化异类为同类，
变相违为相通。
刘徽深得其中奥
秘，
称：
“然则齐同之术要矣。错综度数，动之斯谐，其犹佩<
/p>
?
解结，无往而不理焉。
乘以散之，约以
聚之，齐同以通之，此其算之纲纪乎。
”
容易证明，
分数系是一个稠密的数系，
它对于加、
乘、
< br>除三种运算是封闭的。
为了使得减法运算在数系内也同行无阻，
< br>负数的出现就是必然的了。
盈余与不足、
收入与支出、<
/p>
增加与减少是负数概念在生活中的实例，
教科书在向学生讲授负数
是也多循此途。
这就产生一种误解：
似
乎人类正是从这种具有相反意义的量的认
识而引进了负数的。
历
史的事实表明：
负数之所以最早为中算家所引进，
这是由
中国古代传统数学中，
算法高度发达和筹算机械化的特点所决定的。<
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负数的概念
和算法首先出现在《九章算术》
“方程”章，因为对“方程”进行两行之间的加
减消元时，
就
必须引入负数和建立正负数的运算法则。
刘徽的注释深刻的阐明了
这点：
今两算得失相反，要令正负以名之。正算赤，负算黑，否则以斜正为异。方
程自有赤黑
相取，
左右数相推求之术。
而其并减之势不得广通，
故使赤黑相消夺