数论发展的历史
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数论发展的历史
数论概述
人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，
后来由于实践的
需要，
数的概
念进一步扩充，
自然数被
叫做正整数，
而把它们的相反数叫做负整数，
介于正整
数和负整数中间的中性数叫做
0
。它们合起来叫
做整数。（注：现在，自然数的
概念有了改变，包括正整数和
0
）
对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。其中加法、减法
和乘法这三种运算，
在整数范围内可以毫无阻碍地进行。
也就是说，
任意两个或
两个以上的整数相加、相减、相乘的时
候，它们的和、差、积仍然是一个整数。
但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无
阻碍地进行。
< br>人们在对整数进行运算的应用和研究中，
逐步熟悉了整数的特性。
比如，
整数
可分为两大类
—<
/p>
奇数和偶数（通常被称为单数、双数）等。利用整数的一些基本
性
质，
可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，
正是这些特性
的魅力，
吸引
了古往今来许多的数学家不断地研究和探索。
数论这门学
科最初是从研究整数开始的，
所以叫做整数论。
后来整数论又进
一
步发展，就叫做数论了。确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科。
数论的发展简况
自古以来，
数学家对于整数性质的研
究一直十分重视，
但是直到十九世纪，
这
些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中，
也就是说还没有形成完
整统一的学科。
自我国古代，
许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述，<
/p>
比如求最大公约
数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。
在国外，古希腊时代的数学家
对于数论中一个最基本的问题
——
整除性问题就有系统的研究，
关于质数、
和数、
约数、
倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。
后来的各个时代的数学家也都
对整数性质的研究做出过重大的贡献，
使数论的基本理论逐步得到完善。
在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整数的基本
“
材料
”
，要深入研究
整数的性质就必须研究质数的性质。
因此关于质数性质的有关问题，
< br>一直受到数
学家的关注。
到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识
已经十分丰富
了，
把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已
经完全成熟了。
德国数学家高
斯集中前人的大成，写了一本书叫
做《算术探讨》，
1800
年寄给了法国科学院，
但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作，
高斯只好在
1801
年自己发表了这部著
作。这部书开始了现代数论的新纪
元。
在
《算术探讨》中，高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了，把当时现
存的定理系统
化并进行了推广，
把要研究的问题和意志的方法进行了分类，
还
引
进了新的方法。
数论的基本内容
数论形成了一门独立的学科后，
随着
数学其他分支的发展，
研究数论的方法也
在不断发展。如果按照
研究方法来说，可以分成初等数论、解析数论、代数数论
和几何数论四个部分。
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初等数论是
数论中不求助于其他数学学科的帮助，
只依靠初等的方法来研究整
数性质的分支。比如中国古代有名的
“
中国剩余定理
”
，就是初等数论中很重要的
内容。
解析数论是使用数
学分析作为工具来解决数论问题的分支。
数学分析是以函数
作为
研究对象的、
在极限概念的基础上建立起来的数学学科。
用数学
分析来解决
数论问题是由欧拉奠基的，
俄国数学家车比雪夫等也
对它的发展做出过贡献。
解
析数论是解决数论中艰深问题的强有
力的工具。比如，对于
“
质数有无限多个
”
这
个命题，
欧拉给出了解析方法的
证明，
其中利用了数学分析中有关无穷级数的若
干知识。二十世
纪三十年代，苏联数学家维诺格拉多夫创造性的提出了
“
三角和
方法
”
，这个方法对于解决某些数论难
题有着重要的作用。我国数学家陈景润在
解决
“
哥德巴赫猜想
”
问题中使用的是解析数论中的筛法。<
/p>
代数数论
是把整数的概念推广到代数整数的一个分支。
数学家把整数概念推广
到一般代数数域上去，相应地也建立了素整数、可除性等概念。
几何数论是由德国数学家、
物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的。
几何数论
研究的基本对象是
“
空间格网
”<
/p>
。什么是空间格网呢？在给定的直角坐标系上，坐
标全是整数的点
，
叫做整点；
全部整点构成的组就叫做空间格网。
空间格网对几
何学和结晶学有着重大的意义。
由于几
何数论涉及的问题比较复杂，
必须具有相
当的数学基础才能深入
研究。
数论是一门高度抽象的数学学科，
长期以来，
它的发展处于纯理
论的研究状态，
它对数学理论的发展起到了积极的作用。
但对于
大多数人来讲并不清楚它的实际
意义。
由于近代计算机科学和应用数学的
发展，
数论得到了广泛的应用。
比如在计算
方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果；
又文
献报道，现在有些国家应用
“
孙子定理
”
来进行测距，用原根和指数来计算离
散傅立叶变换等。
此外，
数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、
差集合、
快速变换等方面得到了应用。
特别是现在由于
计算机的发展，
用离散量的计算去
逼近连续量而达到所要求的精
度已成为可能。
数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过
“
数学是
科学的皇后，数论是数
学中的皇冠
”
。
因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫做
“
皇
冠上的明珠
”
，以鼓励人们去
“
摘取
”
。下面简要
列出几颗
“
明珠
”
：费尔马大定理、
孪生素数问题、歌德巴赫猜想、圆内整点问题、完全数问题
……
在我国近代，数论也是发展最早的数学分支之一。从二十世纪三十年代开始，
在解析数论、刁藩都方程、一致分布等方面都有过重要的贡献，出现了华罗庚、
闵嗣
鹤、
柯召等第一流的数论专家。
其中华罗庚教授在三角和估值、
堆砌素数论
方面的研究是享有盛名的。
1949
年以后，数论的研究的得到了更大的发展。特
别是在<
/p>
“
筛法
”
和
“
歌德巴赫猜想
”
方面的研究，已取得世界领先的优秀成绩。
特别是陈景润在
1966
年证明
“
歌德巴赫猜想
”
的
“
一个大偶数可以表示为一个素
数和一个不超过两个素数的乘积之和
”
以后
，在国际数学引起了强烈的反响，盛
赞陈景润的论文是解析数学的名作，是筛法的光辉顶
点。至今，这仍是
“
歌德巴
赫猜想
”
的最好结果。
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