，这叫做“无标度性”的问题。

如物理 学中的湍流，湍流是自然界中普遍现象，小至静室中缭绕的轻烟，巨至木星大气中的涡流，都是

< br>十分紊乱的流体运动。流体宏观运动的能量，经过大、中、小、微等许许多度尺度上的漩涡，最后转化成分

子尺度上的热运动，同时涉及大量不同尺度上的运动状态，就要借助“无标度性”解决问 题，湍流中高漩涡

区域，就需要用分形几何学。

在二十世纪七十年代，法国数学家曼德尔勃罗特在他的著作中探讨了英国的海岸线有多长？这 个问题这

依赖于测量时所使用的尺度。

如果用公里作测量单位，

从几米到几十米的一些曲折会被忽略；

改用米来做单位，

测得的总长度会增加，

但 是一些厘米量级以下的就不能反映出来。由于涨潮落潮使海岸线的水陆分界线具有各种层次的不规则性。

海岸线在大小两个方向都有自然的限制，取不列颠岛外缘上几个突出的点，用直线把它们连起来， 得到海岸

线长度的一种下界。使用比这更长的尺度是没有意义的。还有海沙石的最小尺度 是原子和分子，使用更小的

尺度也是没有意义的。在这两个自然限度之间，存在着可以变 化许多个数量级的“无标度”区，长度不是海

岸线的定量特征，就要用分维。

数学家寇赫从一个正方形的“岛”出发，始终保持面积不变， 把它的“海岸线”变成无限曲线，其长度

也不断增加，并趋向于无穷大。以后可以看到， 分维才是“寇赫岛”海岸线的确切特征量，即海岸线的分维

均介于

1

到

2

之间。

这些自然现象，特别是物理现象和分形有着密切的关系，银河系中的若断若续的星体分布 ，就具有分维

的吸引子。多孔介质中的流体运动和它产生的渗流模型，都是分形的研究对 象。这些促使数学家进一步的研

究，从而产生了分形几何学。

电子计算机图形显示协助了人们推开分形几何的大门。这座具有无穷层次结构的宏伟建筑，每 一个角落

里都存在无限嵌套的迷宫和回廊，促使数学家和科学家深入研究。

法国数学家曼德尔勃罗特这位计算机和数学兼通的人物，

对分形几何产生了重大的推动作用。

他在

1 975

、

1977

和

< br>1982

年先后用法文和英文出版了三本书，特别是《分形——形、机遇和维数》 以及《自然界中的分

形几何学》

，开创了新的数学分支——分形 几何学。

还有拓扑学、微分几何等，这些几 何分支的纯学术研究和应用，构成了当代几何的内容。

有关时空观念，人们对其又有了新的理解。

< br>4

．接下来，我们要进行讨论，主要包括

2

点：

几何学的发展模式

空间、时间观念的更新

从以上的文段 中，我们可以知道，整个几何学的历史，大致分为

4

个时期：< /p>

1

、欧几里得几何

2

、解析几何、画法几何、射影几何

（

2

、

3

间相对独立的有微分几何、拓扑学，后来成为重要一支）

3

、非欧几何（罗巴切夫斯基几何、黎曼几何）

、分形几何

4

、现代的几何研究

几何学在“公理化”时期后进入

4

。

< br>

在那段时期，数学上有

3

个派 别：逻辑主义、直觉主义、形式主义。我们经研究后发现，数学这门逻辑

性极强的学科， 竟是如此地背离逻辑地发展。粗略来说，在不同阶段，三者发挥的作用各不相同。

对于基础建立不牢，逻辑化最重要；对于构造性证明，飞跃式发展而言，直觉最重要；对于发 挥符号作用，

发展数学语言，形式化最重要。

人类一直以来都是认为空间是一个物质运动的舞台，而时间则是像一条河，无止休地流逝。几何学的对< /p>

象由直的到曲的，后来竟然连背景也是曲的。广相更是让我们改变观念。现今，对时空的理 解还是新鲜的问

题。

这篇论 文到这已经算完了，但还是不足以囊括几何史这个庞大的对象，只能算是从高中生的角度出发的

< br>导引性文章。

教师评语：

关于几何发展史的认识，相当部分同学都只是循教材编辑设置 有些了解。现通过网络和阅读文献等手

段，主动参与和博览，对几何的总体结构有了较清 晰的体会，培养了学生自主探究的科学态度和钻研精神。

有助于文理科方法的互补整合提 高，也为同学学好文化科，用发展的观点看知识的发展更新，符合科学发展

观。这是一篇 较好的研究报告。

参考文献：

1

、

〈数学文化〉方延明

< br>

2

、

〈数学史辞典〉杜瑞芝

3

、数学之旅丛书

（在大科普网上有更详细的资料）

6

、收获和体会：

这次研 究花费的时间比预定的时间

3

个月要长，

但我们小组还是完满地完成任务了。

通过这次研究，

我的

目光更开阔了。在研究中，好几次进入死胡同，不知道什么该编进来，什么是作用不大的，还 有怎样从浅而

明的角度理解。这些使我学会了怎样研究问题，把握重心。我知道了对一个 学科的历史的研究，其作用并非

会立竿见影，但是就知道了人们是怎样从不知到知、从具 体到抽象的。这种作用对几何，乃至数学，是做多

少习题都比不上的。因为这是截然不同 的作用。

附录

1

公理化方法：在一个数学理论 系统中，从尽可能少的原始概念和一组不加证明的公理出发，用纯逻辑推理的

法则，把该 系统建立成一个演绎系统的方法，就是公理化方法。它是随着数学和逻辑学的发展而产生的。

欧氏几何：几何学的一门分科。公元前

3

世纪，古希腊数学家欧 几里德把人们公认的一些几何知识作为定义

和公理，在此基础上研究图形的性质，推导出 一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》

，形成了欧氏几

何。在其公理体系中，最重要的是平行公理，由于对这一公理的不同认识，导致非欧几何的产生。按所讨论

的图形在平面上或空间中，分别称为“平面几何”与“立体几何”

。< /p>

欧几里德几何指按照欧几里德的《几何原本》构造的几何学。

欧几里德几何有时就指平面上的几 何，

即平面几何。

三维空间的欧几里德几何通常叫做立体几何。

高维

的情形请参看欧几里德空间。

数学上，欧几里德几何是平面和三 维空间中常见的几何，基于点线面假设。数学家也用这一术语表示具

有相似性质的高维几 何。

黎曼几何：德国数学家黎曼创立，他在

1851

年所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中明确的提

< br>出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域。

黎曼几何中的一条基本规定是：在 同一平面内任何两条直线都有公共点

(

交点

)

。在黎曼几何学中不承认

平行线的存在，它的另一条公设 讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过

适当“改进” 的球面。

近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在 物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼

几何。在广义相对论里，爱因斯坦 放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种

近似性而均匀的 ，

但是整个时空却是不均匀的。

在物理学中的这种解释，

恰恰是和黎曼几何的观念是相似的。

微分几 何学：光滑曲线

(

曲面

)

作为研究对象，所以整个微分几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等

概念展开的。既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质，则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线

在一点的曲率等，就是微分几何中重要的讨论内容，而要计算曲线或曲面上每一点的曲率就要用 到微分的方

法。

在曲面上有两条重要概念，就是曲面上的距离和角。比如，在曲面上由一点到另一点的路径是 无数的，

但这两点间最短的路径只有一条，叫做从一点到另一点的测地线。在微分几何里 ，要讨论怎样判定曲面上一

条曲线是这个曲面的一条测地线，还要讨论测地线的性质等。 另外，讨论曲面在每一点的曲率也是微分几何

的重要内容。

在微分几何中，

为了讨论任意曲线上 每一点邻域的性质，

常常用所谓

“活动标形的方法”