现代数学的发展与意义
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现代数学的发展与意义
关键词：现代数学
历史
意义
现代数学时期是指由
19
世纪
20
年代至今，这一时期数学主要研究的是最
一
般的数量关系和空间形式，
数和量仅仅是它的极特殊的情形，
通
常的一维、
二
维、三维空间的几何形象也仅仅是特殊情形。抽象
代数、拓扑学、泛函分析是整
个现代数学科学的主体部分。
它们
是大学数学专业的课程，
非数学专业也要具备
其中某些知识。<
/p>
变量数学时期新兴起的许多学科，
蓬勃地向前发展，
内容和方法
不断地充实、扩大和深入。
18
、
19
世纪之交，数
学已经达到丰沛茂密的境地，似乎数学的宝藏已经挖
掘殆尽，再没有多大的发展余地了。
然而，这只是暴风雨前夕的宁静。
19
世纪
20
年代，数学革命的狂飙终于来临了，数学开始了一连串本质的变化，从此数
学又迈入了一个新的时期——现代数学时期。
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世纪前半叶，数学上出现两项革命性的发现——非欧几何与不可交换代
数。
大约在
1826
年，人们发现了与通常的欧几里得几何不同的、但也是正确的
几
何——非欧几何。这是由罗巴契夫斯基和里耶首先提出的。非欧几何的出现，
改变了人们
认为欧氏几何唯一地存在是天经地义的观点。
它的革命思想不仅为新
几何学开辟了道路，而且是
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世纪相对论产生的前奏和准
备。
后来证明，
非欧几何所导致的思
想解放对现代数学和现代科学有着极为重要
的意义，
因为人类终
于开始突破感官的局限而深入到自然的更深刻的本质。
从这
个意
义上说，
为确立和发展非欧几何贡献了一生的罗巴契夫斯基不愧为现代科学
的先驱者。
1854
年，
黎曼推广了空间的概念，开创了几何学一片更广阔的领域——黎
曼几何学。
非欧几何学的发现还促进了公理方法的深入探讨，
研究可以作为基础
的概念和原则，分析公理的完全性、相容性和独立性等问题。
1899<
/p>
年，希尔伯
特对此作了重大贡献。
在
1843
年，哈密顿发现了一种乘法交换
律不成立的代数——四元数代数。
不可交换代数的出现，
改变了
人们认为存在与一般的算术代数不同的代数是不可
思议的观点。它的革命思想打开了近代
代数的大门。
另一方面，由于一元方程根式求解条件的探究，
引进了群的概念。
19
世纪
20
～
30
年代，阿贝尔和伽罗华开创了近代代数
学的研究。近代代数是相对古典
代数来说的，
古典代数的内容是
以讨论方程的解法为中心的。
群论之后，
多种代
数系统
(
环、域、格、布尔代数、线性空间等
)
被建立。这时，代数学的研究对象
扩大为向量
、矩阵，等等，并渐渐转向代数系统结构本身的研究。
上述两
大事件和它们引起的发展，被称为几何学的解放和代数学的解放。
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世纪还发生了第三个有深远意义的数学事件：分析的算术化。
< br>1874
年威
尔斯特拉斯提出了一个引人注目的例子，要
求人们对分析基础作更深刻的理解。
他提出了被称为“分析的算术化”的著名设想，实数
系本身最先应该严格化，然
后分析的所有概念应该由此数系导出。
他和后继者们使这个设想基本上得以实现，
使今天的全部分析可以从表明实数系特征的
一个公设集中逻辑地推导出来。
现代数学家们的研究，
远远超出了把实数系作为分析基础的设想。
欧几里得
< br>几何通过其分析的解释，
也可以放在实数系中；
如果欧氏
几何是相容的，
则几何
的多数分支是相容的。实数系
(
或某部分
)
可以用来解
群代数的众多分支；可使大
量的代数相容性依赖于实数系的相容性。
事实上，
可以说：
如果实数系是相容的，
< br>则现存的全部数学也是相容的。
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< br>世纪后期，由于狄德金、康托和皮亚诺的工作，这些数学基础已经建立
在更简单、
更基础的自然数系之上。即他们证明了实数系
(
由此导出多种数
学
)
能
从确立自然数系的公设集中导出
。
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世纪初期，证明了自然数可用集合论概念
来定义，因而各种数学能以集合论为基础来讲述。
拓
扑学开始是几何学的一个分支，但是直到
20
世纪的第二个
1/4
世纪，它
才得到了推广。
拓扑学可以粗略地定义为对于连续性的数学研究。
科学家们认识
到：任何事物的集合，不管是点的集合、数的集合、代数实体的集合、函数的集
合或非数学对象的集合，
都能在某种意义上构成拓扑空间。
拓扑学的概念和理论，
已经成功地应用于电磁学和物理学的研究。
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世纪有许多数学著作曾致力于仔细考查数学的逻辑基础
和结构，这反过
来导致公理学的产生，
即对于公设集合及其性质
的研究。
许多数学概念经受了重
大的变革和推广，
并且像集合论、
近世代数学和拓扑学这样深奥的基础学科也得
到广泛发展。一般
(
或抽象
)
集合论导致的一些意义深远而困扰人们的悖论，迫切