“数学”简介、含义、起源、历史与发展
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“数学”简介、含义、起源、历史与发展
数学
数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的，
简单地
说，
是研究数和形的科学。
由于生活和劳动上的需求，
即使是最原始的民族，
也知道简
单的计数，
并由用手指或实物计数发展到用数字计数。
在中国，
至迟在商代，
即已出现用十进制数字
表示大数的方法；
又至迟至秦汉之际，
即已出现完满的十进位值制。
在成书不迟于
1
世纪的《九章算术》
中，已载有只有
位值制才
有可能的开平、
立方的计算法则，
并载有分数的各种
运算以及解线
性联立方程组的方法，
还引入了
负数概念。
刘徽在他注解的《九章算术》
（
3
世纪）
中，
还提出过用十进
小数表示无理数平方根的奇零部分，
但直至唐宋时期
（欧洲则在
16
世纪
S.
斯蒂文以后）
十进小数才获通用。
在这本著作中，
刘徽又用圆内接正多边形的周长逼近圆周长，
成为后世求圆周率更精确值的一般方法。
虽然中国从来没有过无理数或实数的一般概念，
但在实质上，
那时中国已完成了实数系统的一切运算法则与方法，
这不仅在应用
上不可缺，
也为数学初期教育所不可少。
至于继承了巴比伦、
埃及、
希腊文化的欧洲地区，
则偏重于
数的性质及这些性质间的逻辑关系的研究。
早在欧几里得的《几何原本》
中，
即有素数的概念和素数个数
1
/
9
无穷及整数惟一分解等论断。
古希腊发现了
有非分数的数，
即现称的无理数。
16
世纪以来，
由于解高次方程又出现了复数。
在近代，
数的概念更进一步抽象化并
依据数的不同运算规律而
对一般的数系统进行独立的理论探讨，
形成数学中的若干不同分支。
开平方和开立方是解最简单的高次方程。
在《九章算术》
中，
已出现解某种特殊形式的二次方程。
发展至宋元时代，
引进了
天元
(
即未知数
)
的明确观念，
出现
了求高次方程数值解与求多至四个未知数的
高次代数联立方程组的
解的方法，
通称为天元术与四元术。
与之相伴出现的多项式的表达、
运算法则以及消去方法，
已接
近于近世的代数学。
在中国以外，
9
世纪阿拉伯的花拉子米的著作阐述了二次方程
的解法，
通常被视为代数学的鼻祖，
其
解法实质上与中国古代依赖
于切割术的几何方法具有同一风格。
中国古代数学致力于方程的具体求解，
而导源于古希腊、
埃及
传统的欧洲数学则不同，
一般致力于探究方程解的性质。
16
世纪时，
F.
韦达以文字代替方程系数，
引入了代数的符号
演算。
对代数方程解的性质的探讨，则从线性方程组导致行列式、
矩
阵、
线性空间、
线性变换等概念与理论的出现；
从代数方程导致
复数、
对称函数等概念的引入以至伽罗瓦理论与群论的创立。
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而近代极为活跃的代数几何，
则无非
是高次联立代数方程组解
所构成的集体的理论研究。
形的研究属于几何学的范畴。
古代民族都具有形的简单概念而往往以图画来表示，
形之成为
数学对象是由工具的制作与测量的要求所促成。
规矩以作圆方，
中国古代夏禹治水时即已有规、
矩、
准、
绳
等测量工具。
《墨经》
中对一系列的几何概念，
有抽象概括，
作出了科学的
定义。
《周髀算经》
与刘徽《海岛算经》
给出了用矩观天
测地的一般
方法与具体公式。
在
《九章算术》
及刘徽注解的
《九章算术》
中，
除勾股理论外，
还提出了若干一般原理以解多种问题。
例如出入相补原理以求任意多边形面积；
阳马鳖臑的二比一原
理
（刘徽原理）
以求多面体的体积
;5
世纪祖暅
提出幂势既同则积不
容异的原理以求曲形体积特别是球的体积；
还有以内接正多边形逼
近圆周长的极限方法
(
割圆术
)
。
但自五代（约
10
世纪）
以后，中国在几何学方面的建树不多。
中国几何学以测量与面积体积的量度为中心，
古希腊的传统则
重视形的性质与各种性质间的相互关系。
欧几里得的《几何原本》
，
建立了用定义、
公理、定理、
证明
3
/
9
构成的演绎体系，
成为近代数学公理化的楷模，
影响及于整个数学
的发展。
特别是平行公理的研究，
导致了
19
世纪非欧几里得几何学的
产生。
欧洲自文艺复兴时期起出现了射影几何学。
18
世纪，
G.
蒙日
应用分析方法于形的研究，
开微分几何学的
先河。
C.F.
高斯的曲面论与
（<
/p>
G.F.
）
B.
黎曼的流形理论开创了
脱离周<
/p>
围空间以形作为独立对象的研究方法；
19
世纪（
C.
）
F.
克莱因
以群的观点对几何学进行统一处理。
此外，
如
G.
（
F
.P.
）
康托尔的点集理论扩大了形
的范围；
（
J.-
）
< br>
H.
庞加莱创立了拓扑学，
使形的连续性成为几何研究的对象。
这些都使几何学面目
一新。
在现实世界中，
数与形，
如影之随形，
难以分割。
中国的古代数学反映了这一客观实际，数与形从来就是相辅相
成，
并行发展的。
例如勾股测量提出了开平方的要求，
而开平、
立方的方法又奠
基于几何图形的考虑。
二次、
三次方程的产生，
也大都来自几何与实际问题。
至宋元时代，
由于天元与相当于多项式概念的引入，
出现了
几
何代数化。
在天文与地理中的星表与地图的绘制，
已用数来表示地点，
不