函数的内容及发展历程.
为天下唱-
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函数的内容及发展历程
班级：高二（
9
）班
< br>
成员：马睿、王雨佳、龙桃、杨丹、曹鹏
指导教师：雍国强
完成时间：
2008
年
8
月
30
日
文章概要：
对函数的基本内容进行概括与分析，
并对函数的发展史以及对函数发展有杰出贡
献的数学家的功绩进行介绍。<
/p>
正文：
历史
表明，
重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，
函数概念
对数学发展的影响，
可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非
<
/p>
凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不
断被精炼、
深化、丰富的历史过程，
是一件十分有益的事情，
< br>它不仅有助于我们提高对函数
概念来龙去脉认识的清
<
/p>
晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨
大作用．
（一）
< br>马克思曾经认为，
函数概念来源于代数学中不定方程的研究．
由于罗马时代的丢番图对
不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽
．自哥白尼的天文学革命以后，
运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，人们
在思索：既然地球不是宇宙中心，
它本身又有自转和公转，那么下降的物体为什么不发生
偏斜而还要垂直下落到地球上
?
行星
运
行的轨道是椭圆，原理是什么
?
还有，研究在地球表面上抛射物
体的路线、射程和所能达
到的高度，
以及炮弹速度对于高度和射
程的影响等问题，
既是科学家的力图解决的问题，
也
是军事家要求解决的问题，
函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学
概念，
这是函数
概念的力学来
源．
（二）
欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。
1
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早在函数
概念尚未明确提出以前，
数学家已经接触并研究了不少具体的函数，
比如对数
函数、三角函数、双曲函数等等．
1673
年前后笛卡儿在他的解析几何中，已经注意到了一
个变量对于另一个变
量的依赖关系，
但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，
因此
直到
17
世纪后期牛顿、莱布尼
兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义。
167
3
年，莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐
标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量．由此可以看出，函数一词最初的数学含义是
相当广泛而较为模糊的，几乎与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用另一名词“流量”来<
/p>
表示变量间的关系，直到
1689
年，瑞
士数学家约翰·贝努里才在莱布尼兹函数概念的基础
上，
对函数
概念进行了明确定义，
贝努里把变量
x
和常量按任何方式构成的量叫
“
x
的函
数”
，
表示为
yx
。当时，由于连接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和对
数运
算，
所以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数
x
和常数
c
而成的式子，
取名
为解析函
数，还将它分成了“代数函数”与“超越函数”．
18
世纪中叶，由于研究弦振动问题
，达朗贝尔与欧拉先后引出了“任意的函数”的说
法．在解释“任意的函数”概念的时候
，达朗贝尔说是指“任意的解析式”，而欧拉则认为
是“任意画出的一条曲线”．现在看
来这都是函数的表达方式，是函数概念的外延．
（三）
函数概念缺乏科学的定义，<
/p>
引起了理论与实践的尖锐矛盾．
例如，
偏
微分方程在工程技
术中有广泛应用，但由于没有函数的科学定义，就极大地限制了偏微分
方程理论的建
立．
1833
年至
1834
年，高斯开始把注意力转向物理学．他在和
< br>W
·威伯尔合作发明电报
的过程中，
做了许多关于磁的实验工作，
提出了“力与距离的平方成反比例”这个重要的理
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2
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论，
使得函数作为数学的一个独立分支而出现了，
实际的需要促使人们对
函数的定义进一步
研究．
后来，
人们又给出了这样的定义：
如果一个量依
赖着另一个量，
当后一量变化时前一量
也随着变化，那么第一个
量称为第二个量的函数．“这个定义虽然还没有道出函数的本质，
但却把变化、运动注入
到函数定义中去，是可喜的进步．”
在函数概念发展史上，
法国数学家富里埃的工作影响最大，
富
里埃深刻地揭示了函数的本质，
主张函数不必局限于解析表达式．
1822
年，
他在名著《热的解析
理论》中说，
“通常，函
数表示相接的一组值或纵坐标，
它们中的每一个都是任意的……，
我们不假定这些纵坐标服
从一个共同的规律；他们以
任何方式一个挨一个
．”在该书中，他用一个三角级数和的形
式表达了一个由不连续的
“线”
所给出的函数．
其中富里埃的研究，
< br>从根本上动摇了旧的关
于函数概念的传统思想，
在当时的
数学界引起了很大的震动．
原来，
在解析式和曲线之间并
不存在不可逾越的鸿沟，
级数把解析式和曲线沟通了，
那种视函数为解析式的观点终于成为
揭示函数关系的巨大障碍．通过一场争论，
产生了罗巴切夫斯基和狄里克莱的函数定义．
1834
年，俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数的定义：“
x
的函数是这样的一个数，它
对于每个
x
都有确定的值，并且随着
x
< br>一
起变化．函数值可以由解析式给出，也可以由一
个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法．函数的这种依赖关系可以存在，<
/p>
但仍然是未知的．”这个
定义建立了变
量与函数之间的对应关系，是对函数概念的一个重
大发展，因为“对应”是函数概念的一
种本质属性与核心部分．
183
7
年，德国数学家狄里克莱（
Dirichlet
）认为怎样去建立
x
与
y<
/p>
之间的关系无关紧
要，所以他的定义是：“如果对于
x
的每一值，
y
总有完全确
定的值与之对应，则
y
是
x
的
函数．”
根据这个定义，即使像如下表述的，它仍然被说成是函数（狄里克莱函数）：
f
（
x
）
= 1
（
x
为有理数），
0
（
x
为无理数）．
在这个
函数中，如果
x
由
0
< br>逐渐增大地取值，则
f
（
x
）忽
0
忽
1
．在无论怎样小的区间
里，
f
（
x
）无限止地忽
0
忽
1
．因此，它难用一个或几个式子来加以表示
，甚至究竟能否找
出表达式也是一个问题．但是不管其能否用表达式表示，在狄里克莱的
定义下，这个
f
（
x
< br>）
仍是一个函数．
狄里克莱的函数定义，
出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖
关系的描述，
以完
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3
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< br>
全清晰的方式为所有数学家无条件地接受．至此，
我们
已可以说，
函数概念、函数的本质定
义已经形成，这就是人们常
说的经典函数定义．
（四）
生产实践和科学实验的进一步发展，又引起函数概念新的尖
锐矛盾，本世纪
20
年代，
人类开始研
究微观物理现象．
1930
年量子力学问世了，在量子力学中需
要
用到一种新的函
数
——δ
-
函数，
即
ρ
（
x
）
＝
0
，
x≠0
，
∞,x=0
．
且
δ
-
函数的出现，
引起了人们的激烈争论．
按<
/p>
照函数原来的定义，只允许数与数之间建立对应关系，而没有把
“
∞”
作为数．另外，对于自
变量只有一个点不为零的
函数，其积分值却不等于零，这也是不可想象的．然而，
δ
-
函数
确实是实际模型的抽
象．例如，当汽车、火车通过桥梁时，自然对桥梁产生压力．从理论上
讲，车
辆的轮子和桥面的接触点只有一个，设车辆对轨道、桥面的压力为一单位
，这时在
接触点
x=0
处的压强是
P
（
0
）
=
压力／接触面
=1
／
0=∞
．
其余点
x≠0
处，因无压力，故无
压强，即
P
（
x<
/p>
）
=0.
另外，我们知道压强函数的积分
等于压力，即
函数概念就在这样的历史
条件下能动地向前发展，产生了新的现代函数定义：若对集合
M
的任意元素
x,
总有集合
N
确定的元素
y
与之对应，
则称在集合
M
上定义一
个函数，
记为
y=f
（<
/p>
x
）
.
元素
x
称为自变元，
元素
y
称为因变元．
函数的现代定义与
经典定义从形式上看虽然只相差几个字，但却是概
念上的重大发展，
是数学发展道路上的重大转折，
近代的泛函分析可以作为这种转折的标志，
它
研究的是一般集合上的函数关系．
函
数概念的定义经过二百多年来的锤炼、
变革，
形成
了函数的现代定义，
应该说已经相当完善了．
不过数
学的发展是无止境的，
函数现代定义的
形式并不意味着函数
概念发展的历史终结，近二十年来，数学家们又把函数归结为一种
更
广泛的概念
—“
关系
”
．
设集合
X
、
Y
，我们定义
X
与
Y
的积集
X×Y
为
X×Y=
｛
（
x,y
）｜<
/p>
x
∈
X,y
∈<
/p>
Y
｝
．
积集
X×Y
中的一子集
R
称为
X
与
Y
的一个关系，
若
（
< br>x,y
）
∈
R
< br>，
则称
x
与
y
有关系
R
，
记为
xRy.
若（
x,y
）
R
，则称
x
与
y
无关系．
现设
f
是
X
与
Y
的关系，即
fX×
Y
，如果（
x,y
）
< br>，
（
x,z
）∈
f,
必有
y=z
，那么称
f
为
X
到
Y
的函数．在此定义中，已在形式上回避了
“<
/p>
对应
”
的术
语，全部使用集合论的语言了．
从以
上函数概念发展的全过程中，
我们体会到，联系实际、
联系大量
数学素材，研究、发掘、拓广数学概念的内涵是何等重要．
那么，现在的函数概念又包括什么呢？
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首先，函数的定义：
设
x
和
y
是两个变量，
D
是实数集的某个子集，若对于
D
中的每
个值
x
，变量
y
按照一定的法则有一个确定的值
y
与之对应，称变量
y
为变量
< br>x
的函数，记
作
y=f(x).
数集
D
称为函数的定
义域，
由函数对应法则或实际问题的要求来确定。
相应的函数值
的全体
称为函数的值域，对应法则和定义域是函数的两个要素。
数学中的一种对应关系，是从非空集合
A
到实数集
B
的对应。简单地说，甲随着乙变，
甲就是乙的函数
。
精确地说
，
设
X
是一个非空集合，
Y
是非空数集
，
f
是个对应法则
，
若
对
X
中的每个
x
，按
对应法则
f
，使
Y
中存在唯一的一个元素
y
与之对应
，
就称对应法则
f
是
X
上的一个函数，
记作
y
＝
f
（
x
）
，
< br>称
X
为函数
f
< br>（
x
）
的定义域，
集合
{y|y=f
（
x
）
，
x∈X}
为其
值域（值域是
Y
的子集），
x
叫做
自变量，
y
叫做因变量，习惯上也说
y
是
x
的函数。
若先定义映射
的概念，可以简单定义函数为：定义在非空数集之间的映射称为函数。
其深度
y
与一岸边点
O
到测量点的距离
x
之间的对应关系呈曲线，这代表一个函数，
定义域为［
0
，
b
］。以上<
/p>
3
例展示了函数的三种表示法：公式法，表格法和图像法。
一般
地，在一个变化过程中，如果有两个变量
X
与
< br>Y
，并且对于
X
的每一个确定的
值，
Y
都有为一得值与其对应，
那么我们就说
X
是自变量，
< br>Y
是
X
的函数。
如果当
X=A
时
Y=B
，
那么
B
叫做当自变
量的值为
A
时的函数值。
复合函数
有
3
个变量，
y
是
u
的函数，
y
＝
ψ
（
u
），
u
是
x
的
函数，
u
＝
f
（
x
），往往能形成链：
y
通过中间变量
u
构成了
x
的函数：
x→u→y，这要看定义域：设
ψ
的定义域为
U
。
f
的值域
为
U
，当
U*ÍU
时，
称
f
与
ψ
构成一个复合函数
，
例如
y
＝
lgsinx
，x∈（
0
，
π
）。此时
sinx
＞
0
，
lgsinx
有意义
。但如若规定
x∈（－
π
，
0
），此时
sinx
＜
0
，
lgsinx
< br>无意义
，就成不了复合函
数。
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反函数
就关系而言，
一般是双向的
，
函数也如此
，
设
y
＝
f
（
x
）
为已知
的函数，
若对每个
y∈Y，
有唯一的<
/p>
x∈X，使
f
（
x
）＝
y
，这是一个由
y
找
x
的过程
，即
x
成了
y
的函数
，记为
x
＝
f
-1
（
y
）。称
f -1
为
f
的反函数。习惯上用<
/p>
x
表示自变量
，故这个函数仍记为
y
＝
f
-1
（
x
）
，例如
y
＝
sinx
与
y
＝
arcsinx
互为反函数。在同一坐标系中，
y
＝
f
（
x
）与
y
＝
f
-1
（
x
）的图形关于直线
y
＝
x
对称。
隐函数
若能由函数方程
F
（
x
，
y
）＝
< br>0
确定
y
为
< br>x
的函数
y
＝
< br>f
（
x
），即
< br>F
（
x
，
f
（
x
））≡0，
< br>就称
y
是
x
的隐函数。
思考：隐函数是否为函数？因为在其变化的过程中并不满足“一对一”和“多对一”
多元函数
设点（
x1
，
x2
，…，
xn
）
∈GÍRn，
UÍR1
，若对每一点（
x1
，
x2
，…，
xn
）∈G，由某规则<
/p>
f
有唯一的
u
∈U
与之对应：
f
：G→U，
u
＝
f
（
x1
，
x2
，…，
xn
），则称
f
为一个
n
元函数，
G
为定义域，
U
为值域。
基本初等函数及其图像幂函数、<
/p>
指数函数、对数函数、三角函数、
反三角函数称为基本
初等函数。①幂函数：
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6
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y
＝
x
μ
（
μ
≠0，
μ
为任意实数）
定义域：
μ
为正整数时为（－∞，＋∞），
μ
为负
整数时是
（－∞，
0
）
∪
（
0
，
＋∞）
；
μ
＝
(
α
< br>为整数
)
，
< br>当
α
是奇数时为
（
－∞，
＋∞）
，
当
α
是偶数时为（
0<
/p>
，＋∞）；
μ
＝
p
／
q,p,q
互素，作为的复合函数
进行讨论。
幂函数的一般形
式为
y=x^a
。如果
a
取非零的有理数是比较容易理解的，不过初学者对
于
a
取无理数，
则不太容易理解，
在我们
的课程里，
不要求掌握如何理解指数为无理数的问
题，
因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。
因此我们只要接受它作为一
个已知事实即
可。
对于
a
的取值为非零有理数，有必要分成几种情
况来讨论各自的特性：
首先
我们知道如果
a=p/q
，
q
和
p
都是整数，则
x^
(p/q)=q
次根号（
x
的
p
次方），如
果
q
是奇数，函数的定义域是
R
，如果
q
是偶数，函数的定义域
是
[0,
＋∞）。当指数
n
是
负整数时，设
a=-k
，则
x=1/(x^k)
，显然
x
≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,＋∞).因
此可以看到
x
所受到
的限制来源于两点，一
是有可能作为分母而不能是
0
，一是有可能在
< br>偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：
排除了为
0
与负数两种可能，即对于
x
>0
，则
a
可以是任意实数；
排除了为
0
这种可能
，即对于
x<0
和
x>0
的所有实数，
q
不能是偶数；
排除了为负数这种可能，即对于
x
为大于且等于
0
的所有实数，
a
就不能是负数。
总结起来，就可以得到当<
/p>
a
为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
如果
a
为任意实数，则
函数的定义域为大于
0
的所有实数；
如果
a
为负数，则
x
肯定不能为
0
，不过这时函数的
定义域还必须根据
q
的奇偶性来确定，
即如果同时
q
为偶数，则
x
不能小于
0
，这时函数的定义域为大于
0
的所有实数；如果同时
q
为奇数，则函数的定义域为不等于
0
的所有实数。
在
x
大于
0
时，函数的值域总是大于
0
的实数。
在
x
小于
0
时
，则只有同时
q
为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有
a
为正数，
0
才进入函数的值域。
< br>由于
x
大于
0
< br>是对
a
的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第
一象限的各自情况
.
可以看到：
<
/p>
（
1
）所有的图形都通过（
1
，
1
）这点。
（
2
）当
a
大于
0
时，幂函数为单调
递增的，而
a
小于
0
< br>时，幂函数为单调递减函数。
（
3
）当
a
大于
1
时，幂函数图形下凹；当
a
小于<
/p>
1
大于
0
时，幂
函数图形上凸。
（
4
）当
a
小于
0
时，
a
越小，图形倾斜程度越大。
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（
5
）
a
大于
0
，函数过（
0
，
0
）；
a
小于
0
，函数不过（
0
，
0
）点。
（
6
）显然幂函数无界。
②指数函数：
y
＝
ax
（
a
＞
0
，a≠1），定义成为（
－∞，＋∞），值域为（
0
，＋∞）
，
a
＞
0
时
是严格单调增加的函数（
即当
x2
＞
x1
时，）
，
0
＜
a
＜
1
时是严格单减函数。对任何
a
，
图像均过点（
0
，
1
），注意
y
＝
ax
和
y
＝（）
x
的图形关于
y
轴对称。
③对数函数：
y
＝
logax
（
a
＞
0
），
称
a
为底
<
/p>
，定义域为（
0
，
＋∞），值域为（－∞，
sin
θ
=
y/r
＋∞）。
a
＞
1
时是严格
单调增加的，
0<
/p>
＜
a
＜
1
时
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是严格单减的。
不论
a
为<
/p>
何值，
对数函数的图形均
过点（
1
，
0
），对数函数<
/p>
与指数函数互为反函数。
特别的，以
10
为底的对
数称为常用对数
，简记
为
lgx
。在科学技术中
普遍使用的是以
e
为底
的对数，
即自然对数，
记
作
lnx
。
④三角函数：见表。
正弦函数
余弦函数
正切函数
余切函数
正割函数
余割函数
正弦函数、余弦函数如图<
/p>
cos
θ
=x/r
tan
θ
=y/x
cot
θ
=x/y
sec
θ
=r/x
csc
θ
=r/y
⑤反三角函数：见表。
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y=arcsin(x)
y=arccos(x)
y=arctan(x)
定义域
[-1,1]
定义域
[-1,1]
定义域
(-
∞
,+
∞
)
值域
[-
π
/2,
π
/2]
值
域
[0,
π
]
值域
(-
π
/2,
< br>π
/2)
图象用红色线条
图象用兰色线条
图象用绿色线条
双曲正、余弦如图。
双曲正弦函数
双曲余弦函数
⑥双曲函数：双曲正弦
（
ex
－
e-x
），双曲余弦
（
ex
＋
e-x
），双曲正切（
ex
－
e-x
）／（
ex
< br>＋
e-x
）
，双曲余切（
ex
＋
e-x
）／（
ex
－
e-x
）。
补充
在数学领域，
< br>函数是一种关系，
这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个
（可能相
同的）集合里的唯一元素（这只是一元函数
f
（
x
）＝
y
的情况，请按英文原文把普遍定义给
出，谢谢）。函数的概念对
于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。
术语函数，
映射，对应，变换通常都是同一个意思。
二次函数
一般地，自变量
x
和因变量
y
之间存在如
下关系：
y=ax^2+bx+c
（
a
，
b
，<
/p>
c
为常数，a≠0，且
a
决定函数的开口方向，
a>0
时，开口方向向上，
a<0
时，开
口方向向下。
IaI
还可以决定开口大小
,IaI
< br>越大开口就越小
,IaI
越小开口就越大。）
则称
y
为
x
的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
< br>x
是自变量，
y
是
x
的函数
二次函数的三种表达式
一般式：
y=ax^2+bx+c
（
a
，
b
，
c
< br>为常数，a≠0）
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