平面几何的几个重要的定理
斑驳陆离的意思-
智浪教育
—
普惠英才文库
平面几何的几个重要的定理
一、梅涅劳斯定理：
定理
1
：若直线
l
不经过
ABC
的顶点，并且与
< br>
ABC
的三边
BC
、
CA
、
AB
或它们
的延长线分别交于
P
、
Q
、
R
，则
BP
PC
CQ
AR
QA
RB
1
证：设
h
A
、
h
B
、
h
C<
/p>
分别是
A
、
B<
/p>
、
C
到直线
l<
/p>
的垂线的长度，则：
BP
CQ
AR
h
B
h
C
h
PC
QA
RB
h
A
h
1
C
h
A
B
注：
此定理常运用求证三角形相似的过程中的
线段成比例的条件；
例
1
：若直角
ABC
中，
CK
是斜边上
的高，
CE
是
ACK
的平分线，
E
点
在
AK
上，
D
是
AC
的中点，
F
是
DE
与
CK
的交点，证明：
BF
//
CE
。
证：
在
EBC
中，作
< br>
B
的平分线
BH
则：
EBC
ACK
HBC
ACE
HBC
HCB
ACE
HCB
90
即：
BH
CE
EBC
为等腰三角形
作
BC
上的高
EP
，则：
CK
EP
对于
ACK
和三点
D
、
E
、
F
依梅涅劳斯定理有
：
CD
AE
DA
EK
KF
FC
1
于是
KF
FC
＝
EK
C
K
EP
BP
BK
AE
AC
AC
BC
BE
即：
KF
FC
＝
BK
BE
依分比定理有：
KF
KC
＝
BK
KE
FKB
CKE
BF
//
CE
智浪教
育
—
普惠英才文库
< br>【练习
1
】从点
K
引四条直线，另两条直
线分别交这四条直线于
A
、
B
、
C
、
D
AC
AD
A
1
C
1
A
1
D
1
< br>和
A
1
、
B
1
、
C
1
、
D
1
，试证
：
:
:
BC
BD
B
1
C<
/p>
1
B
1
D
1
定理
2
：设
P
、
Q
、
R
分别是
ABC
的三边
BC
、
CA<
/p>
、
AB
上或它们的延长线上的
三点，并且
BP
CQ
AR
P
、
Q
、
R
三点中，位于
ABC
边上的点的个数为
0
或
2
，这时若
1
，
PC
QA
RB
求证：
P
、
Q
、
R
三点共线；
证：设直线
PQ
与直线
AB
交于
R
'
，于是由定理
1
得：
BP
CQ
AR
'
'
1
PC
QA
R
B
BP
CQ
AR
AR
'
AR
又
1
，则：
'
＝
PC
QA
RB
R
B
RB
由于在同一直
线上的
P
、
Q
、
R
'
三点中，位于
< br>
ABC
边上的点的个数也为
0
或
2
，
因此<
/p>
R
与
R
'
或者同在
AB
线段上，或者同在
AB
的延长线上；
若
R
与
R
'
同在
AB
线段上，则
R
与
R
'
必定重合，不然的话，
设
AR
AR
'
,
AR
AR
'
这时
AB
AR
AB
AR
,
即
BR
BR
,
于是可得
BR
BR
'
AR
AR
'
这与
＝
矛盾
'
BR
BR
类似地可证得当
R
与
R
'
同在
AB
的延长线上时，
R
与
R
'
也重合
综上可得：<
/p>
P
、
Q
、
R
三点共线；
'
'<
/p>
注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用
再相乘；
例
2
.
点
P<
/p>
位于
ABC
的
外接圆上；
A
1
、
B
1
、
C
1
是从点
P
向
BC
、
CA
、
AB
引的垂线的垂足，
证明点
A
1
、
B
1
、
C
1
共线；
C
B
1
BA
BP
cos
PBC
证：易得：
1
< br>,
CA
1
CP
< br>
cos
PCB
CB
1
CP
cos
PCA
AB
1
AP
cos
PAC
AC
1
AP
cos
PAB
BC
1
PB
cos
P
BA
将上面三条式子相乘，
C
1
B
A
A
1
且
PAC
PBC
,
PAB
PCB
,
PCA<
/p>
PBA
<
/p>
180
可得
B
A
1
CB
1
A
C
1
＝<
/p>
1
，
CA
1
AB
1
BC
1
依梅涅劳斯定理可知
A
1
< br>、
B
1
、
C
1
三点共线；