函数概念的历史发展
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函数概念的历史发展
函数概念是中学中最重要
的概念之一，
它既是数学研究的对象，
又是解决数学问题的基<
/p>
本思想方法。早在
16
、
17
世纪，生产和科学技术的发展要求数学不仅研究静止不动的量，
而且要研究运动过程中各个量之间的依赖关系，
从而促进数学由常量上学时
期进入到变量数
学时期。函数也就成为研究变量数学必不可少的概念。
< br>
函
数
（
function
）
一
词
，
始
用
于
1692
年
，
见
著
于
微
积
< br>分
创
始
人
之
一
莱
布
尼
兹
G
.c,1646
< br>—
1717
）
的著作。
而
f(x)
则由欧拉
（
Euler
）
于
1724
年首次使用。
我国于
185
9
年引进函数的概念，
它首次是在清代数学家李善兰与英国传教
士伟烈亚历山大合译的
《代微
积拾级》中出现。函数在初高等数
学中，在物理、化学和其他自然科学中，在经济领域和社
会科学中，均有广泛的应用，起
着基础的作用。
函数的概念随着数学的发展而发展，
函数的定义在发展过程中不断地精确、
完善、
抽
象，
函数的概念也不断得到严谨化、精确化的表达。
牛顿在《自然哲学的数学原
理》中提出的“生成量”就是函数概念的雏形。最初，函数
2
3
x
,
x
,
x
,
…
）
是表示代数上的幂
（
，
1673
年，
莱布尼兹把任何一个随着曲线上的点变动的几
何量，如切线、法线，以及点的横坐标都成为函数。
一、解析的函数概念
在
18
世
纪占主导地位的观点是，把函数理解为一个解析表达式．
1698
年，
瑞士著名数学家约翰·
贝努利定义：
由变量
< br>x
和常量用任何方式构成的量都可
以称为
x
的函数．这里任何方式包括代数式子和超越式子．
1748
< br>年，约翰的学生，杰出数学家欧拉在它著名的《无穷小分析引沦》
中把函数定义为
“由一个变量与一些常量通过任何方式形成的解析表达式”
，这
就把变量与常量以及由它们
的加、减、乘、除、乘方、开方和三角、指数、对数等运算构
成的式子，均称为函数．并且，
欧拉还给出了函数的分类，把函数分为：
代数函数与超越函数，有理函数与无理函数，
整函
数与
分函数，单值函数与多值函数．
当时把函数看作一个解析表达式的还有著名的法国数学家达朗
贝尔和拉格朗日．
但这种解析的函数概念有其局阳性，
如某些变量之间的对应关系不能用
解析式子表达出
来，那么根据这个定义就不能称之为函数关系．例如著名的狄利克雷（<
/p>
D1richkt
）函数
1
，
x
< br>为有理数
D(x)=
0
，
x
为无理数
二、几何的函数概念
因为解析表达式在几何上可表示为
曲线，一些数学家把曲线称为函数．
1746
年，达朗贝尔在研究弦振动问题时，提出了用单独的解析表达式给出的曲线是函
数．
后来欧拉发现有些曲线不一定是由单个解析式给出的，
他提出了一个
新定义：
函数是
“
xy
平面上随手画出来的曲线所表示的
y
与
x
间的关系”
．即把函数定义为一条随意画出来的曲<
/p>
线．
欧拉称之为任意函数，
即包括了由单
个解析表达式给出的连续函数，
也包括由若干个解
析式表示的不
连续函数
(
“不连续”函数的名称是欧拉首次提出的
)
．但是，欧拉的观点没有
被达朗贝尔接受，并展
开了激烈争论．
1822
年，法国数学家傅立叶提出
了任意函数可展开为三角级数，这实际上是说，不管
是连续函数或不能用解析表达式给出
的函数
(
凡能用图形给出
)
都可以用三角级数表示．因此
也说明了，
仅从表达
式是否“单一”
，
或函数是否连续来区别是不是函数，显然是不
合理的．
傅立叶在论文《热的分析理论》中，证明了“由不连
续的线给出的函数，能用一个三角函数
式来表式”
．他举例指出
图
7
．
2
．<
/p>
1
所示的不连续曲线，表达式有无穷多个，即
4
,
2
k
<
/p>
x
(2
k
1)
y
0,
x
k
k
0,
1,
2,
…
,(2
k
1)
x
2(
k
1)
4
但可以用单一的三角式表示为
y
sin
x
sin
x
sin
x
…
1
3
5
这有
力地揭示了，用函数表示式的“单一”与否来区别函数的真伪是不行的，不久人们进一
步
发现了同一曲线即可用同一个函数，也可用两个以上的函数表示的种种例子：
y
pi/4
O
pi
x
三、科学定义的雏形
1775
年，欧拉在《微分学》一书中，给出了函数的另一定义：
“如果某些变
量，以这样
一种方式依赖于另一些变量，
即当后者变化时前者也
随之变化，
则称前面的变量为后面变量
的函数．
”值得指出的是这里的“依赖”
，
“随之变化”等的含
意不十分确切．例如
g
＝
x^2
，
当
x
取一
3
，十
3
时
y
均等于
9
，
y
没有变化．又如常量函数
y
＝
c
，不论
x
如何变化
y
总是
一个不变的值．因
此，该定义限制了函数的外延，只能算函数概念的科学雏型．
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世纪最杰出的法国数学家柯西也给出了如下函数定义：
“若
当
x
的每个值，都有完全确定
的
y
值与之对应，则称
y
是
f
的函数．
”此定义澄清了函数概
念与曲线、连续、解析式等纠
缠不清的关系，
也避免了数学意义
欠严格的“变化”一词，但对函数概念的本质
---
对应思想<
/p>
强调不够．而且，当时柯西仍然考虑
f
和
y
的关系用若干个解析式表示的情况．其实，所谓
用解析式表示这一点，
对
x
与
y
的关系并无多大意义，
因此该定义
也只能算科学函数概念的
维型．
四、函数概念的精确化