几何发展简史
没有什么会永垂不朽-
论文：数学的发展简史
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几何学发展简史
几何，
英文为
Geometry
，
是由希腊文演变而来，
其原意是土地测量
。
“依据很多的实证，
几何是埃及人创造的，并且产生于土地测
量。
由于尼罗河泛滥，经常冲毁界限，这样测量变
成了必要的工
作。
无可置疑的，
这类科学和其它科学一样，
< br>都发生于人类的需要。
”
（
引自
[1]
）
。
明
代徐光启（
1562~1633
）和天主教耶酥会传教士利玛窦
（
Matteo
Ricci
，
1552~1610
）翻译
欧几里得的《几何
原本》时将
Geometry
一词译为几何学。
几何学是研究形的科学，以视觉思维为主导，培养人的观察能力、空间想象能
力与空间
洞察力。几何学最先发展起来的是欧几里得几何。到
1
7
世纪的文艺复兴时期，几何学上第
一个重要成果是法国数学家
笛卡儿
(R..descartes
，
1596~1650
）和费马（
Fermat
，
1601~1665
）
的解析几何。
他们把代数方法应用于几何学
，
实现了数与形的相互结合与沟通。
随着透视画的出现，又诞生
了一门全新的几何学——射影几何学。到
19
世纪上半叶，非欧
几何诞生了。人们的思想得到很大的解放，各种非欧几何、微分几何、拓扑学都相继诞生
，
几何学进入一个空前繁荣的时期。
1
从欧几里得几何到非欧几何
欧几里得
（
Euclid
，约公元前
330~2
75
）的《几何原本》是一部划时代的著作，其伟大
的历史意义
在于它是用公理方法建立起演绎体系的典范。
公元
7
世纪以前的所谓几何学，
都
只限于一些具体问题的
解答，并且是十分粗糙的、
零碎的、片段的和单凭经验的。
当积
累起
来的几何知识相当丰富时，
把这一领域的材料系统地整理，
并阐明它们的关系，
就显得十分
必要了
。
由于几何学本来的对象是图形，
研究它必然要借助与空间的直
观性。
但是直观性也
有不可靠的时候，
因而在明确地规定了定义和公理的基础上，
排除直观性，
建立合
乎逻辑的
几何学体系的思想在古希腊时代就已经开始。
欧几里得
就是在这种思想的基础上，
编著完成
了他的《几何原本》
。
《几何原本》
的
第一卷是全书逻辑推理的基础，
给出全书最初出现的
23
个定义，
5
条公
设，
5
条公理：
定义
（
1
）
点没有部分。
（
2
）
线有长度，而没有宽度。
（
3
）
线的界限是点（注：
《几何原本》中没有伸展到无穷的线）
。
（
4
）
直线是同其中各点看齐的线。
（
5
）
面只有长度和宽度。
（
6
）
面的界限是线。
（
7
）
平面是与其上的直线看齐的面。
（
8
）
平面上的角是在一个平面上的两条相交直线的相互倾斜度。
（
9
）
当形成一角的两线是一直线时，这个角叫做平角。
（
10
）
<
/p>
~
（
22
）
（略）
（是关于直角、锐角、钝角、圆、三角形、四边形等的定义）
。
（
23<
/p>
）平行直线是在同一个平面内，而且往两个方向无限延长后，在这两个方向上都不
会相交的直线。
关于几何的基本规定的
5
条公设：
（
1
）
从每个点到每个其它的点必定可以引直线。
（
2
）
每条直线都可以无限延伸。
（
3
）
以任意点作中心，通过任何给定的点另一点，可以作一个圆。
（
4
）
所有的直角都相等。
（
5
）
同平面内如有一条直线与另两条直线相交，且在前一条直线的某一侧所交的两
内角之和小于两直角，则后两条直线无限延长后必在这一侧相交。
关于量的基本规定的
5
条公理：
< br>
（
1
）
等于同量的量相等；
（
2
）
等量加等量，总量相等；
（
3
）
等量减等量，余量相等；
（
4
）
彼此重合的量是全等的；
（
5
）
整体大于部分。
欧几里得在此基础上
运用逻辑推理，导出了许许多多的命题（在《几何原本》中包含了
465
个命题）
，从而构成了欧几里得几何学。
由前三个公设限定了用圆规和无刻度的直尺可以完成哪些作图，
因此这两件
仪器被称为
欧几里得工具，
使用它们可以完成的作图称为欧几里
得作图，
即尺规作图。
这种作图增加了
几何学的趣味性。人们花费大量的精力去解决古希腊的几何三大难题：
（
1
）
倍立方问题：求作一个立方体，使体积为已知立方体的二倍；
（
2
）
三等分角问题：三等分一个（任意的）已知角；
（
3
）
化圆为方问题：求作一个正方形，使其面积为已知圆的面积。
尽管是徒劳的，但从各方面推动了数学的发展。
将公设、公理分开是从亚里士多德开始的，现代数学将公设、公理都叫做公理。第五条
公设与“在平面内过已知直线外一点，只有一条直线与已知直线不相交（平行）
”相等价。
现在把后一个命题叫做欧几里得平行公理。
自《几何原本》问世以来，直到
19
世纪大半
段以前，数学家一般都把欧几里得的著作
看成是严格性方面的典范，但也有少数数学家看
出了其中的严重缺点，并设法纠正。首先，
欧几里得的定义不能成为一种数学定义，
完全不是在逻辑意义下的定义，
有的不过是几何对
< br>象的直观描述（比如点，线，面等）
，有的含混不清。这些定义在后面的论证中根
本是无用
的。其次，欧几里得的公设和公理是远不够的。因而在《几何原本》中许多命题
的证明不得
不借助直观，或者无形中引用了欧几里得的
5
个公理之外的公设或公理的东西。
针对欧氏
几何的上述缺陷，数学家们做了大量工作来弥补这些缺陷。到
19
世纪末，德
国数学家希尔伯特（
D. Hilbert
，
1862~1943
）于
< br>1899
年发表了《几何基础》
，书中成功地建
立了欧几里得几何的一套完整的公理系统。
首先他提出了
8
个基本概念，
其中三个是基本对
象：点、直线、面；
5
个是基本关系：点属于（或关联）直
线，点属于（或关联）平面，一
点在两点之间，两线段合同，两角合同。这些基本概念应
服从
5
组公理：关联公理；顺序公
理；
合同公理；连续公理；平行公理。
（参见
[2]
或
[3]
）
。
另外，人们注意到欧几里得平行公理是否与其它公理独立的问题，即平行公理
可否能用
其它公理推导出来。
虽然有很多学者
< br>（包括一些很有名的数学家）
曾宣称已经证明平行公理
能
用其它公理推导出来，但最后发现这些论证都是不正确的。于是从意大利数学家
Sacc
heri
（
1733
）
开始，
人们就转而猜平行公理与其它公理是独立的，
即
它不能从其它公理推导出来。
罗巴切夫斯基（
Лобачевс
кий
,
Н.И.
，
< br>1792~1856
）和波尔约（
J
，
Bolyai
，
1802~1860
）分别
在
1829
年和
1832
年独立地用平
行公理的反命题，
即用
“过给定直线外一点，
< br>存在着至少两
条直线与给定的直线不相交”
来代替欧几里
得平行公理，
并由这套新的体系演绎出一套与欧
几里得几何迥然
不同的命题，
但并没有导致任何的矛盾，
非欧几何就这样产生了
。
但是要人
们真正信服这种纯理性的几何体系，
还是应该将这种“虚”的几何学真正地构造出来，
即提
供这种
“虚”
几何的现实模型。
19<
/p>
世纪
70
年代，
德国数学家克莱因
（
F.
Klein
，
1849~1925<
/p>
）
提出了
Klein
模型，庞加莱（
J
．
H
．
Poincare
，
1854~1912
）提出了上半平面
Poincare
模型。