数学史上的三次危机及对数学发展的影响
牛奶木瓜汤-
《校园百家讲坛》演讲稿
数学史上的三次危机及对数学发展的影响
主讲
卢伯友
一
引言
“校园百家讲坛”很早就邀请我，要我给同学们讲点什么，因
为这个讲坛的神圣性和严
肃性，
我一直没有敢答应下来。
今天，
站在这个讲坛上，
我仍然感到诚惶诚恐
的。
讲什么呢？
从哪儿开始呢
?
我一直思考着这个问题。
国学大师王国维在
《人间词话》中说过：
“诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其
外。入乎其内，故能写之。出乎其外，故能观之。入乎其内，故有生气。出乎其外，故有高
< br>致。
”
同学们平时听课、读书
、做习题是入乎其内，今天听讲座是出乎其外，两者相互相成。
只知入乎其内，那是见木
不见林，常常会迷失方向。所以，还要辅助以出乎其外，站出来作
高瞻远瞩。正所谓“风
声、雨声、读书声、声声入耳；家事、国事、天下事，事事关心！
”
整个人类文明的历史就像长江的波浪一样，一浪高过一浪，滚滚向前，科学巨人们
站
在时代的潮头，
以他们的勇气、
智慧
和勤劳把人类的文明从一个高潮推向另一个高潮。
我们
认为，<
/p>
整个人类文明可以分为三个层次：
(1)
以锄头为代表的农耕文明；
(2)
以
大机器流水
线作业为代表的工业文明
;
(3)
以计算机为代表的信息文明。
数学在这三个文明中都是深层
次的动力，其作用一次比一次明显。
基于此原因，我今天演讲的题目是：数学史上的三次危机及对数学发展的影响
古人讲，欲穷千里目，更上一层楼。今天，我们站在历史的角度，剖
析历史上发生的
三次数学危机及其对数学发展的重要影响，
让同
学们不仅从数学自身的思想方法和应用的角
度，
而且从文化和历
史的高度审视数学的全貌和美丽。
赞美数学思想的博大精深，
赞
美由数
学文化引出的理性精神，以及在理性精神的指导下，人类文明的蓬勃发展。
二
数学史上的三次危机及对数学发展的影响
1
毕达哥拉斯与第一次数学危机
1.1
第一次数学危机的内容
毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。
他曾创立了
一个合政治、
学
术、宗教三位一体的神秘主义派别：
毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物
皆数”
是该学派的哲学基石。而
“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的
数学信
仰。
然而，
具有戏剧性的是由毕
达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学
信仰的
“掘墓人”
。
毕达哥拉斯定理提出后，
其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：
边长为
1
的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，
也
不能用分数表
示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理
数
2
的诞生。
小小
2
的出现，
却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。
它直接动摇了毕达哥拉斯学派的
数学信仰，
使
毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。
实际上，
这一伟大发现不但是对
毕达哥拉斯学
派的致命打击。
对于当时所有古希腊人的观念这都
是一个极大的冲击。
这一结论的悖论性表
现在它与常识的冲突上
：
任何量，
在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。
这不但在希
腊当时是人们普遍接受的信仰，
就
是在今天，
测量技术已经高度发展时，
这个断言也毫无例
外是正确的！
可是为我们的经验所确信的，
完
全符合常识的论断居然被小小的
2
的存在而
推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。
< br>
1
更糟糕的是，面对这一
荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，
从而导致了西方数学
史上一场大的风波，这场风波，对毕达哥拉斯学派产生了沉重的打击，
“数即万物”的世
界观被极大的动摇了
,
有理数的尊崇地位也受到了挑战，因此也
影响到了
整个数学的基础，
使数学界产生了极度的思想混乱。<
/p>
这场危机，
历史上称之为第一次数学危
机
。
1.2
第一次数学危机对数学发展
的影响
第一次数学危机对数学发展的影响是巨大的，它极大的
推动了数学及其相关学科的发
展。
首
先，
第一次数学危机让人们第一次认识到了无理数的存在，
无理
数从此诞生了，
之后，
许多数学家正式研究了无理数，
给出了无理数的严格定义，
提出了一个含有有理数和无理数
[5]
的新的数类——实数，并建立了完整的实数理论
，为数学分析的发展奠定了基础。
其次，
< br>第一次数学危机表明，
当时希腊的数学已经发展到这样的阶段：
< br>证明进入了数学，
数学已经由经验科学变为演绎科学，
并
由此建立了几何公理体系。
欧氏几何就是人们为了消
除矛盾，解
除危机，在这时候应运而生的。
欧几里得的
< br>《几何原本》
（公元前
330-
前
275
）
的出现是数学史上的一个伟
大的里程碑。
这本书是世界上最著名、
最完整而且流传最广的数
学著作。
两千多年来一直是全世界人民学
习数学的主要教材。<
/p>
《几何原本》共有
23
条定义、
5
条公设、
5
条公理、
467
个命题，在西
方世界，
除了
《圣经》
以外没有其它著作的作用、
研究、
印行之广泛能与
《几何原本》
相比。
自
1482
年第
一个印刷本出版后，至今已有一千多个版本。
《几何原本》在明朝末年（
1607
年）
被引入我国，
它
是由我国科学家徐光启和意大利传教士利玛窦合作翻译的，
是我国翻译
< br>的第一部西方数学著作。徐光启曾对这部著作给以高度评价。他说：
“此书有四不
必：不必
疑，
不必揣；
不必试，
不必改。
有四不可得：
欲脱之不可得，
欲驳之不可得，
欲减之不可得，
欲前后更之不
可得。有三至三能：似至晦，实至明，故能以其简简他物之至繁；似至难，实
至易，故能
以其易易他物之至难；易生于简，简生于明，综其妙在明而已。
”
第一次数学危机极大地促进了几何学的发展
,
使几何学在此后两千年间成为几乎是全部
严密数学的基础，这不能不说是数学
思想史上的一次巨大革命。
1.3
第
一次数学危机给人类文明留下的珍贵遗产
第一次数学危机，<
/p>
诞生了欧几里得几何。
欧几里得几何的影响超过了任何别的书，<
/p>
它一
方面是现代科学技术的理论基础之一，
另一方面它给予人们一套科学的几何思想。
我们来举
几个典型
的例子．
阿基米德不是通过用重物作实验，
< br>而是按欧几里得的方式，
从
“相等的生物在离支点相
等距离处处于平衡”这一公设出发证明了杠杆定律．
牛顿称著名的三定律为“公理或运动定律”
．从三定律和万有引力定律出发，
建立了他
的力学体系．他的《自然哲学的数学原理》具有欧几里得式的结构．
在马尔萨斯
1789
年
的《人口论》中，我们可以找到另一个例子．马尔萨斯接受了欧几
里得的演绎模型．
他把下面两个公设作为他的人口学的出发点：
人需要食品；
人需要繁衍后
代．
他接着从对人口增长和食品供
求增长的分析中建立了他的数学模型．
这个模型简洁，
有
说服力，对各国的人口政策有巨大影响．
令
人惊奇的是，
欧几里得的模式还推广到了政治学．美国的《独立宣言》
< br>是一个著名的
例子．独立宣言是为了证明反抗大英帝国的完全合理性而撰写的．美
国第三任总统杰斐逊
(1743
一
18
26)
是这个宣言的主要起草人．他试图借助欧几里得的模型使人们对宣言的公正
性和合理性深信不疑．
“我们认为这些真理是不证自明的„”不仅所有
的直角都相等，而且
“所有的人生来都平等”
．这些自明的真理
包括，如果任何一届政府不服从这些先决条件，
那么“人民就有权更换或废除它”
．宣言主要部分的开头讲，英国国王乔治的政府没有满足
2
上述条件．
”因此，„我们宣布，这些联合起来的殖民地是，而且按正当权力应该是，自由
的和
独立的国家．
”我们顺便指出，杰斐逊爱好文学、数学、自然科学和建筑艺术．
相对论的诞生是另一个光辉的例子．
相对论的
公理只有两条：
1)
相对性原理，
任何
自然
定律对于一切直线运动的观测系统都有相同的形式；
2)<
/p>
光速不变原理，
对于一切惯性系，
光
在真空中都以确定的速度传播．爱因斯坦就是在这两条公理的基础上建立了他的相对论．
关于建立一个理论体系，
爱因斯坦认为科
学家的工作可以分为两步．
第一步是发现公理，
第二步是从公理
推出结论．哪一步更难呢
?
他认为，如果研究人员在学校里已经
得到很好的
基本理论、
推理和数学的训练，
那么他在第二步时，
只要
“相当勤奋和聪明，
就一定能成功”
．
至
于第一
步，
即找出所需要的公理，则具有完全不同的性质，这里没有一般的方法．
爱因斯坦
说：
“科学家必须在庞杂的经验事实中间抓
住某些可用精密公式来表示的普遍特性，由此探
求自然界的普遍原理．
< br>”
第一，
它留给我们一个坚强
的信念：
自然数是万物之母，
即宇宙规律的核心是数学．这
个信念鼓舞人们将宇宙间一切现象的终极原因找出来，并将它数量化．
第二，它孕育了一种理性精神，这种精神现在已经渗透到人类知识的一切领域．
第三，它给出一个样板一欧几里得几何．这个样板的光辉照亮了人
类文化的每个角落．
但是，
令人痛惜的是，
罗马士兵一刀杀死了阿基米德这个科学巨人，<
/p>
这就宣布了一个光
辉时代的结束．怀特海对此评论道：
“阿基米德死于罗马士兵之手是世界巨变的象征．务实
的罗马人取代了爱好
理论的希腊人，
领导了欧洲．
„罗马人是一个伟大的民族．
但是受到了
这样的批评：讲求实效，
而无建
树．
他们没有改进祖先的知识，他们的进步只限于工程上的
技术
细节．他们没有梦想，得不出新观点，因而不能对自然的力量得到新的控制．
”
此后是千余年的停滞．
2
贝克莱与第二次数学危机
2.1
第二次数学危机的内容
公元
17
世纪，牛顿和莱布尼兹创立了微积分
，微积分能提示和解释许多自然现象，它
在自然科学的理论研究和实际应用中的重要作用
引起了人们高度的重视。
然而，
因为微积分
才刚刚建立起来，这时的微积分只有方法，没有严密的理论作为基础，许多地方存在漏洞，
< br>还不能自圆其说。
n
n
n
n-1
例如牛顿当时是这样求函数
y
＝
x
的导数的：
（
x
＋△
x
）
＝
x
＋
n
·
x
·△
x
＋
[n
（
n+1
）
n-2
2
n
/2]
·
x
·
(
△
x)
＋„„＋（△
x
）
，然后用
自变量的增量△
x
除以函数的增量△
y
，△
y/
n
n
n-1
n-2
n-2
< br>△
x
＝
[
（
x
＋△
x
）
－
x
]/
△
x
＝
n
·
x
＋
[n
（
n-1
）
/2]
·
x
·△
x
＋„
„＋
n
·
x
·
（△
x
）
n-
1
n
n-1
＋（△
x
）
，最后，扔掉其中含有无穷小量△
x
的项，即得函数
y=x
的导数为
y
′
=nx
。
对于牛顿对导数求导过程的论述，
哲
学家贝克莱很快发现了其中的问题，
他一针见血的
指出：先用△
x
为除数除以△
y
，说明△
x
不等于零，而后又扔掉含有△
< br>x
的项，则又说明△
x
等于零，
这岂不是自相矛盾吗？因此贝克莱嘲弄无穷小是“逝去的量的鬼魂”
，他认为微
积分是依靠双重的错误得到了正确的结果，说微积分的推导是“分明的诡辩”
。
确实，
这种在同一问题的讨论
中，
将所谓的无穷小量有时作为
0
，<
/p>
有时又异于
0
的做法，
< br>不得不让人怀疑。
无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？贝克莱悖论
的出现危
及到了微积分的基础，
引起了数学界长达两个多世纪的
论战，
从而形成了数学发展史中的第
二次危机。
2.2
第二次数学危机的影响
第二次数学危机的出现，迫使数学家们不得不认真对待无穷小量△
x<
/p>
，为了克服由此引
起思维上的混乱，解决这一危机，无数人投入大
量的劳动。在初期，经过欧拉、拉格朗日等
人的努力
,
微积分取得了一些进展；
从
19
世纪开始为彻底解决微积分的基础问题，
柯西、
外
尔斯特拉斯等人进行了微积分理论的严格化工作。
微积分内在的根本
矛盾，
就是怎样用数学
3