平面几何经典难习题及解答
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经
典
难
题（一）
1
、已知：如图，
O
是半圆的圆心，
C
、
E
是圆上的两点，
CD
⊥
AB
，
EF
⊥
AB
，
EG
⊥
CO
．
求证：
CD
＝
GF
．
C
E
2
、已
知：如图，
P
是正方形
ABCD
内一点，∠
PAD
＝∠
PDA
＝
15
0
．
A
D
求证：
△
PBC
是正三角形．
3
、如图，已知四边形
ABCD
、
A
1
B
1
C
1
D
1<
/p>
都是正方形，
A
2
、
B
2
、
C
2
、
D
2
分别是
AA
1
、<
/p>
BB
1
、
CC<
/p>
1
、
P
G <
/p>
DD
1
的中点．
A
D
B
A
求证：四边形
A
< br>2
B
2
C
2
D
2
是正方形．
< br>（初二）
D
A
O
F
D
2
2
A
、
4
、已知：如图，在四边形
ABCD
中，
AD
＝<
/p>
BC
，
M
、
N
分别是
AB
1
CD
的中点，
AD
、
BC
的延长
D
< br>1
线交
MN
于
E
、
F
．
F
求证：∠
DEN
＝∠
F
．
B
1
C
B
E
C
1
经
典
难
题（二）
B
2
C
2
1
、已知：△
ABC
< br>中，
H
为垂心（各边高线的交点）
，
O
为外心，且
OM
⊥
BC
于
M
< br>．
N
C
B
C
A
（
1
）求证：
AH
＝
2OM
；
D
（
2
）若∠
BAC
＝
60
0
，求证：
AH
＝
AO
．
（初二）
2
、
设
MN
是圆
O
外一直线，
过
O
作
OA
⊥
MN
于
A
，
自
A
引圆的两条直线
，
交圆于
B
、
C
及
D
、
E<
/p>
，
A
O
B
直线
EB
及
C
D
分别交
MN
于
P
、
Q
．
G
M
·
H
E
E
求证：
AP
＝
AQ
．
（初二）
3
< br>、如果上题把直线
MN
由圆外平移至圆内，则由此可得以
下命题：
B
C
D
设
MN
是
圆
O
的弦，过
MN
的中点
A
任作两弦
BC
、
DE
，设
M
CD
、
EB
分别交
MN
于
P
、
Q
．
O
·
C
E
求证：
AP
＝
AQ
．
（初二）
C
4
、如图，分别以△
ABC
的
AC
和
BC
为一边，在△
ABC
的外侧作正方形
ACDE
和正方形
CB
FG
，
A
D
Q
N
点
P
是
EF
的中点．
M
B
·
P
求证
：点
P
到边
AB
的距离等于
AB
的一半．
（初二）<
/p>
D
·
O
B
M
G
N
P
Q
A
经
典
难
题（三）
C
E
1
、
如图，四边形
ABCD
为正方形，
DE
∥
AC
，
AE
＝
AC
，
AE
与
CD
相交于
F
．
D
求
证：
CE
＝
CF
．
（初二）
P
D
F
A
2
、如图，四边形
ABCD
为正方形，
DE
∥
AC
，
且
CE
＝
CA
，直线
EC
交
DA
延长线于
F
．
< br>求证：
AE
＝
AF
．
（初二）
A
B
Q
A
D
F
E
3
、设
P
是正方形
ABCD
一边
F
BC
上的任一点，
PF
⊥
AP
，
CF
平分∠
DCE
．
求证：
PA
＝
PF
．
（初二）
A
D
4
、
如图，
PC
切圆
O
于
C
，
AC
为圆的直径，
PEF
为圆的割线，
AE
、
< br>AF
与直线
PO
相交于
B
、
D
．
求
证：
AB
＝
DC
，
BC
＝
AD
．
（初三）
F
B
C
A
B
C
经
典
难
题（四）
E
1
、已知：△
ABC
是正三角形，
P
是三角
形内一点，
PA
＝
3
< br>，
PB
＝
4
，
O
PC
＝
5
．
D
B
B
P
求：∠
APB
的度数．
（初二）
P
C
E
A
2
、设
P
是平行四边形
ABCD
内部的一点，且
∠
PBA
＝∠
PDA
< br>E
．
F
< br>求证：∠
PAB
＝∠
PCB
．
（初二）
A
D
C
P
页脚内容
B
B
P
C
C
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3
、设
ABCD
为圆内接凸四边形，求证：
AB
·
CD
＋
AD
·
BC
＝
AC
·
BD
．
（初三）
A
4
< br>、平行四边形
ABCD
中，设
E
、
F
分别是
B
C
、
AB
上的一点，
< br>AE
与
CF
相交于
P
，且
D
AE
＝
CF
．求证：∠
DPA
＝∠
DPC
．
（初二）
A
D
F
经
典
难
题（五）
B
B
1
、设
P
是边长为
1
< br>的正△
ABC
内任一点，
L
＝
PA
＋
PB
＋
PC
，求证：
A
P
P
C
E
C
≤
L
＜<
/p>
2
．
2
、已知：
P
是边长为
1
的正方形
ABCD
内的一点，求
PA
＋
PB
＋
PC
的最小值．
D
A
B
C
3
、
P
为正方形<
/p>
ABCD
内的一点，并且
PA
＝
a
，
PB
＝
2a
，
PC
＝
3a
，求正方形的边长．
D
A
0
P
4
、如图，△
ABC
中，∠
< br>ABC
＝∠
ACB
＝
80
，
D
、
E
分别是
AB
、
AC
上的点，∠
DCA
＝
30
0
，∠
E
BA
0
A
＝
20
，求
∠
BED
的度数．
P
C
B
经典难题解答
:
E
D
＝∠
OEG
,
1.
如下图做
GH
⊥
AB,
连接
EO
。由于
GOFE
四点共圆，所以∠
GFH
EO
GO
CO
即△
GHF
∽△
OGE,
可得
=
=
,
又
CO=EO
，所以
CD=GF
得证。
GF
GH
CD
2.
如下图做△
DGC
使与△
ADP
全等，可得△
PDG
为等边△，从而可得
C
B
0
△
DGC
≌△
APD
≌△
CGP,
得出
PC=AD=DC,
和∠
DCG=
∠
PCG
＝
15
所以∠
DCP=30
0
，从而得出△
PBC
是正三角形
3.
如下图连接
B
C
1
和
AB
1
分别找其中点
F,E.
连接
C
2
F
与
A
2
E
并延长相交于
Q
点，
连接
EB
2
并延长交
C
2
Q
于
H
点，连接
FB
2
并延长
交
A
2
Q
于<
/p>
G
点，
0
1
1
1
由
A
2
E=
1
A
B
=
B
C
= FB
，
EB
=
AB=
BC=F
C
，又∠
GFQ+
∠
Q=90
和
1
1
1
1
2
2
1
2
2<
/p>
2
2
经
典
难
题（一）
B
C
∠
GE
B
2
+
∠
Q=90
0
,
所以∠
GE
B
2<
/p>
=
∠
GFQ
又∠
B
2
FC
2<
/p>
=
∠
A
2
EB
2
，
可得△
B
2
FC
2
≌△
A
2
EB
2<
/p>
，所以
A
2<
/p>
B
2
=B
2
C
2
，
又∠<
/p>
GFQ+
∠
HB
2
F=90
0
和∠
GFQ=
∠
EB
2
A
2
,
从而可得∠
A
2
B
2
C
2
=90
0
，
同理可得其他边垂直且相等，
从而得
出四边形
A
2
B
2
C
2
D
2
是正方形。
4.
如下图连接
AC
并取其中点
Q
，
连接
QN
和
QM
，
所以可得∠
QMF=
∠
F
，
∠
QNM=
∠
DEN
和∠
QMN=
∠
QNM
，从而得出∠
DEN
＝∠
F
。
经
典
难
题（二）
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