双曲几何又名罗氏几何
梦见拿刀-
双曲几何
又名
罗氏几何
（
罗巴切夫斯基
几何），是
非欧几里德
几何
的一种特例。与
欧几里德几何
的差
别在于第五条公理（公设）－
平行公设
。在
欧几里德几何
中，若平面上有一条直线
R
< br>和线外
的一点
P
，则存在唯一的
一条线满足通过
P
点且不与
R
相交（即
R
的平行线）。但在双曲几何
中，至少可以找到两条相异的直线，且都通过
P
点，并不与
R
相交，因此他违反了
平行
公设
。然
而，取代
欧几里德几何
中的
平行公设
的双曲几何本身并无矛盾之处，
仍可以推得一系列属于它的
定理，这也说明了
平行公设
独立于前四条公设，换句话说，无法由前四条公设推得
平行公设
。
到目前为止，数学家对双曲几何中
平行线
的定义尚未有共识，不同的作者会给予不同的定义。在
此，我们定义两条逐渐靠近的线为渐进线，它们互相渐进；两条有共同垂直线的线为超平行线，
它们互相超平行，
并且两条线为平行线代表它们互相渐进或互相超平
行。
双曲几何还有一项性质，
就是
三角
形
的内角和小于一个
平角
（
180°
）。在极端的情况，
三角形
的三边长趋近于无限，而三
内角趋近于
0°
，此时该
三角形
称作
理
想三角形
。
双曲几何专门研究当平面
变成
鞍马型
之后，平面几何到底还有几多可以适用，以及会有什
么特别
的现象产生。在双曲几何的环境里，平面的
曲率
是
负数
。
通过
P
点且渐渐趋近
R<
/p>
（但不相交）的直线
不相交的线
已知在双曲几何上，
至少有两条直线满足过
P
点平行直线
R
。
接着在
R
上取一点
B
使得
PB
垂直
R
于
B<
/p>
点，
设在所有满足过
P
< br>点且不与
R
相交的直线中，
存在
一条直线
x
与
PB
的逆时针方向夹
角比其他直线都来的小，即任何一条直线若与
PB
的逆时针夹角小于
x
与
PB
的逆时针夹角，则
必与
R
相交，并定义
x
为
R
的渐近线。同理，若存在另一条直线
y
与
PB
的顺时针方向夹角比其
他直线都来的小，则
y
为
R
的另一条渐进线。并且，在所有满足过
P
点且
不与
R
相交的直线中，
唯有
x
与
y
是
R
的渐近线，其余的我们称之为
R
的超平行线。由于满足小于
90°
且大于
< br>x
与
PB
的夹角
θ
的角度有无线多个，
每个角度皆可引出两条
R
的超平行线，
因此
R
有无线多条超平行线。
因此，对于平
面上一条直线
R
以及线外的一点
P
，恰能引出两条直线过
P
且渐近于
R
，以及无限
多条直线过
P
超平行于
R
。
此外，渐进线和超平行线的差别还有：不论往线的哪端延伸，两条超平行线之间的
距离皆会趋近
于无限；但两条件渐近之间的距离则会在一端趋近于零，在另一端趋近无限
。从而，在双曲几何
中有一定理
超平行线定理
< br>：对于任两条超平行线存在唯一一条线同时垂直于这两条线。
< br>对双曲平面上的一条直线
R
，
作
线段
BP
垂直
R
于
B
点，
且线段
BP
的长度等于一个给定的值
p
，
则定义两条
R
的过
P
点的渐近线与线段
BP
的夹角<
/p>
θ
为
p
的
渐近角
（
Angle of paralle
lism
），通
常记为
Π
（
p
）。因此有
以及
于是，随着线段长度的缩小，双
曲几何的性质会越来越像
欧几里得几何
。事实上，对任一个
双曲几何定义一个定值
K=
高斯曲率
，借由线段长度与
的性质与
欧几里得几何
的相似度。
的比值，我们可以知道该平面
三角形
在双曲几何中，线段长度的定义为两点的最短距离除以
，
K=
高斯曲率
，正如
同在
球面几何
中的长度为其圆心角弧度（最短距离除以曲率），
有了长度的定义后，我们可
以给出双曲几何中的
勾股定理
：若一直角三角形的两股长分别为
a
和
b
，斜边为
c
，则<
/p>
在此，
co
sh
指的是
双曲余弦
函数。
在双曲几何中，许多
双曲三角学
公式与
欧几里得几何
十分相像，大抵上双曲几何中的长
度需
带入
双曲函数
。例如双曲几何中的
正弦定律为：
不同于
欧几里得几何
，双曲几何中三角形的内角和必小于
π
(180°)
，故称其内角和与
π
的差
为该三角形的
角亏
，则该三角形的面积
等于该三角形的
角亏
成以
R²
，而
所有三角形的面积均小于等于
πR²
，且等号成立
当且仅当
该三角形为
理想三角形
。
。故
圆与球
[
编辑<
/p>
]
以下的圆或求半径皆为
r
，并且
K
代表
高斯曲率
，
R
代表
双曲几何中圆的周长为