世界数学史
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世界数学史
序言
本世纪
初，法国著名科学家普恩凯莱
(H
．
P
oincare
，
1854
—
1912)
就曾说
过：
“如果我们想要预见数学的将来，
适当的途径是研究这门科学的历史和
< br>现状．
”
而了解数学的历史，
不
仅对有志于数学研究的研究人员来说是十分
重要的，
就是对高、
中、
初级各类学校中的数学教育工作者以及更为广大的
数学爱好者讲来，其重要意义都是极为显而易见的．
< br>长时期以来，
我国的数学史工作者，
他们的大部分工作，
多是属于中国
古代数学史方面的．而对于世界数学史的研究工作
，相对讲来，起步较晚，
数量较小．只到了最近，这种情况才稍有改变．
七、
八年前，
本书的作者们
有鉴于此，
不揣冒昧，
组织起来进行工作．
其
结果，就是呈现在读者面前的这部著作．
在本书中，
并没有把中国与外国并列，
而是把中国数
学放到世界数学之
中去写的．
宋元数学代表了当时世界数学的较
高水平，
所以列专章论述；
清
代数学相
对落后，有价值可入史册者，也列入有关章节适当介绍．
全书
基本上按时间顺序编排，
但也考虑到地区和学科．
古代数学成果
曾
先后集中在几个地区，
故以地区分章；
而现代数学的发展多呈以学科为系统
的发展形式，故现代数学多以学科分章或分节．<
/p>
本书的选题、
组织的最初工作是由杜石
然负责的．
各章节的执笔分工如
下：
张贵新：第一、二、三章；
孔国平：第四、八、九、十、十一章；
杜瑞芝：第五、六、七章；
张祖贵：第十二、十三章；
胡作玄：
第十四章中的第
1
—
4
节．
全书的统纂工作，
是由
孔国平完成的．
中国科学院数学研究所李文林教
授协助审阅了本
书的第九、
十、
十一章、
中国科学院自
然科学史研究所刘钝
教授协助审阅了第四、八章．他们都提出了有益的修改意见．
辽宁师范大学的梁宗巨教授、
王青建副教授
为本书提供了数学家的肖像
和数学著作的书影．
吉林教育出版社白国才等社领导以及编辑部的阙家栋、
王铁义等先生都
做了大量的工作．
凡此种种，在此一并致谢．
虽经各位
作者尽心努力，
由于资料、
水平所限，
疏漏谬误之处当在所难
免，敬请各位读者批评指正．
杜石然
一九九五年二月，序于
日本国京都市佛教大学
第一章：埃及数学
第一节
埃及数学产生的背景及研究依据
埃及是数学古国，
被人们认为是数学产生的最早国家之一，
因此，
在研<
/p>
究数学历史的时候，必须提及埃及的数学．
对埃及数学的产生，
曾有过各种不同的看法，
例如，
希腊的逻辑学家亚
里士多德
(Aristot
le
，公元前
384
—约前
322)
在其《形而上学》一书中指出：
“之所以
在埃及能够产生数学，是受到上帝的恩赐．”对此，恩格斯在《反
杜林论》中明确指出：
“数学是人的需要中产生的，是从丈量土地和测量容
积，从计算
时间和制造器皿产生的．”事实上，埃及的数学产生，符合恩格
斯的精辟阐述．
一、埃及数学产生的社会背景
埃及位于尼罗河岸，
在古代分为两个王国，
夹在两个高原中间的狭长谷
地
，
叫做上埃及．
处于尼罗河三角洲的地带叫做下埃及．
这两个王国经过长
时期的斗争，在公元前
320
0
年实现了统一，并建都于下游的孟斐斯
(Memphis)<
/p>
．
尼罗河经常泛滥，
< br>淹没良田．
在地界被冲刷的情况下，
统治者要按不同
数量征粮征税，这样，必须重新丈量土地．实际上，埃及的几何学就起源于
< br>此．希腊的历史学家希罗多德
(Herodo
-
tus
，约公元前
484
—前
424)
在《历史》
(Her
odoti Historiae)
一书中，明确指出：“塞索特拉斯
< br>(Sesostris)
①在全体埃
及居民中间把埃及的
土地作了一次划分．
他把同样大小的正方形土地分给所
有的人，
并要求土地持有者每年向他缴纳租金，
作为他的主要税收．
如果河
水泛滥，
国王便派人调查并测量损失
地段的面积．
这样，
他的租金就要按照
减少后的土地的面积来征收了．
我想，
正是由于有了这样的做法
，
埃及才第
一次有了几何学，而希腊人又从那里学到了它．”希
腊数学家德谟克利特
(Democritus
，约公元前
460
—前
357)
也曾指出：“我不得不深信，几乎埃及
人都会画证明各种直线的图形，
< br>每个人都是拉绳定界的先师．
”
所谓拉绳定
界的先师
(harpedonaptai)
大概是指
以拉绳为主要工具的测量师．
埃及人为了发展农业生产，
必须注意尼罗河的泛滥周期，
在实践中，
积
累了许多天文知识和数学知识．
譬如，
他们注意到当天狼星和太阳同时出没
之时，
就是尼罗河洪水将至
之兆．
并把天狼星的两个清晨上升的间隔当作一
年，它包含
365
天．把一年分成
12
个月，每个月是
30
个昼夜．并逐步摸索出
用日晷来测量时间．
大约在公元前
1500
年，
埃及人就已经使用了水钟——漏
壶，
它是底部有洞的容器．
把这个容器灌满水，
水从下面的孔里流完的这段
时间作为计算时间的单位．所有这些都蕴含了计算．
建造著名的金字塔，
可推知是公元前四、
五千年前的事．
根据对其结构、
形状的研究
，可推测古代埃及人掌握了一定的几何知识，致使底
两个边与
正北的偏差，一个仅仅是
2'30''
，一个是
5'30''
．这类的实际建筑，
推
< br>动了埃及数学计算的发展．
综上，社会的生产、生活的
实际需要，促使埃及数学的产生与发展．
二、研究埃及数学的依据
古埃及人创造出了几套文字，其中
一套是象形文字．
“象形文字”这个
词源于希腊文，
意思是神圣的文字．
直到基督降生的年代，
埃及在
纪念碑文
和器皿上还刻有象形文字．
自公元前
< br>2500
年左右起，
开始使用象形文字的缩
写，称作僧侣文
(hieraticwriting)
．
1
．兰德纸草书
埃及的数学原典就是由象形文字书写而成，
其中，
对考察古
埃及数学有
重要价值的是“兰德纸草书”，这部纸草书①是在埃及古都——底比斯
(Thebes)
的废墟中发现的．
1858
年由兰德
(A
．
H
．
Rhind)
购买，尔后，遗赠
给
伦敦大英博物馆．因此，
叫做兰德
纸草书．这种纸草书长约
550
厘米、宽
33
厘米，摹本出版于
1898
年．
这部纸草书是根据底比斯人统治埃及时
(
约公元前
1800
年以后
)
写成的，
著者阿梅斯
(Ahmes)
曾写道，
此书是根据埃及王国时代
(
公元前
2000
—前
1800)
的材料写成的②．
这部纸草书的出现，
对埃及的文化产生了重要影响，
对数学的发展和传
播起到了一定的作用．阿梅斯认为，这是一部“洞察一切事物的存在
，彻底
研究一切事物的变化，
揭示一切秘密„„”
的经典．
实际上，
只是传授
“数”
的秘密和分数计算．全书分成三部分，一是算术；二是几何；三是杂题．共
有
85
题．记载着埃及人在生产、生活中遇到
的实际问题．例如，对劳动者酬
金的分配；面积和体积的计算；不同谷物量的换算等等．
其中，也含有纯数
学知识问题．例如，分数的难题计算等等．
2
．莫斯科纸草书
< br>记载着古埃及数学的另一部古典书籍是莫斯科纸草书，
此书是由俄罗斯
收藏者于
1893
年获得的．
约
20
年后，
即
< br>1912
年转藏于莫斯科图书馆①．
这部
纸草书长约
550
厘米、宽
8
厘米，共记载着
25
个问题．由于卷首
遗失，书名无
法考证．俄罗斯历史学家古拉叶夫
(
Б
．
А
．
< br>Г
у
р
а
е
в
，
1868
—
1920)
于
1917
年和斯特卢威
(
В
．<
/p>
В
．
С
т
р
у
в
е
，
1891
—
1964)
于
1930
年对莫斯科
纸草书进行了研究，后
-
者完成了出版工作，对进一步
研究埃及的数学提供
了方便．
总之，
研究埃及数学主要是依据如上两部书，
当然，
< br>也可能还有其它的
有关资料，有待于进一步发现与考证．
第二节
埃及数学的主要内容
根据埃及纸草书的记载，
古埃及人对算术、
代数、
几何等数学知识已经<
/p>
有了初步认识，并能做简单地应用．现简要介绍如下：
一、算术
古埃及人所创建的数系与罗马数系有很多相似之处，
具有简单而又纯朴
的风格，并且使用了十进位制，但是不知道位值制．<
/p>
古埃及人是用象形文字来表示数的，例如
根据史料记载，上述象形文字似乎只限于表示
10
7
以前数．由于是用象
形文字表示数，
进行相加
运算是很麻烦的，
必须要数
“个位数”
、
“十位数”
、
“百位数”
的个数．
但在计算乘法时，
埃及人采取了逐次扩大
2
倍
(duplication)
的方法，运算过程比较简便．
乘法：
古埃及人采用反复扩大倍数的方法，
然后将对应结果相加．
例如
兰德纸草书
(
希特
版
)
第
32
页
，
记载着
12
×
12
的计算方法，
是从右往左读的．
右
边用现代数字表示，这就是倍增法
(duplatio)
．
由下表可知，
计算的方法是把
12
依次扩大
2
倍，
那么
12
×
12
为
12
的
4
倍加
上
12
的
8
倍，恰是
12
的
12
倍，并把要加的数在右侧
(
现代阿拉伯数字在左侧
)
< br>标记斜线，算得结果
144
．
在更早的时期，埃及人也曾采用“减半法”来计算乘法．首先
是将一乘
数扩大
10
倍，然后再计算<
/p>
10
倍的一半．例如纸草书
(
卡芬版
)
第
6
页，计算
16
×
16
，是按如下方法计算的，即减半法
(mediatio)
．
/1
16
/10
160
/5
80
合计
256
这种乘法的计算方法是古代人
计算技能的基础，
是非常古老的方法．
希
腊时期的学校曾讲授过埃及人的计算方法，到了中世纪，还讲授“倍增法”
和“减半法
”．
除法：
埃及人很早就认识到除法
是乘法的逆运算，
并蕴含在实际计算之
中．例如，计算
1120
÷
80(
见兰
德纸草书第
69
页
)
< br>．
1
80
/10
800
2
160
/4
320
合计
1120