发现边长为

1

的正方形对角线不能用

这就产生了这个无理数。

这无疑对< /p>

“万物皆数”

产生了巨大的冲击，

由此引 发了第一次数学危机

【

1

】

（二）

、危机的解决

由无理数引发的第一次数学危机对古希腊的数学观点产生了 极大的冲击。

动摇

数学基础的第一次危机并没有很轻易地被解决 。

大约到了公元前

370

年，

这个矛

盾终于被毕达哥拉斯学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法巧 妙的处理了。

但这个问题直到

19

世纪 的戴德金和康托尔等人建立了现代实数理论才算彻底解

决了。

（三）

、对数学发展的意义

第一次危机的产生最大的意义是导致了无理数地产生，

打破了长时间的禁 锢数学

发展的枷锁。

这次数学危机也使整数的权威地位开始动摇 ，

而几何学的身份升高

了，在以后的一两千年中，几何支撑了数 学的发展。同时危机也表明，直觉和经

验不一定靠得住，

推理证 明才是最可靠的，

从此希腊人开始重视演译推理，

并由

此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命

第二次数学危机（

微积分工具

）

18

世纪，微分法和积分法在生产和实践上 都有了广泛而成功的应用，大部分

数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。

还是莱布尼茨所创

立的微积分理 论都是不严格的。

（一）

、危机的起源

因为牛顿和莱布尼茨的微积分理论是建立在无穷小分析之上的，

但他们对作为< /p>

基本概念的无穷小量的理解与应用是混乱的。

1734

克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家 的进言》

，矛头指向微积分的基

础——无穷小的问题，

提出了所谓贝克莱悖论。

笼统的说，

贝克莱悖论 可以表述

为“无穷小量究竟是否为

0

” 的问题。这一问题的提出在当时的数学界引起了一

定的混乱，由此导致了第二次数学危机 的产生

【

2

】

。

（二）

、危机的解决

为了解决第二次数学危机，

数学家 们开始在严格化基础上重建微积分，

其中贡

献最大的是法国数学 家柯西，他在《分析教程》和《无穷小计算讲义》中给出了

数学分析一系列基本概念的精 确定义。

例如：

他给出了精确的极限定义，

然后用

极限定义连续性、导数、微分，定积分和无穷级数的收敛性。后来，魏尔斯特 拉

斯及其追随者们实现了分析的算术化。至此，数学史上的第二次危机已经克服，

数学的整个结构已被恢复

【

3

】

。

（三）

、对数学发展的意义

牛顿和莱布尼茨创立的微积分理论虽然存在一定的缺陷，< /p>

但微积分仍然很受重

视，被广泛地应用于物理学、力学、天文学中 。危机爆发后，经过柯西等人的不

懈努力，

严格的极限理论建立 起来了，

为微积分奠定了理论基础。

微积分理论的

建立在数学史上有深远的意义。

一方面它消除了微积分长期以来的神秘性，< /p>

使数

学以及其他科学冲破了宗教的束缚，为以后的独立发展创造了 条件；另一方面，

微积分理论基础的建立加速了微积分的发展，

产生了复变函数、

实变函数、

微分

方程 、变分学、积分方程、泛函分析等学科，形成了庞大的分析体系，成为数学

的重要分支< /p>

【

4

】

。