唐一良--平面几何
落花生原文-
2012
年高中数学竞赛——平面几何攻略
<
/p>
2012
年高中数学竞赛——平面几何攻略
江苏省扬州中学
唐一良
第一部分【几个著名定理】
例
1
．以△
ABC
的底
边
BC
为直径作半圆，分别与
AB
、
AC
交于点
D<
/p>
和
E
，分别过
D
、
E
作
BC<
/p>
的垂线，
垂足依次为
F
< br>、
G
，
线段
DG
和
EF
交于点
M
，
求证：
AM
⊥
BC
（
IMO-37
国家队选拔题）
A
例
2.
如
图，
在锐角三角形
ABC
的
BC
边上有两点
E
、
F
，
满足∠
M <
/p>
BAE=
∠
CAF
，作
FM
⊥
AB
，
FN
⊥
AC
（
M
、
N
是垂足）
，延长
AE
交三角形
ABC
的外接圆于
D
．
证明：
四边形
AMDN
与三角形
ABC
N
的面积相等．
B
C
E
F
D
例
3<
/p>
.
求证：四条直线两两相
交所构成的四个
三角形
的外接圆相交于一点，
且由该点向四条
< br>直线所作垂线的垂足在
一条直线上；
< br>例
4
．若两个三角形的对应顶点的连线交于一点，则对应
边所在的直线交点必共线。（笛沙
格定理）
第二部分【三角形五心研究】
例
1
．
过等腰△
AB
C
底边
BC
上一点
P
引
PM
∥
CA
交
AB
于
M
；
引
PN
∥
BA
交
AC
于
N
.
作点
P
关于
MN
的对称点
P
′.
试证：
P
< br>′
点在△
ABC
外接圆上
.
例
2
．设圆
O
是△
ABC<
/p>
的内切圆，
BC
，
CA
，
AB
上的切点各是
D
，
E
，
F
，射线
DO
交
EF
于
A
„
，同样可得
B
„
，
C
‟
，试证：直线
AA<
/p>
„
，
BB
‟
，
CC
„
共点。<
/p>
例
3
．设△
ABC
的三条高线为
< br>AD
，
BE
，
< br>CF
，自
A
，
< br>B
，
C
分别作
< br>AK
EF
于
< br>K
，
BL
DF
于
L
，
CN
ED
于
N
，证明：直线
AK
，
BL
，
CN
相交于一点。<
/p>
例
4
．
在△
ABC
中，<
/p>
AB=4
，
AC=6
，
BC=5
，
∠
< br>A
的平分线
AD
交△
ABC
的外接圆于
K
，<
/p>
△
ABC
的外心，内心分别是
O
，
I
，求证：
OI
AK
。
例
5
．设点
M
是△
ABC
的边
BC
的中点，
I
是其内心，
AH
是
BC
边上的高，
E
为直线
IM
与
AH
的交点，求
证：
AE
等于内切圆半径
r
。
例
6
．设圆
O
是△
ABC
的
BC
边外侧的旁切圆，
D
，
E
，
F
分别是圆
O
与
BC
，
CA
，
AB
所在
直线的切点，若
OD
与
EF
相交于
K
，求证：
AK
平分
B
C
。
例
7<
/p>
．在
ABC
中
，
A
60
0
，
AB>AC
，点
O
是外心，两条高
BE
，
CF
交于
H
点，
点
M
，
N
分别在线段
BH
，
HF
上，且满足
BM=CN
，求
MH
NH
的值。
OH
第三部分【圆的研究】
例
1
．
(
Euler
定理
)
设三角形
的外接圆半径为
R
，内切圆半径为
r<
/p>
，外心与内心的距离为
d
，则
d
2
=
R
2
-
2
Rr
< br>．
(1992
年江苏省数学竞赛
)
- 1 -
2012
年高中数学
竞赛——平面几何攻略
例
2.
设点
P
是⊙
O
外一点，
P
AB
，
PCD
是两条割线，
AD
，
BC
交于点
Q
，延长
BD
，
AC
交于点
R
，求证：
P
Q
2
=
P
的幂
+
Q
的
幂；<
/p>
PR
2
=
P
的幂
+
R
的幂
.
A
P
C
Q
R
D
B
【两个
典型模型】
：⊙
O
的内接四边形
ABCD
中，
AB
，
DC
延长后交于点
E
< br>，
AD
，
BC
< br>延长
后交于点
F
，
AC
，
BD
交于点
P
（不与
O
重合）
，证明：
OP
⊥
E
F
，并讨论四边形
ABCD
是
圆外切四边形的情形。
A
A
O
M
O
P
B
D
P
B
D
N
C
C
E
E
F
F
A
例
3.
设
D
，
E
是
ABC
中
AB
，
AC
上的点，求证：以
B
E
和
CD
为直径的
两圆的根轴必通过
ABC
的垂心
。
E
D
O
1
O
2
B
C
例
4.
如图
，已知两个半径不相等的⊙
O
1
与⊙<
/p>
O
2
相交于
M<
/p>
、
N
两点，且
⊙
O
1
、⊙
O<
/p>
2
分别与⊙
O
内
切于
S
、
T
两
点。求证：
OM
⊥
MN
的充分必
O
要条件是
S
、
N
、
T
三点共线。
（
97
年高中
数学联赛试题）
M
O
2
O
1
N
T
例
5
．四边形
ABCD
内接于圆，其边
AB
与
DC
延长交于点
P
，
AD
、
BC
S
延长交于点
Q
，由
Q<
/p>
作该圆的两条切线
QE
、
QF
，切点分别为
E
、
F
，
P
求证：
P
、
E
、
F
三点共线．
(1997
年中国数学奥林匹克）
第四部分【
从调和点列到完全四边形到
Apollonius
圆到极线极点
】
I
例
1<
/p>
如图，过圆
O
外一点
P
作其切线
PA
、
PB
，
OP
与圆和
AB
分
A
E
A
B
别交于
I
、
M
，
DE
为过
M
的任意弦。
求证：
I
为△
PDE
内心
。
（
2001
F
M
年中国西部数学奥林匹克）
L<
/p>
E
例
2
如图，△
ABC
中，
AD
⊥
BC
，
H
为
AD
上任一点，则∠
ADF=
O
D
H
- 2 -
B
D
C
K
2012
年高中数学竞赛——平面几何攻略
∠
ADE
（
1
994
年加拿大数学奥林匹克试题）
例
3
如图，
完全四边形
ABCDEF
中，
GJ
⊥
EF
与
J
，则∠
BJA=
∠
D
JC
（
2002
年中国国家集训
队选拔考试题）
例
4.
已知：
△
ABC
内角平分线
BE
、
CF
交于
I
，
过
I
做
IQ
⊥
EF
交
BC
于
P
，
且
< br>IP=2IQ
。
求证：
∠
BAC=60
°
A
例
5.
P
为圆
O
外一点，
PA
、
PB
为圆
O
的两条切线。
PCD
为任意一条
割
线，
CF
平行
PA
且交
AB
于
E
。求证：
CE=EF
（
2006
国家集训队培训题）
B
G
D
C
例
6.<
/p>
过锐角
ABC
的顶点
A
，
B
，
C
的三条高分别交对边于点
D
，
E
，
F
，
F
过点
D
平行于
EF
的直线分别交
A
C
，
AB
于点
Q
，
R
，直线
EF
E
A
J
交
BC
于点
P
，
求证：
PQR
的外接圆过
BC
的中点。
F
E
R
C
P
例
7.
在
ABC
中，经过点
B
，
C
的圆与边
AC
，
AB
的另一个交点分
B
D
Q
别为
E
，
F
，
BE
与
CF
交于点
P
，
AP
与
BC
交于点
D
，
M
是边
BC
A
的中点，
D
，
M
不重合，求证：
D
，
M
，
E
，
F
四点共圆。
E
例
8.
凸四
边形
ABCD
内接于⊙
O
，延长
AB
，
DC
交于点
E
，延长
BC<
/p>
，
AD
交
于点<
/p>
F
，
AC
，
BD
交于点
P
，直
线
OP
交
EF
于点
G
，求证：
AGB
CGD
F
P
C
例
9.
以锐角
< br>
PAB
的边
AB
为直径作半圆交
PA
于点
E
，交
PB
于点
D
，直线
B
D
M
AB
与
ED
交于点
Q
，
AD
与
BE
交于点
C
，
直线
PC
交
AB
于
H
，
连
OE
，
OD
，
HE
，
HD
，求证：
OEH
ODH
EQO
例
10.
如图，
O
、
I
分别为△
ABC
的外心和内心，
< br>AD
是
BC
边上的高，
I
在线段
OD
上。
求证：
△
ABC
的
外接圆半径等于
BC
边上的旁切圆半径。
(98
年全国高
中联赛试题
)
第五部分【完全四边形】
例
1.
在四边形
ABCD
中两条对角线交于点
O
，
两组对边的延长线分别
交于点
E
，
F
，
过
O
作
EF
的平行线交
BC
，
AD
于
I<
/p>
，
J
，
求证：<
/p>
OI=OJ
- 3 -
A
O
I
B
D
E
M
F
C
A<
/p>
I
A
B
M
O
I
C
J
D
N
F
E
G