几何口诀
菏泽景点-
三角形
图中有角
平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
由角平分线想到的辅助线：
①从角平分线上一点向两边作垂线；
②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）
< br>。
通常情况下，出现了直角
或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取
哪种方法
，要结合题目图形和已知条件。
（一）截取构全等
例
1
：
已知，如图
AB//CD
，
BE
、
CE
分别是∠
ABC
、∠
BCD
的平
分线，点
E
在
AD
上，求证：
BC=AB+CD
。
例
2
：
如
图
，
在
△
A
B
C
中
，
A
D
是
< br>∠
B
A
C
的
平
分
线
，
∠
C
=
2
∠
B.
求
证
：
A
B
=
A
C
+
C
D.
分析：
此题的条件中还有角的平分线，
在证明中还要用
到构造全等三角形，
此题还是证明线段的和差倍分问题。
用到的
是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？
例
3
．
已知：如图
1-3
，
AB=2AC
，∠
BAD=
∠
CAD
，
DA=DB
，求证
DC
⊥
AC
例
4
已知：
如图
1-4
，在△
ABC
中，∠
C=2
∠
B,AD<
/p>
平分∠
BAC
，求证：
< br>AB-AC=CD
（二）
、
角分线上点向角两边作垂线构全等
过角平分线上一点向角两
边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
例
3
：
如图<
/p>
2-1
，已知
AB>AD,
∠
BAC=
∠
FAC,C
D=BC
。
求证：∠
ADC+
∠
B=180
例
4
：
已知如图
2-3
，△
ABC
的角平分线
BM
、
CN
相交于点
P
。
求证：∠
BAC
的
平分线也经过点
P
。
例
5
：
如图∠
AOP=
∠
BOP=15
，
PC//OA
，
PD
⊥
OA
，
如果
PC=4
，则
PD=
（
）
例
6
：
已知：如图
2-6,
在正方形
ABCD
中，
E
为
CD
的中点，
F
为<
/p>
BC
上的点，∠
FAE=
∠
DAE
。
求证：
AF=AD+CF
。
< br>
例
7
：
已知：
如图
2-7
，在
Rt
< br>△
ABC
中，∠
ACB=90
,CD
⊥
AB
，垂足为
D
，
AE
平分∠
CAB
交
CD
于
F
，过
F
作
FH//AB
交
BC
于
H
。
求证
CF=BH
。
（三）
、作角平分线的垂线构造等腰三角形
从角的一边上的一点作角平分线的垂线，
使之与角的两边相交，
则截得一个等腰三角形，
垂足为底边
上的中点，
该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三
线合一的性质。
（如果题目中有
垂直于角平分线的线段，则延长
该线段与角的另一边相交）
。
例
9
：
已知：如图
，∠
BAD=
∠
DAC
，
AB>AC,CD
⊥
AD<
/p>
于
D
，
H
是
BC
中点。求证：
DH=
（
AB-
AC
）
例
10
：<
/p>
已知：如图
AB=AC
，∠
BAC=90
，
AD
为∠
ABC
的平分线，
CE
⊥
BE.
求证：
BD=2CE
。
例
11<
/p>
：已知：
:
在△
ABC
中，
AD
、
AE
分别∠
BAC
的内、外角平分
线，
BF
垂直
AD
。求证：
AM=ME
。
例
12
已知：
，在
△
ABC
中，
AD
平分∠
BAC
，
AD=AB
，
CM
⊥
AD
交
AD
延长线于
M<
/p>
。求证：
AM=
（
AB+AC
）
例
13
已
知：在△
ABC
中，
AB=5
，
AC=3
，
D
是
BC
中点，
AE<
/p>
是∠
BAC
的平分线，且
CE
⊥
AE
于
E
，连接
DE
，
求
DE?
例
14
：已
知
BE
、
BF
分别是△
ABC
的∠
ABC
的内角与外角的平分线，
AF
⊥
< br>BF
于
F
，
AE
⊥
BE
于
E
，连接
EF
分别交
AB
、
AC
于
M
、
N
，求证
（
1
）四边形
AEBF
是矩形；
（
2
）<
/p>
MN=1
/
2BC
（三）
有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点
作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。
例
15
：
如图，
AB>AC,
∠
1=
∠
2
，求证：
AB
－
AC>BD
－
CD
。<
/p>
例
16
：如图，
BC
>BA
，
BD
平分∠
< br>ABC
，且
AD=CD
，求证：
∠
A+
∠
C=180
< br>。
例
17;:
如图，
AB
∥
CD
< br>，
AE
、
DE
< br>分别平分∠
BAD
各∠
ADE<
/p>
，求证：
AD=AB+CD
。
例
18
：
已知，如图，∠
C=2
∠
A
，
AC=2BC
。求证：△
ABC
是直角三角形。
例
19
：已
知：如图，
AB=2AC
，∠
1=
∠
2
，
DA=DB
，求证：
DC
⊥
AC
例
20
：已知
CE
、
AD
是△
ABC
的角平分线，∠
B=60
°，求证：
AC=AE+CD
例
21
：已知：如图在△
ABC
中，∠
A=90
°，
AB=AC
，
BD
是∠
ABC
的平分线，求证：
BC
=AB+AD
（四）角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线
例
14
：
<
/p>
如图，
Δ
ABC
是等腰直角三角形，∠
BAC=90
°，
BD
平分∠
ABC
交
AC
，求证
BD=2CE