数学史上的三次危机-最新学习文档
无畏的希望-
数学史上的三次危机
（文章转载自数学发展简史）
从哲学上来看，矛盾是无处不存在的，即便以确定无疑著称
的数学也
不例外。数学中有大大小小的许多矛盾，例如正与
负、加与减、微分与积分、有理数与无
理数、实数与虚数等
等。在整个数学发展过程中，还有许多深刻的矛盾，例如有
穷与无穷、连续与离散、存在与构造、逻辑与直观、具体对
象与抽象对象
、概念与计算等等。
在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。
当矛盾激化到涉及
整个数学的基础时，就会产生数学危机。而危机的解决，往
往能给数学带来新的内容、新的发展，甚至引起革命性的变
革。
数学的发展就经历过三次关于基础理论的危机。
一、第一次数学危机
从某种意义上来
讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系
统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派
。它是一个唯
心主义学派，兴旺的时期为公元前
500
年左右。他们认为，
“万物皆数”(指整数
)<
/p>
，数学的知识是可靠的、准确的，而
且可以应用于现实的世界，数
学的知识由于纯粹的思维而获
得，不需要观察、直觉和日常经验。
整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽
象
概念。日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各
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种量，例如长度、重量和时间。为
了满足这些简单的度量需
要，
就要用到分数。
< br>于是，
如果定义有理数为两个整数的商，
那么由于有理数
系包括所有的整数和分数，所以对于进行实
际量度是足够的。
有理数有一种简单的几何解释。在一条水平直线上，标出一
段线
段作为单位长，如果令它的定端点和右端点分别表示数
0
和
1
，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表
示整数，正整数在
0
的右边，负整数在
0
的左边。以
q
为分
母的分数，
可以用每一单位间隔分为
q
等分的点表示。
于是，
每一个有理数都对应着
直线上的一个点。
古代数学家认为，这样能把直线上所有的点
用完。但是，毕
氏学派大约在公元前
400
年发现：直线上存在不对应任何有
理数的点。特别是，他们证明了：这条直线上存在
点
p
不对
应于有理数，这里距离
op
等于边长为单位长的正方形的对
角线。于
是就必须发明新的数对应这样的点，并且因为这些
数不可能是有理数，只好称它们为无理
数。无理数的发现，
是毕氏学派的最伟大成就之一，也是数学史上的重要里程
碑。
无理数的发现，引起了第一次数学危机。首
先，对于全部依
靠整数的毕氏哲学，这是一次致命的打击。其次，无理数看
来与常识似乎相矛盾。在几何上的对应情况同样也是令人惊
讶的，因为与直观
相反，存在不可通约的线段，即没有公共
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的量度单位的线段。由于毕氏学派
关于比例定义假定了任何
两个同类量是可通约的，所以毕氏学派比例理论中的所有命
题都局限在可通约的量上，这样，他们的关于相似形的一般
理论也失
效了。
“逻辑上的矛盾”是如此之大，以致于有一段时间，他
们费
了很大的精力将此事保密，不准外传。但是人们很快发现不
可通约性并不是罕见的现象。
泰奥多勒斯指出，
面积等于
3
、
5
、
6
、……17
的正方形的边与单位正方形的边也不
可通约，
并对每一种情况都单独予以了证明。随着时间的推移，无理
数的存在逐渐成为人所共知的事实。
诱发第一次数学危机
的一个间接因素是之后“芝诺悖论”
的出现，它更增加了数学家们的担忧：数学作为一门
精确的
科学是否还有可能？宇宙的和谐性是否还存在？
在大约公元前
370
年，这个矛盾被毕氏学派
的欧多克斯通过
给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方
法，
出现在欧几里得
《原本》
第
5
卷中，
并且和狄德金于
1872
年绘出的无理数的现代解释基本一致。今天中学几何课本中
对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某
些困难和微
炒之处。
第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关
，几何
量不能完全由整数及其比来表示。反之，数却可以由几何量
表示出来。整数的尊祟地位受到挑战，古希腊的数学观点受
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到极大的冲击。于是，几何学
开始在希腊数学中占有特殊地
位。同时也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明
才是可靠的。从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过
演绎
推理，并由此建立几何学体系。这是数学思想上的一次
革命，是第一次数学危机的自然产
物。
回顾在此以前的各种数学，无非都是“算”，也就是提供
算
法。即使在古希腊，数学也是从实际出发，应用到实际问题
中
去的。
例如，
泰勒斯预测日食、
利用影
子计算金字塔高度、
测量船只离岸距离等等，都是属于计算技术范围的。至于埃
及、巴比伦、中国、印度等国的数学，并没有经历过这样的
危机和革命，
也就继续走着以算为主，以用为主的道路。而
由于第一次数学危机的发生和解决，希腊数
学则走上完全不
同的发展道路，形成了欧几里得《原本》的公理体系与亚里
士多德的逻辑体系，为世界数学作出了另一种杰出的贡献。
但是，自此以后希腊人把几何看成了全部数学的基础，把数
的研究隶属于形的研
究，割裂了它们之间的密切关系。这样
做的最大不幸是放弃了对无理数本身的研究，使算
术和代数
的发展受到很大的限制，基本理论十分薄溺。这种畸形发展
的局面在欧洲持续了
2019
多年。
二、第二次数学危机
十七、十八
世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为第二
次数学危机。从历史或逻辑的观点来看，
它的发生也带有必
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然性。
这次危机的萌芽出现在大约公元前
450
年，芝诺注意到由于
对无限性的理解问题而产生的矛盾，提出了关于时空的有限
与无限的四个悖论：
“两分法”：向着一个
目的地运动的物体，首先必须经过路
程的中点，然而要经过这点，又必须先经过路程的<
/p>
1/4
点……，如此类推以至无穷。——结论是：无穷是不可穷尽
的过程，运动是不可能的。
“阿基里
斯
(
《荷马史诗》中的善跑的英雄
)<
/p>
追不上乌龟”：
阿基里斯总是首先必须到达乌龟的出发点，因而乌
龟必定总
是跑在前头。这个论点同两分法悖论一样，所不同的是不必
把所需通过的路程一再平分。
“飞矢不动”：意思是箭在
运动过程中的任一瞬时间必在一
确定位置上，因而是静止的，所以箭就不能处于运动状态
。
“操场或游行队伍”：
A
、
B
两件物体以等速向相反方向运动。
从静止的
c
来看，比如说
A
、
B
都在
1
小时内移动了
2
公里，
可是从
A
看来，则
B
在
1
小时内就移动了
4
公里。运动是矛
盾的，所以运动是不可能的。
芝诺揭示的矛盾是深刻而复杂的。前两个悖论诘难了关于时
< br>间和空间无限可分，因而运动是连续的观点，后两个悖论诘
难了时间和空间不能无
限可分，因而运动是间断的观点。芝
诺悖论的提出可能有更深刻的背景，不一定是专门针
对数学
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的，但是它们在数学王国中却掀起
了一场轩然大被。它们说
明了希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾，但
他们无法解决这些矛盾。其后果是，希腊几何证明中从此就
排除了无
穷小。
经过许多人多年的努力，终于在
17
世纪晚期，形成了无穷
小演算——微积分这门学科。牛顿
和莱布尼兹被公认为微积
分的奠基者，他们的功绩主要在于：把各种有关问题的解法
统一成微分法和积分法；有明确的计算步骤；微分法和积分
法互为逆
运算。由于运算的完整性和应用的广泛性，微积分
成为当时解决问题的重要工具。同时，
关于微积分基础的问
题也越来越严重。关键问题就是无穷小量究竞是不是零？无
穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界
长达一个半世纪
的争论，造成了第二次数学危机。
无穷小量究竟是不是零？两
种答案都会导致矛盾。牛顿对它
曾作过三种不同解释：
1669
年说它是一种常量；
1671
年又
说它是一个趋于零的变量；
1676
年它被
“两个正在消逝的量
的最终比”所代替。但是，他始终无法解决上述矛盾。莱布
尼兹曾试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无
穷小量，但是他
也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥
梁。
英国大主教贝克莱于
1734
年写文章，攻击流数
(
导数)“是
消失了的量的鬼魂……能消化
得了二阶、三阶流数的人，是
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