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没有学不好的数学系列之二：初中几何知识点详解
证明一，证明二，证明三，解直角三角形，圆
证明（一）
（
1
）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
（
2
）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）
< br>。
1
、本套教
材选用如下命题作
为公理：
等腰三角形的其他性质：
、两条直线
被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平
行。
（
1
）
①等腰直角三角形的两个底角相等且等于
45
°
（
2
）
、两条平行线被第三条直线所截，同位角相
等。
②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或
直角）
，但顶角可为钝角（或直角）
。
）
、两边及
其夹角对应相等的两个三角形全等。
（
3
b
、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
（
4
）
角三角形两直角边
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
其它性质：
三角形的
一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
1
、
直角三
角形斜边上的高线将直角三角形分成的两个三角形和原三角形相似。
证明
（二）
2
、常用关系式：由三角形面积公式可得：
两直角边的积”
SSS
=
。<
/p>
）
斜边与斜边上的高的积（等面积法）
）三边对应相等的两个三角形全
<
/p>
等（可简写成“边边边”或“
（一、公理
1
（二）
（、直角三角形的判定
。
）
”
）两边
及其夹角
对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“
2SAS
1
。
）
”
）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（
可简写成“角边角”或“
3
（
ASA
、有一
个角是直角的三角形是直角三角形。
2
）全等三角形的对应边相等、对应角相等。
4
（
、如果三角形一
边上的中线等于这边的一半，
那么这个三角形是直角三角形。
3
（可简写成两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
推论：
“角角边”
、勾股定理的逆
定理
。
）
AAS
“或”
二、等腰三角形
222
cba
，
b
，如果三角形的三边长
ac
有关系，那么这个三角形是直角三
角形。
1
、等腰三角形的性质
1
没有学不好的数学系列之二：初中几何知识点详解
证明一，证明二，证明三，解直角三角形，圆
（三）直角三角形全等的判定：
<
/p>
（
2
）推论：夹在两条平行线间的平行线
段相等。
3
、
平行四边形的判定：
有斜边
对于
特殊的直角三角形，
判定它们全等时，
还有
HL
定理
（斜边、
直角边定理）<
/p>
（
和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
< br>（可简写成
“斜边、
直角边”
或
“
HL
”
）<
/p>
1
）定义：两组对边分别平行的四边形
是平行四边形
（
2
）定理
1
：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（
3
）定理
2
：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
五、角的平分线及其性质与判定
（
4
）定理
3
：对角线互相平分的四边形是平行四
边形
、角的平分线：从一个角的顶点引出的一
条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射
1
（
5
）定理
4
：一组对边平行且相等的四边形是
平行四边形
线叫做这个角的平分线。
4
2
、角的平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的
两边的距离相
等。
、平行四边形的面积
S=
底边长×高
=ah
，
并且这一点到三条边的距离定理：
三角形的三条角
平分线相交于一点
（三角
形的内心）
平
行四边形
二、矩形
相等。
1
、矩形的定义
、角的平分线的判定定理：
3
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
在一个角的内部，
且到角的两边距离
相等的点在这个
角的平分线上。
2
、矩
形的性质
六、线段垂直平分线的性
质与判定
（
1
、
1
）矩形的对边平行且
相等线段的垂直平分线：垂直于一条线
段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分
（
2
线。
）矩形的四个角都是直角
（
3
）矩形的对角线相等且互相平分
线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点和这
条线段两个端点的距离相等。
（，并且这一点到三
个顶点定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点（三角形的外心）
4
）
矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；
对称中心是
对角线的交点
（对称中心到矩形四个顶点的
距离相等）的距离相
等。
；对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。
3
线段垂直平分线的判定定理：
、矩形的判定到一
条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的
垂直平
（分线上。
1
）定义：有一个角是直角的平行
四边形是矩形
（
七、反证法
2
）定理
1
：有三个角是直角的四边
形是矩形
（
八、互逆命题、互逆定理
3
）定理
2
：对角线相
等的平行四边形是矩形
4
1
、
矩形的面积
、<
/p>
在两个命题中，
如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结
论和条件，
那么这
S=
两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。长×宽
=a
b
三、
矩形
菱形
、如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互
2
1
逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
、菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
证明（三）
2
< br>、菱形的性质
（
1
）
菱形的四条边相
等，
对边平行
一、
平行四边形
（
2
）<
/p>
菱形的相邻的角互补，
对角相等
、
平行四边形的定义
1 <
/p>
（
3
）菱形的对角线互相垂直平分，并且
每一条对角线平分一组对角
两组对边分别平行的四边
形叫做平行四边形。
（
4
）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；
对称中心是对角线的交点（对
称中心到菱
2
、
平行四
边形的性质形四条边的距离相等）
；
对称轴有两条，
是对角线所在的直线。
1
（）平行四边形的对边平行且相等。
3
、菱形的判定
2
（）平行四边形相邻的角互补，对角相等
（
3
（）平行四边形的对角线互相平
分。
1
）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
（
2
）定理
）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
4<
/p>
（
1
：四边都相等的四边
形是菱形
（
3
）定理）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线
< br>1
（常用
点：
2
：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4
段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。
、
菱形的面积
2
证明一，证明二，证明三，解直角
三角形，圆没有学不好的数学系列之二：初中几何知识点详解
结论
4
：三角形一条中线和与它相交的中位
线互相平分。
S=
底边长×高
=
两条对角线乘积的一半
菱形
结论
5
：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
< br>
四、正方形
（
3~10
分）
七、有关四边形四边中点问题的
知识点：
1
、正方形的定义
（
1
）
顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形；
有一组邻边相等并且有一个
角是直角的平
行四边形叫做正方形。
（
2
）顺次连接
矩形
2
、
正方形的性质
的四边中点所得的四边形是
菱形
；
（
3
）顺次连接
菱形
的四边中点所得
的四边形是
矩形
（
1
< br>）正方形四条边都相等，对边平行
；
（
4<
/p>
）顺次连接等
腰梯形
的四边中点所得的四
边形是
菱形；
（
2
）正方形的四个角都是直角
（
5
）顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形；
< br>
（
3
）正方形的两条对角线<
/p>
相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
（
6
）顺次连接对角线互相垂直的四边形四边
中点所得的四边形是矩形；
（
4
）正方形既是中心
对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交
点；对称轴有四（
7
）顺次连接对角线互相垂
< br>直且相等的四边形四边中点所得的四边形是正方形；
条
，是对角线所在的直线和对边中点连线
所在的直线。
3
、正方形的判定
解直角三角形
知识点总结
判定一个四边形是正方形
的主要依据是定义，途径有两种：
考
点一、直角三角形的性质
（
先
证它是矩形，再证它是
菱形。
3~5
分）
1
先证它是菱形，再证它是矩形。
、直角三角形的两个锐角互余
∠
A+
∠°
B=90 4
、正方形的面积°
可表示如下：∠
C=90
2
、在直角三角形中，
30b
a
设正方形边长为，对角线长为°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠
A=30
°
2
b
2
1
a
=S
AB
BC=
可表示如下：
22
∠
C=90
°
五、等腰梯形
31
、等腰梯形的定义、直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半
正方形
∠
ACB=90
°
两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
1
、等腰
梯形的性质
2
AB=BD=AD
可表示如下：
CD=
2
）
等腰梯形的两腰相
等，两底平行。
（
1
D
为
AB
）等腰梯形同一底上的两个角
相等，同一腰上的两个角
互补。
（
2
的中点
4
、勾股定理
）等腰梯形的对角线相等。
（
3
）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直
平分线。
（
4
222
< br>ca
b
直角三角形
两直角边
a
，的平方，即的平方和等于斜边
< br>cb
3
、等腰梯形的判定
5<
/p>
（、摄影定理
1
）定义：两
腰相等的梯形是等腰梯形
在直角三角形中，
2
（）定理：在同
一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形斜边上的高线是两直
角边在斜边上的摄影的比例中
项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中
（选择
题
和填空题可直接用）
3
（）对角线相
等的梯形是等腰梯形。项
六、三角形中的中位线
∠
、三角形的中位线：连接三角形两
边中点的线段叫做三角形的中位线。
1
ACB=90
°
2
BD
CDAD
< br>
2
、三角形中位线定理：三角形的中
位线平行于第三边，并且等于它的一半。
AB
ACAD
CD
3
、
常用结论：
任一个三角形都有三条中位线，<
/p>
由此有：
⊥
AB
2
ABBD
BC
6
：
2
三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
1
结论、常用关系式
由三角形面积公式可得：
：三条中位
线将原三角形分割成四个全等的三角形。
2
结论
BC
结论
：三条中位线将原三角形划分出
三个面积相等的平行四边形。
3
ABCD=AC
3
证明一，证明二，证明三，解直角三角形，圆
没有学不好的数学系列之二：初中几何知识点详解
（
3
）倒数
关系
（
3
~
5
分）
考点二、直角三角形的判定
A)=1
tan(90
°
tanA
—
1
、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2
、如果三角形一边上
的中线等于这边的一半，那么这
个三角形是直角三角形。
4
）弦切关
系（
A
sin
、勾股定理的逆
定理
3
tanA=
A
cos
222
cb
a
<
/p>
c
，
有关系，
那么这个三角形是直角三角形。
如果三角形的三边长
a
，
b
5
、锐角三角函数的增减性
~90<
/p>
°之间变化时，当角度在
0
考点三、锐角
三角函数的概念
（
3
~8
分）
°
1
）
正弦值随着角度的增大
（或减小）
而增大<
/p>
（或减小）
中，
∠
C=90
°
（
1
、
如图，在△
ABC
）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
A
①锐角的对边与斜边的比叫做∠
A
的
正弦，记为
sinA
，即（
2 3
（）正切值随着
角度的增大（或减小）而增大（或减小）
a
< br>A
的
对边
sin
A
（
3~5
）考点四、解直角三角形
c
斜边
、解直角三角形的概念
1
在直角三角形中，除直角外，一共
有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形，即
A
的余<
/p>
弦，
记为
cosA
②锐角
A
的邻边与斜边的比叫做∠
中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过
程叫做解直角三角
形。
b
的邻边
A
A
cos
、解直角三角形的理论依据
2
c
斜边
c b
，
A
在
Rt
△
ABC
中，∠
C=90
°，∠，∠
B
，∠
C
所对的边分别为
a
，
a
A
的对边
2
22
cba
（勾股定理）
1
）三边之间的关系：
（
A
tan
，即的正切，记为
tanA
③锐角
A
的对边与邻边的比叫做∠
A
b
的
邻边
A
B=90
°
A+
（
2
）锐角之间的关系：∠∠
、锐角三角函数的概念
（
3
）边角之间的关系：
2
bababa
锐角
A
的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠的锐角三角函数
A
tan
B
cos
B
,
,cos
A
,tan
A
,sin
B
,sin
A
3
、一些特殊角的三角函数值
acccbc
<
/p>
知识
点总结
<
圆
>
45
°°
60
°
30
三角函数
1
圆与三角形、
四边形一样都是研究相关图形中的线、
角、
周长、
面积等知识。
包括性质
32
sin
α
定理与判定定理及公式。
222
集合：
1
圆
：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集
合；
23
cos
α
圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
22
2
圆的内部：
可以看作是到定点的距
离小于定长的点的集合
33
tan
1