数学竞赛中的几何问题
杭州西溪湿地-
智浪教育
—
普惠英才文库
数学竞赛中的几何问题
欧几里得几何虽然古老，但在提供几何直觉和理性思维
方面仍有不可替代的
教育价值（许多科技工作者由此而启
蒙）
，因而，历来受到数学
竞赛的青睐，平面几何证明已经
属于
IMO
届届必考的内容，少则
1
题，多则
2~3
题．我国
高中联赛加试（二试）和冬令营考试，也是年年
必有平面几
何题．
IMO
中的几何问题，
包括平面几何与立体几何，但以平
面几何为主．立体几何题从第
22
届（
1981
年）开始已经
20
多年没有出
现了，这一方面是组合几何的涌入，另一方面是
新颖的立体几何题不好找，
有的过浅，
有的过旧，
有的过难．
< br>
一、数学竞赛中的几何问题的三个层次
1
．第一层次，中学几何问题．
这是与中学教材结合比较紧密的常规几何题，虽然也有
轨迹与作图，
但主要是以全等法、相似法为基础的证明题，
重点是与圆有关的命题，因为圆的命题知识
容量大、变化余
地大、综合性也强，是编拟竞赛试题的优质素材．
2
．第二层次，中学几何的拓展
这是比中学教材要求稍高的内容，如共点性、共线性、
几何不等式、
几何极值等．这些问题结构优美，解法灵活，
常与几何名题相联系．有时还可用几何变换
来巧妙求解．
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3
．第三层次，组合几何——几何与组合的交叉
这是用组合数学的成果来解决几何学中的问题，主要研
究几何图形的拓扑性质和有限制条件的欧几里得性质．所涉
及的类型包
括计数、
分类、
构造、
覆盖、
递推关系以及相邻、
相交、包含等拓扑性质．这类问题在第六届
IMO
（
1964
）就
出现了，但近
30
年，无论内容、形式
和难度都上了新的台
阶，成为一类极有竞赛味、也极具挑战性的新颖题目．这类
问题离不开几何知识的运用、几何结构的分析，但关键是精
巧的构思．不
仅在组合设计中需要，在组合计数中也少不了
构思．
二、
IMO
中几何问题的主要特征
IMO1-50
届各类试题统计表
几何（
93
）
组合（
63
）
代
函
复
平
平
平
立
离
组
数论
其他
每届
多
不
数
极
数
数
数、
几
几
几
体
散
合
（
58
）
（
6
）
合计
项
等
方
值
列
方
三
证
轨
作
几
数
几
式
式
程
程
角
明
迹
图
何
学
何
合计
11
6
22
4
13
19
7
67
3
6
17
58
30
33
6
302
1
2
，
3
5
4
6
1
6
2
2
3
4,7
5,6
1
7
3
1
3
2,4
5
6
6
4
2
4
6
5
3,7
1
7
5
1
，
4
5
3
2
6
6
6
2,3
6
1
4
5
6
7
2
，
4
1
5
3
6
6
8
5
4
2,6
3
1
6
9
5,6
4
2
3
1
6
10
3
5
1
2,6
4
6
11
6
2
4
3
1
5
6
12
3
1
5
2,4
6
6
代数（
82
）
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13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
5
5
6
2
3
1
2
5
1
4
1
5
3
1
3
4
1
2
3
6
2
2
2
5
3
1
2
3
5
4
3
6
2
6
2
6
6
4
6
4
3
5
5
6
6
3
6
1
1
5
4
3
4
2
5
5
3
5
4
4
2
3
1
1
4
3
1,5
2,5
2,6
4
1,5
2
1,5
2,4
1
1,5
2,4
2
1,5
2,5
2
1,5
5
1,6
1,5
2,6
3,4
1,5
1,5
1,6
2,4
1,6
2,4
4
4
4
6
2
4
3
1,3
3
4
3,5
1
1
3,4
4
3,5
2,6
4
1
6
6
5
3
2,3
1,6
6
3,4
4
5,6
3,4
4
5
4,6
3,4
2,6
6
2
4
5
3
1
4
6
2
2
3,6
1
2
1,6
4,6
5
3
6
6
6
4
2
3
4
3
1
1
3
6
3
5
6
2,5
2
2,4
5
3
2
6
4
3,5
2
5
3
2,6
3
3
1
1
1
3
4
2
6
5
6
1
1
5
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
1
．数量较多
由上表可知，
在
302
道
IMO
试题中，
第一、
二层次的几
何
题有
93
道，第三层次的几何题有
33
道，共计
126
道，占
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总题量的
42%
，平均到每一届至少有两道．
在几何内容中，平面几何占
四分之三以上，立体几何从
22
届开始已连续
< br>29
年没有出现，这一方面是组合几何的涌
入，另一方面
是新颖的立体几何题不好找，有的过浅，有的
过旧，有的过难．
平面几何内容之所以受到命题者的重视，是因为中学教
材中最适
合做竞赛题的首推平面几何．另外，随着参赛队的
增多，占压倒多数的弱队都希望有些常
规题，来确定自己的
队员不至于背着零分回国．
正是在这样的背
景下，
每届
IMO
都有几何题，少则一
道，多则三道．
2
2
．难度适中
平面几何的一个特点就是能够提供各种层
次、各种难度
的题目，它离中学教材最近，并且很容易花样翻新，是数学
竞赛中一个方便而丰富的题源．统计显示，常规几何题大多
为第
1
、
4
题，至多为第
2
、
5
题，只有极个别
的情况下才为
第
3
、
< br>6
题．这反映了主试委员会选题时有一种由易到难的
顺序
心理，如果选一道几何题，通常是选容易的，作
1
、
4
题；如果选两道几何题，那就再添一道稍难的．
之所以常规几何题的难度多为中低档，不是几何中找不
到难题，
而是作为竞赛数学的构成中，还有比常规几何更难
的部分．已经有人分析指出，数学竞赛
中，
“与中学教材距
离最近的首推几何，而最远的当然是组合数
学．因此，在每
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库
届
IM
O
的
6
道试题中，几何题经常是较易的
、常规的题目；
组合题往往是非常规的难题．前者反映了弱国的要求，而后
者则适应强国的愿望．
”事实上，
IMO
的命题是常规与非常
规题之间，弱队与强队之间互相制约又协调统一的结果
．
对于弱队，难度适中的几何题是得分的主要来源；而对
于强队，
几何题则是拉开对手距离、
确保夺
冠的重要战场．
原
因是，难题对每一个队都难，那个强队也不敢
保证自己的选
手全部不落马翻车，但是这个队有一、二名队员翻车，那个
队也有一、二名队员翻车，总体上只影响选手个人的成绩，
而不影响全队的总分
．至于中下档的题目则就不一样了，有
的强队是可以做到少丢分或不丢分的，因此，某个
强队一旦
在几何问题上有一、二名选手翻车，则夺魁也就随之成为泡
影．中国队这几年在
IMO
中的成绩，几何上的优势功不可
没．最近几届
IMO
中，中国选手的几
何题绝大多数为满分，
个别的只被扣掉
1
、
2
分．
3
．方法多样
IMO
中的几何题几乎涉及所有的平面几何方法，
主要有
三大类：
⑴
<
/p>
综合几何法．
（平面几何因主要用综合几何，我们把
综合几何理常用的方法称为综合几何法）
IMO
中的
几何题以
常规题为主，因而大多可以用综合几何的方法来求解，如全
等法、相似法、面积法等．其中出现频率较大的是与圆有关
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的命题．
⑵
代数演算法．
IMO
中的几何题也考查
用代数方法处
理几何问题的能力，如代数计算法，复数法，坐标法，三角
法和向量法等，但不占优势，另有些几何不等式经过变换之
后，就成为正数的代
数不等式了（如图）
，反之，也可以把
代数问题转化为几何问题
．
a
<
/p>
x
y
,
b
y
z
,
c
z
x
z
A
z
y
y
C
x
B
x
图
⑶
几何变换法
.
有平移、旋转、对称、位似、
反演等
.
4
．组合几何的异军突起
组合几何的问题在第六届（
IMO
6
5
）就出现，但近
30<
/p>
年
来，随着组合数学对竞赛的大规模介入，组合几何在内容、
形式和难度上都上了新的台阶．成为一类极有竞赛味也极具
挑战性的
新颖题目．组合几何诞生于
20
世纪五六十年代，
是用组合数学的成果来解决几何学中的问题，主要研究几何
图形的拓扑性质和
有限制条件的欧几里得性质，所牵涉的类
型包括计数、分类、构造、覆盖、递推关系以及
相邻、相交、
包含等拓扑性质，在历届
IMO
< br>中，已出现
33
道此类问题．
三、数学竞赛中几何问题的基本内容
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主要有
4
个定义，
16
条定理．
定理
1
<
/p>
对任意三个点
A
，
B
，
C
，有
AB
<
/p>
AC
BC
．<
/p>
等号成立当且仅当点
C
落在线段
AB
之间，或
A
，
B
，
C
三
点重合．
定义
1
<
/p>
点集的直径是指两个端点都属于这个集合且长
度达到最大值的线段
（一个点集可能有多条直径，也可能没
有直径）
．
定义
2
如果对点集
A
中的任意两点，
以这两点为端点
的
线段包含在
A
里，则集合
A
称为是凸的．
定理
2
<
/p>
任意一个凸
n
边形（
n
3
）的
n
个内角之和等于
(
n
2
)
< br>180
；
外角和为
180
2
（每一个顶点
处只计算一个外角）
．
定义
3
设
M
1
,
M
2
,
,
M
n
是多边形，
如果<
/p>
M
M
1
UM
2
U
UM
n
并
且当
i
j
时，
M
i
与
M
j
没有公共的内点，
则称多边形
M
剖分为
多边形
M
< br>1
,
M
2
,
,
M
n
．
定义
4
<
/p>
如果凸多边形
N
的所有顶点都在凸多边形
M
的
边上，则称多边形
N
内接于多边性
M
．
定理
3
凸四边形
ABCD
< br>内接于圆的充分必要条件是：
ABC
CDA
< br>
BAD
< br>
DCB
180
．
（四点共圆）
定理
4
<
/p>
凸四边形
ABCD
外切于圆的充分必要条
件是
AB
CD
BC
AD
．
定理
5
<
/p>
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长
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的积相等．
（相交弦定理）
定理
6
<
/p>
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点
到割线与圆交点的两
条线段长的比例中项．
（切割线定理）
定
理
7
在
ABC
中
，
三
边
长
为
a
,
b
,
c
，
半
周
长
为
< br>BC
上
1
p
(
a
b
c
),
R
是外接圆半径，
r
为内切圆半径，
h
a
是边
2
的高，
r
a
是与边<
/p>
BC
，
AB
，<
/p>
AC
的延长线相切的旁切圆的半径，
则<
/p>
ABC
的面积
S
为：
1
ah
a
.
2
1
(
2
)
S
bc
sin
A
.
2
(
1
)
S
(
3
)
S
p
(
< br>p
a
)(
p
b
)(
p
c
)
.
(
4
)
S
abc
.
4<
/p>
R
(
5
)
S
rp
.
1
(
6
)
S
r
a
(
b
c
a
)
.
2
1
(
7
)
S
R
2
(sin
2
A
<
/p>
sin
2
B
<
/p>
sin
2
C
)<
/p>
.
2
(
8
)
S
2
R
2
(sin
2
A
sin
2
B
sin
2
C
)
.
定理
8
<
/p>
在
Rt
ABC
中，
a
2
b
2
c
2
.
1
c
r
(
a
b
c
),
R
.
2
2
a
m
2
n<
/p>
2
,
b
2
mn
,
m
n
.
m
,
n
< br>一奇一偶
c
m
2
n
2
.
定理
9
设
AD
是
ABC
中
A
的平分线，则
AB<
/p>
BC
AC
DC
.
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定理
10
在
ABC
中
，有
(
1
)
a
b
C
2
R
.
（正弦定理）
si
n
A
sin
B
sin
C
(
2
)
a
2
b<
/p>
2
c
2
2
bc
cos
A
,
b
2
a
2
c
2
2
< br>ac
cos
B
c
2
a
2
b
2
2
ab
cos
C
（余弦定理）
(
3
)
sin
2
A
sin
2
B
sin
2
C
2
sin
B
sin
C
cos
C
定理
11
一直线截
ABC
的边
BC
，
CA
< br>，
AB
或其延长线
于
D
，
E
，
F
，则
BD
CE
AF
1
.
（梅内劳斯定理）
DC
EA
FB<
/p>
定理
12
设
O
是
ABC
内任意一点，
AO
，
< br>BO
，
CO
分别
交对边于
D
，
E
，
F
，则
BD
CE
AF
（塞瓦定理）<
/p>
1
，
DC
EA
FB
定理
13
<
/p>
在
ABC
中，
D
是
BC
上一
点，则
BD
AC
2
DC
AB
2
BD
DC
AB
2
AD
BC
BC
2
2
.
（斯特沃尔特定理）
定理
14
过三角形外接圆上任意一点作三边的垂线，
则
< br>三垂足共线
.
（西姆松定理）
定理
15
若四边形的两对边的乘积之和等于它的对角
线的乘积，则该四边形内接于一圆，反之亦真
．
（托勒密定
理）
定理
16
设
P
是
AB
C
内一点，其到三边的距离分别为
PD
，
PE
，
PF
，则
PA
PB
PC
2
(
PD
P
E
PF
)
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等号成立当且仅当
<
/p>
ABC
为正三角形，且
P
是
ABC
的重
心．
（厄尔斯——摩德尔定理）
例题讲解（常规几何题）
例
1
（作
业）
证明：
对任意三角形，
一定存在两
条边，
它们的长
u
、
< br>v
满足
1
u
1
5
v
2
．
<
/p>
[
“
《数学周刊》杯”
< br>2007
全国初中数学竞赛试题
]
讲解
有两种思维水平的处理．
水平
1
（
参考答案）设任意
ABC
的三边长为
a
,
b
,
c
，不
妨设
a
b
c
．若结论不
成立，则必有
a
1
< br>
5
b
2
，
①
b
1
5
c
2
．
5
分
②
记
b
c
s
,
a
b
t
c
< br>
s
t
,
显然
s
0,
t
0
，
代入①得
c
s
t
1
s
t
c
s
< br>1
5
2
,
c
s
c
1
5
,
1
2
c
令
x
s
c
,
< br>y
t
c
，则
1
x
y
1
1<
/p>
x
5
2
,
③
由
a
b
c
，得
c
s
t
c
s
c
，即
t
c
，于是
y
t
c
1
．
由②得
b
c
s
1
x
1
5
c
c
2
< br>，
④
由③，④得