高中数学立体几何知识点总结(详细)
家常扣肉-
高中数学立体几何知识点总结
一
、空间几何体
（一）
空间几何体的类型
1
多面体：
由若干个平面多边形围成
的几何体。围成多面体的各
个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的
棱，
棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
2
旋转
体：
把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转
形成了
封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。
（二）
几种空间几何体的结构特征
1
、棱柱的结构特征
1.1
棱柱的定义：有两个面互相
平行，其余各面都是四边形，并且
每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围
成的几何体
叫做棱柱。
棱柱的分类
底面是四边形
底面是平行四边形
棱柱
侧棱垂直于底面
四棱柱
底面是矩形
< br>平行六面体
长方体
正方体
直平行六面体
底面是正方形
棱长都相等
正四棱柱
性质
：
Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等；
Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行；
Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；
1
1.3
棱柱的面积和体积公式
S
直棱柱侧
ch
（
c
是底周长，
h
是高
）
S
直棱柱表面
= c
·
h+
2S
底
V
棱柱
=
S
底
·
h
2
、棱锥的结构特征
2.1
棱锥的定义
（
1
）
棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共
顶点的三角形，由
这些面所围成的几何体叫做棱锥。
（
2
）
正棱锥：
如果有一个棱锥的底面是
正多边形，
并且顶
点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫
做正棱锥。
2.2
正棱锥的结构特征
Ⅰ、
平行于底面的截面是与底面相似
的正多边形，
相似比
等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离
之比；
它们面积
的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比
；
截得的棱
锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与
原棱
锥的高的立方比；
Ⅱ、
正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；
正棱锥侧面积：
< br>S
正棱椎
1
< br>ch
'
（
c
为底周长，
h
'
为斜高）
2
D
C
H
B
P
体积：
V
棱椎
1
Sh
（
S
为底面积，
h
为高）
3
O
A
正四面体：
对于棱长为
a
正四面体的问题可将它补成一个边长为
2
a
的正方体问题。
2
2
对棱间的距离为
2
a
（正方体的边长）
2
正四面体的高
6
2
a
（
l
正方体体对角线
）
3
3
2
3
1
a
（
V
正方体
4
V
小三棱锥
V<
/p>
正方体
）
12
3
正四面体的体积为
正
四
面
体
的
中
心
到
底
面
与
顶
点
的<
/p>
距
离
之
比
为
1
:
3
1
1
l
正方体体对角线<
/p>
：
l
正方体体对角线
）
6
2
3
、棱台的结构特征
（
3.1
棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们
把截面和底面之间的部分称为棱台
。
3.2
正棱台的结构特征
（
1
）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；
（
2
）正棱台的
两个底面和平行于底面的截面都是正多边
形；
（
3
）正棱
台的对角面也是等腰梯形；
（
4
）各侧棱的延长线交于一点。
4
、圆柱的结构特征
4.1
圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余
各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。
4.2
圆柱的性质
（
1
）上、下底及平行于底面的截面都是等圆；
（
2
）过轴的截面
(
轴截面
)
是全等的矩形。
4.3
圆柱的侧面展开图：
圆柱的侧面展开图是以底面周长和
母线长为邻边的矩形。
4.4
圆柱的面积和体积公式
S
圆柱侧面
=
2π
·
r
·
h
(r
为底面半径，
< br>h
为圆柱的高
)
S
圆柱全
=
2π
r
h + 2π
r
2
V
圆柱
=
S
底
h =
πr
2
h
5
、圆锥的结构特征
3
5.1
圆锥的定义：
以直角三角形的
一直角边所在的直线为旋
转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆
锥。
5.2
圆锥的结构特征
（
1
）
平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之
比等于顶点到截面
的距离与顶点到底面的距离之比；
（
2
）轴截面是等腰三角形；
（
3
）母线
的平方等于底面半径与高的平方和：
l
2
=
r
2
+
h
2
5.3
圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆<
/p>
心，以母线长为半径的扇形。
6
、圆台的结构特征
6.1
圆台的定义：用一个平行于
底面的平面去截圆锥，我
们把截面和底面之间的部分称为圆台。
6.2
圆台的结构特征
⑴
圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆；
⑵
圆台的截面是等腰梯形；
⑶
圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究。
6.3
圆台的面积和体积公式
S
圆台侧
=
π
·
(R +
r)
·
l
(r
、
R
为上下底面半径
)
S
圆台全
=
π
·
r
2
+
π
·
R
2
+
π
·
(R
+ r)
·
l
V
圆台
= 1/3 (π
r
2
+ π
R
2
+ π
r R) h
(h
为圆台的高
)
7
球的结构特征
7.1
球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆<
/p>
旋转一周形成的旋转体叫做球体。
空间中，
与定点距离等于
定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体。
4
7-2
球的结构特征
⑴
球心与截面圆心的连线垂直于截面；
⑵
截面半径等于球半径与截面和球心
的距离的平方差：
r
2
= R
2
–
d
2
★
7-3
球与其他多面体的组合体的问题
<
/p>
球体与其他多面体组合，包括内接和外切两种类型，解决
此类问题
的基本思路是：
⑴
根据题意，确定是内接还是外切，画出立体图形；
⑵
找出多
面体与球体连接的地方，
找出对球的合适的切割
面，然后做出剖
面图；
⑶
将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题；
⑷
注意圆
与正方体的两个关系：
球内接正方体，
球直径等
于正方体对角线；
球外切正方体，球直径等于正方体的边长。
7-4
球的面积和体积公式
S
球面
=
4 π R
2
(R
为球半径
)
V
球
= 4/3 π R
3
（三）空间几何体的表面积与体积
空间几何体的表面积
棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和
圆柱的表面积
：
S
2
rl
2
r
2
圆锥的
表面积：
S
圆台的表面积：
S
rl
r
2
rl
< br>
r
2
Rl
R
2
<
/p>
2
球的表面积：
S
4
R
扇形的面积公式
S
扇形
n
R
2
1
1
lr
=
r
2
（其中
l
表示弧长，
< br>r
360
2
2
< br>表示半径，
表示弧度）
5
空间几何体的体积
柱体的体积
：
V
S
底
h
1
锥体的体积
：
V
S
底
h
3
1
台体的
体积
：
V
（
S
上
3
S
上
S
下
S
下
)
< br>h
4
3
球体的体积
：
V
R
3
（四）空间几何体的三视图和直观图
正视图：
光线从几何体的前面向后面正投影，
< br>得到的投影图。
侧视图：
光线
从几何体的左边向右边正投影，
得到的投影图。
俯视图：
光线从几何体的上面向右边正投影，
得到的
投影图。
★画三视图的原则：
正俯长相等、正侧高相同、俯侧宽一样
注：球的三视图都是圆；长方体的三视图都是矩形
直观图：
斜二测画法
斜二测画法的步骤：
（
1
）平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
（
2
）平行于
y
轴的线长度变半，平行于
x
，
z
轴的线长度
不变；
（
3
）画法要写好
用斜二测画法画出长方体的步骤：
（
1
）
画轴
（
2<
/p>
）
画底面
（
3<
/p>
）
画侧棱（
4
）
成图
二
、点、直线、平面之间的关系
立体几何网络图：
⑹
公理
4
⑴
线线平行
⑵
⑶
⑾
三垂线定理
⑺
线线垂直
三垂线逆定理
⑻
⑿
⑼
⑽
线面垂直
线面平行
⑷
⑸
⒀
⒂
⒃
面面平行
⒁
面面垂直
1
、线线平行的判断：
（
1
）
、平行于同一直线的两直线平行。
6