解析几何综合题解题方法总结
制胜-
解析几何综合题解题方法总结
富源县第一中学
解析几何综合题是高考命题的热点内容之一
.
这类试题往往以解析几何知识为载体，
综合函数、不等式、三角、数列等知识，
所涉及到的知识点较多，对解题能力考查的层
次要求较高，考生在解答时，常常表现为无
从下手，或者半途而废。据此笔者认为：解
决这一类问题的关键在于：通观全局，局部入
手，整体思维
.
即在掌握通性通法的同时，
< br>不应只形成一个一个的解题套路，解题时不加分析，跟着感觉走，做到那儿算那儿
.
而
应当从宏观上去把握，从微观上去突破，在审题和解题思
路的整体设计上下功夫，不断
克服解题征途中的道道运算难关
.
一、判别式
y
2
x
2
1
，直线
l
过
点
A
2
,
0<
/p>
，斜率为
k
，当
0
k
1<
/p>
时，
案例
1
已
知双曲线
C
:
2
2
双曲线的上支上有且仅有一点
B
到直线
l
的
距离为
2
，试求
k
的值及此时点
B
的坐标。
分析
1
：解析几何是用代数方法来研究几何图
形的一门学科，因此，数形结合必然是
研究解析几何问题的重要手段
.
从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：
过点
B
作与
l
平行的直线，必与双曲线
C
相切
. <
/p>
而相切的代数表现形式是所构造方程的判
别式
0
.
由此出发，可设计如下解题思路：
l
:
y
k
(
x
2
)
0
k
1
< br>
l
'
:
y
kx
2
k
2
2<
/p>
2
k
解得
k
的值
解题过程略
.
分析
< br>2
：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且<
/p>
仅有一点
B
到直线
l
的距离为
2
”
，
相当于化归的方程有唯一解
.
据此设计出如下解题思
路：
问题
kx
2
x
2
2
k
关于
x
的方程
k
2
1
2
0
k
1
有唯一解
转化为一元二次方程根的问题
1
求解
简解
：
设点
M
(
x
,
2
x
2
)
为双曲线
C
上支
上任一点，则点
M
到直线
l
的距离为：
kx
2
x
2
2
k
k
1
< br>2
2
0
k
1
于是，问题即可转化为如上关于
x
的方程<
/p>
.
由于
0
<
/p>
k
1
，所以<
/p>
2
x
2
x
kx
，从而有
kx
2
x
2
2
k
kx
2
x
2
2
k
.
于是关于
x
的方程
< br>
kx
2
x
2
2
k
2
(
k
2
<
/p>
1
)
2
x
2
2
(
2
(
k
2
1
)
2
k
kx
)
2
,
2
2
(
k
1
)
2
k
< br>kx
0
k
2
1
x
2
2
k<
/p>
2
(
k
2
1
)
2
k
x
2
2
(
k
1
)
2
k
kx
0
.
2
(
k
2
(
k
2
< br>
1
)
2
k
2
0
,
2
由
0
k
1
可知：
方
程
k
2
< br>
1
x
2
2
k
2
(
k
2
1
)
2
k
x
2
1
)
< br>
2
k
2
0
的
二
根
同
正
，故<
/p>
2
2
(
k
2
1
)
2
k
kx
0
< br>恒成立，于是
等价于
k
2
1
x
2
k
2
(
k
1
)
< br>
2
k
x
2
2
2
(
k
2
1
)
2
k
2
0
< br>.
2
由如上关于
x
的方程有唯一解，得其判别式
0
，就可解得
k
2
5
.
5
点评
：上述解法紧扣
解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思
维的优越性
.
2
判别式与韦达定理
例
2
.
已知椭圆
C:
x
2
2
y
2
8
和点
P
（
4
，
1
）
，过
P
作直线交椭圆于
A
、
B
两点，
在线段
AB
上取点
Q
< br>，使
AP
AQ
，求动点
Q
的轨迹所在曲线
的方程
.
PB
QB
< br>分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。
2
其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解
.
因此，首先是选定参数，然后想方设法
将点
Q
的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的
.
由于点
Q
(
x
,
y
)
的变化是由直
线
AB
的变化引起的，自然可选择直线
AB
的斜率
k
作为
参数，如何将
x
,
y
与
k
联系起来？一方面利用点
Q
在直线
AB
上；另一方面就是运用
题目
AP
AQ
4
(
x
A
x
B
)
2
x
A
x
B
条件：
来转化
.
由
A
、
B
、
P
、
Q
四点共线，不难得到
x
，
PB
QB
8
(
x
A
x
B
)
要建立
x
与
k
的关系，只需将直线
AB
的方程代入椭圆
C
的方程，利用韦达定理即可
.
通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已
< br>经做到心中有数
.
点
Q
的轨迹
方程
AP
PB
AQ
QB
x
4
(
x
A
x
B
)
2
x
A
x
B
8
(
< br>x
A
x
B
)
将直线方程代入椭圆方程，消去
y
，利用韦达定理
x
f
k
利用点
Q
满足直线
AB
的方程：
y
=
k
(
x
—
4)+1
，消去参数
k
在得到
x
f
k
< br>之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到
y
1
，直接代入
x
f
k
即可
x
4
关于
x
,
y
的方程（不含
k
）
，则可由
y
k
(
x
4
)
1
解得
k
得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。
简解
：设
A
x
1
,
y
1
,
B
(
x
2
，
y
2
),
Q
(
x
,
y
)
，则由
4
x
1
x
x
1
AP
AQ
可得：
，
PB
QB
x
2
4
x
2
x
解之得：
x
4
(
x
1
x
2
)
2
x
1
x
2
（
1
）
8
(
x
1
x
2
)
设直线
AB
的方程为：<
/p>
y
k
(
x
4
)
1
，代入椭圆
C
的方程，消去
y
得出关于
x
的一
元二次方程：
2
k
2
1
x
2
4
k
(
1
4
< br>k
)
x
2
(
1
4
k
)
2
8
0
（
2
）
3