高等几何复习
苦茶歌词-
[
课外训练方案
]<
/p>
部分
第一章、仿射坐标与仿射变换
第二章、射影平面
一、主要内容：
基本概念
：
射影直线与射影平面
；无穷远元素；齐次坐标；对偶原理；复元素
基本定理
：
德萨格定理：
如果两个三点形对应顶点连线共点，则其对应边的交点在一条直线上。
德萨格定理的逆定理：
如果两个三点
形对应边的交点在一条直线上，则对应顶点连线共
点
对偶原理：
在射影平面里，如果一命题成立，则它的对偶命题也成立。
二、疑难解析
无穷远点：在平面上，
对任何一组平行直线，引入一个新点，叫做
无穷远点
.
此点在
这组中每一条直线上，
于是平行的直线交
于无穷远点
.
无穷远点记为
P
，
平面内原有的点叫
做有限远点
.
无穷远直线：所有相
互平行的直线上引入的无穷远点是同一个无穷远点，不同的平行
直线组上，
引入不同的无穷远点，平面上直线的方向很多，因此引入的无穷远点也很多，这
些无穷远点的轨迹是什么呢？由于每一条直线上只有一个无穷远点，
于是这个轨迹与平
面内
每一直线有且只有一个交点
.
因此
，
我们规定这个轨迹是一条直线，
称为
无穷远直线
.
一般记
为
l
，为区别起见，平面内原有的直线叫做
有穷远直线
.
平面上添加一条无穷远直线，得到的新的平面叫做
仿射平面
.
若对仿射平面上无穷
远元素（无穷远点、无穷
远直线）与有穷远元素（有穷远点、有穷远直线）不加区别，同等
对待，则称这个平面为
射影平面
.
三、典型例题：
1
、
求直线
x
1
0
与直线
x
3
y
4
0
上无穷远点的齐
次坐标
解：
（
1
）直线
x
1
0
即
x
1
它与
y
轴平行<
/p>
所以位
y<
/p>
轴上的无穷远点
(0,1,0)
(2)
由直线
x
3
y
4
0
得
y
1
4
1
x
故无穷远点为
(1,
,0)
或（
3
，
1
，
0
）
3
3
3
2
、
求
证
：
两
直
线
x
1
x
2
< br>
x
3
0
和
2
x
1
x
2
2
x
3
0
的
交
点
C
与
两
点
A
(
3
,
1
,
B
2
< br>)
,
(
2
,
三点共线
证明：解方程组：
x
1
x
2
x
3
0
< br>的交点
C
(1,
4,
3)
2
< br>x
1
x
2
2
x
3
0
1
4
3
因为行列式
3
1
5
2
0
所以三点共线
<
/p>
5
2
3
、试证：
两共轭复点的连线
是一实直线
证明：
设
a=(u
1
,
u
2
,<
/p>
u
3
),
与
a
(
u
1
,
u
2
,
u
3
)
< br>是共轭复点，两点连线为
l
由
定理
a
在
l
上
，
a
在
l
上，
又
a
在
l
上，
所以
a
的共轭
a
也在直线
l
上
l
与
l
重合，故
< br>而两点确定一条直线所以，
u
1
u
2
u
3
u<
/p>
1
u
1
u
(
1
)
u
2
u
1
u
2
u
3
u
2
u
2
u<
/p>
1
u
1
u
u
u
(
1
)
即
1
与
1
都为实数
u
3
u
3
< br>u
3
u
2
u
3
所
以
u
1
:
u<
/p>
2
:
u
3
与一组实数成比例，即直线为实直线。
4
、德萨格定理的逆定理：
如果两个三点形对应边的交点共线，则其对应顶点的连线共点。
证明：如图三点形
ABC
与
A
1
B
1
C
1
的三对应边交点
L
,
M
,
N
共线，证明对应顶点连线共点
，考虑三点形
BLB
1
与
CMC
1
则有对应顶点连线共点
N
，故对应边的交点
A
,
A
1
,
O
共线<
/p>
自测题
1
、
证明：中心投影一般不保留共线三点的单比．
2
、
设一平
面内有几条直线
l
1
,
l
2
,
O
A
B
C
M
B1
A1
C1
N
L
,
l
n<
/p>
用
T
1
,
T
2
,
,
T
n
1
分别表示
l
1
与
l
2
，
l
< br>2
与
l
3
,
,
l
n
1
与
l
n
间的中心投影．
这一串中心投影的复合<
/p>
T
T
n
1
T
n
2
T
2
T
1
把
l
1
上的点对应到
l
n
< br>上的
点，这种对应关系称为射影对应．举例说明对应点之间的连线一般不共点．<
/p>
3
、
设有两个相交平面
1
和
2
，
如
果以
S
为中心做
1
到
2
的投影
（
S
不在
1
和
2
上）
，
把
<
/p>
1
上一已知直线
l
1
投影到
2
上直线
l
2
．
证明：
当
S
变动时，
已知直线
l
1
的象
l
2
总要通过
一个定点，
或与定直线平行．
4
、
设
:
1
2
是平面
1
与
2
之间的中心投影．试讨论
1
上两条平行直线的象在
2
中
还是否平行，不平行有什么性质？同样在
2
上两条平行直线在
1
中的原象是否为平行
线？
5
、
试证明：中心投影不保持直线上两个线段之比．
第三章、射影变换与射影坐标
一、基本内容：
交比与调和比；
一维射影变换；
一维射影坐标；
二维射影变换于二维射影坐标
二、主要公式
1
、
共线四
点的交比：
(
p
1
p
2
,
p
3
p
4
)
<
/p>
(
p
1
p
2
p
3
)
p
1
p
3
p
2
p
4
(
p
1
p
2
p<
/p>
3
)
p
2
p
3
p
1
p
4
2
、
共点四线的交比：
(
ab
,
cd
)
3
、
两直线之间的射影变换：
非齐次坐标
形式：
x
'
(
abc
)
sin
a
,
c
sin
b
,
d
<
/p>
(
abd
)<
/p>
sin
b
,<
/p>
c
sin<
/p>
a
,
d
a
a
a
11
x
a
12
,
11
12
0
a
21
a
22
a
21
x
< br>a
22
a
11
< br>a
12
x
1
'
a
11
x
1
a
12
x
2<
/p>
,
0
齐次坐标形式：
'
a
a
x<
/p>
a
x
a
x
21
22
2
21
1
22
2
参数形式：
a<
/p>
b
c
d
0,
ad
bc
0
'
'
x
1
'
a
11
x
1
a
12
x
2
a
13
x
3
a
11<
/p>
'
4
、
二维射影变换：
x
2
a<
/p>
21
x
1
a
22
x
2
a
23
x
3
,
A
a
21
x
'
a
x
a
x
a
x
a
31
31
1
32
2
33
3
3<
/p>
a
12
a
22<
/p>
a
32
a
13<
/p>
a
23
0
a
33
x
1
'
x
1
'
x
2
<
/p>
A
x
2
,det
A
0
x
x
3
'
< br>3
三、典型例题：
1
、
证明：
(
A
1
B
1
,
CD
)
(
A
2
B
2
,
CD
)
的充要条件是：
(
A
1
A
2
,
CD
)
(
B
1
B
2
,
CD
)
证明：设
A
1
C
k<
/p>
1
D
,
A
2
C
k
2
D
,
B
1
C
n
1
D
,
B
2
C<
/p>
n
2
D
则
(
A
1
B
1
,
CD
)
k
1
k
,(
A
2
B
2
,
< br>CD
)
2
n
1
n
2
k
1
k
2
k
n
或
1
1
< br>
n
1
n
2
k
2
n
2
若
(
A
1
B
1
,
CD
)
(
A
2
B
2
,
CD
)
< br>
则
而
(
A
1
A
2
,
CD
)
k
1
n
,(
B
1
B
< br>2
,
CD
)
1
k
2
n
2
)<
/p>
(
B
所以有
(
A
1
A
2
,
C
D
)
1
B
2
,
C
< br>D
2
、已知共点直线
a
,
b
,
d
的方程为：
a
:
2
x
y
1
0,
b
:3
x
< br>y
2
0,
d
:5
x
1
0
且
(
ab<
/p>
,
cd
)
1
求直线
c
的方程
2
解：先化为齐次线坐标
a
[2,
1,1],<
/p>
b
[3,1,
2],
d
[5,0,
1]
则有
d
a
b
即
k
1
令
c
a
nd
则
(
ab
,
cd
)
c
a
n
1
1
所以
n
<
/p>
k
2
2
1
7
1
b
[
,
,0]
所以方程
为
7
x
y
0
2
2
2
3
x
< br>2
/
3
、
设一直线上的点的射影变换是
x
证
明变换有两个自对应点，
且这两自对应点
x
4
与任一对对应点的交比为常数。
解：令
x
x
由
x
'
'
3
x
2
得
x
2
x
2
0
< br>解得
x
1
1,
x
2
2
x
4
即有两个
自对应点
设
k
与
k
3
k
2
5
'
对应，有
((
1)2,
kk
)
为常数
k
4
2
2
注：结果
有
也对，不过顺序有别
5
'
4
、试证圆上任一点与
圆内接正方形各顶点连线构成一个调和线束
证明：
A
D
P
如图：
ABCD
为圆内接正方形，
P
为圆上任意点。因为
AD
AB
所以
PA
< br>为角
DPB
的平
分线。
同理可证明
PC<
/p>
是角
EPB
平分线。即
< br>PA
,
PC
是角
DPB
的内外角平分线。
所
以直线
PD
,
PA
,
PB
,
PC
构成调和线束
。
5
、
试证<
/p>
:
双曲型对合的任何一对对应元素
P
P
'
,
与其两个二重元素
E
,
F
调和共轭即
(
PP
,
EF
)=-1
证明：
E
,
F
为自对应元素，
< br>P
与
P
1
对应
则有
(
PP
1
,
EF
)<
/p>
(
PP
1
,
EF
)
而
(
PP
1
,
EF
)
'
1
(
PP
,
EF
)
1
所以
(
PP
1
,
EF
)
1
2
得
(
PP
1
,
EF
)
1
因为
P
,<
/p>
P
1
不重合
<
/p>
(
P
P
1
,
EF
)
故
(
PP
1
,
EF
)
1
x
1
'
x
1
x
2
'
6
< br>、求射影变换
x
2
x
2
的不变点坐标
x
'
x
3
3
1
< br>
解
:
由特征方程：
1
1
0
0
0
1
3
0
得（
1
-
）
0<
/p>
即
1
0
0
0
x
1
x
2
0
将
< br>
1
代入方程组
0
x
2
< br>0
得
x
2
0
,
故
x
2
0
上的点都是
不变点
0
x
0
3
<
/p>
x
2
0
是不变点列。
自测题
1
、
设
P
1
(1,1,
1),
P
2
(1,
1,1),
P
4
(1,0,1)
为共线三点，且
(
PP
1
2
,
P
3
P
4
)
2
求
P
3
的坐标。
2
、
已知线束中
三直线
< br>a
,
b
,
c
求作直线
d
使
(
ab
,
cd
)
1
2
3
、
射影变换使直线上以
0
，
< br>1
为坐标的点及无穷远点顺次对应
-1
< br>，
0
，
1
求变换式，并判断
变换的类型。
4
、
求两直
线
ax
2
h
xy
by
0
所构成角的平分线方程
5
、
试证在同一直线上的四点的交比值与直线上摄影坐标系的选取无关。
2
2
x
1
'
2
x
1
x
2
x
< br>3
6
、
求射影变换
< br>x
2
'
x
1
2
x
2
x
3
的逆变换，并求出影消线对应直线的方程
。
x
'
x
x
x
1
2
3
3
第四章
变换群与几何学
疑难解析
1
．
变换群
（
1
）基本定义
射影变换群：射影平面上
所有射影变换的集合构成射影变换群
P
，它是一个八维群；
仿射变换群：仿射平面上所有仿射变换的集合构成仿射变换群
A
，它是一个六维群；
< br>相似变换群：平面上所有相似变换的集合构成相似变换群
S
，它是一个四维群；
正交变换群：欧氏平面上所有正交变换
的集合构成正交变换群
M
，它是一个三维群。
< br>
四种变换群，就群的大小而言，它们的关系是：
P
A
S
M
.
（
2
）一一变换的集合
G
构
成群的充要条件是：
①若
1
,
2
G
< br>，则
1
2
G
（封闭性）
；
②若
< br>
G
，则
1
G
（存在逆元）
.
2
．克莱因关于几何学的变换群观点
正交变换群→欧氏几何；
仿射变换群→仿射几何；
射影变换群→射影几何；
就变换群的
大小来看，三种变换群的关系为：
P
A
M
；
从几何学研究的内容来看，它们的关系是：
欧氏几何
仿射几何
射影几何
.
名称
变换群
射影几何
射影群
仿射几何
仿射群
相似几何
相似群
欧氏几何
正交群
纯度量性质
纯相似性质
研
究
对
象
射影性质
纯仿射性质
纯度量不变量
纯相似不变量
纯相似性质
纯相似不变量
纯仿射不变量
纯仿射性质
射影不变量
射影性质
射影不变量
纯仿射不变量
纯仿射性质
射影性质
射影不变量
纯仿射不变量
射影性质
射影不变量
结合性
结合性
平行性
合同性
距离
结合性
主要不变性质
分割性
结合性
平行性
平行性
保角性
基本不变量
交比
单比
相似比
例题选解
例
1
证明：平面内有公共旋转中心的所有旋转变换构成群
.
证明：不失一般性，可将旋转中心取为原点，则变换的一般式为：
<
/p>
x
x
cos
y
sin
y
x
sin
y
cos
容易证明，
这种变换对于乘法是封闭的，
且逆变换也是以原点为中心的旋转变换
（其实
就是旋转
的变换）
，所以这种变换的集合构成群
.
例
2
下面所说的名称或定理，哪些属
于射影几何学？哪些属于仿射几何学？哪些属于欧氏
几何学？（最大的）
（
1
）梯形；
（
2
）正方形；
（
3
）离心率；
（
4
）塞瓦定理与麦尼劳斯定理；
（
5
）重心；
（
6
）垂心；
（
7
）平行
四边形的对角线互相平分；
（
8
）在平面内，一般位置的四条直线有六个交点；
< br>（
9
）含于半圆内的圆周角是直角；
（
10
）如果直线
AB
与
CD
相交，则
AC
与
BD
相交；<
/p>