平面几何证明常用方法
卡通美少女-
实用标准文案
目录
1.
引言………………………………………………………………
2.
利用平行四边形性质添加平行线证题……………………
3.
利用圆中的等量关系巧作辅助圆
证题………………………………
4.
利用平移、旋转
,
翻折
,
几何证明中的三种基本变换证题………
…………
5.
反证法证题
………………………………………………………………
6.
巧用面积法解几何题…………………………………………
结论
…………………………………………………………………
参考文献
……………………………………………………………
致谢
………………………………………
文档
实用标准文案
平面几何证明题的常用技巧
数学计算机科学学院
摘
要
灵活、恰当地选择解题方法是求解平面几何问题的良好途径。
解决任
何一道平面几何证明题
,
都要应用这样或那样的方法
,
而选择
哪一种方法
,<
/p>
就取决于我们用什么样的解题思路。本文试对平面几何
证明题中常
用的几种解题思路及方法进行分析。
【关键词】平面几何
证明题
思路
技巧
The plane geometry proving
the commonly used
skill
College of Mathematics and Computer
Science
Abstract:
Flexible,
properly
choose
the
problem
solving
method
is
a
good
way of solving plane
geometry. Any solve a plane geometry proving, one
way or the other method, and the choice
of which method, it depends on
what
kind of way we use. This article try to plane
geometry proving that
is
commonly
used
in
several
problem-solving
ideas
and
methods
are
analyzed.
Key
words
：
Plane
geometry
To
prove
the
topic
Train
of
thought
skills
1
引言
平面几何难学
< br>,
是很多初中生在学习中的共识
,
这里面包含了很多主观和客观因素
,
而学习不
得法
,
没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。
波利亚曾说过
,
“解题的成功要靠正确
思路的选择
,
要靠从可以接近它的方向
去攻击堡垒。
为了辨别哪一条思路正确
,
哪一个方向可
接近它
,
就要试探各种
方向和思路。
”由此可见
,
掌握证明题
的一般思路、探索证题过程中的
数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键
。
2
利用平行四边形性质添加平行线证题
在同一平面内
,
不相交的两条直线叫平
行线
.
平行线是初中平面几何最基本的
,
也
是非常重要的图形
.
在证明某些平面几何问题时
,
若能依据证题的需要<
/p>
,
添加恰当
的平行线
,
则能使证明顺畅、简洁
.
添加
平行线证题
,
一般有如下四种情况
.
文档
实用标准文案
2.1
为了改变角的位置
大家知道
,
< br>两条平行直线被第三条直线所截
,
同位角相等
,
内错角相等
,
同旁
内角互补
.
利用这些性质
< br>,
常可通过添加平行线
,
将某些
角的位置改变
,
以满足求
解的需要
.
例
1
设
P
、
Q
为线段
BC
上两点
,<
/p>
且
BP
＝
CQ<
/p>
,
A
为
BC<
/p>
外一动点
(
如图
1).
当点
A
运动到使
∠
BAP
＝∠
CAQ
时
,
△
ABC
是什么三角形？试
证明你的结论
.
A
D
答：
<
/p>
当点
A
运动到使∠
BAP
＝∠
CAQ
时
,
△
ABC
为等腰三角形
.
证明：如图
1,
分别过点
P
、
B
作
AC
、
AQ
的平行线得交点
D
.
连结
DA
.
在△
DBP<
/p>
＝∠
AQC
中
,
显然∠
DBP
＝∠
AQC
,
∠
DPB
＝∠
C
.
由
BP
＝
CQ
,
可知
△
DBP
≌△
AQC
.
B
P
Q
有
DP
＝
AC
,
∠
BDP
＝∠
QAC<
/p>
.
于是
,
DA
∥
BP
,
∠<
/p>
BAP
＝∠
BDP
.
图1
则
A
、
D
、
B
、
P
四点共圆
,
且四边形
ADBP
为等腰梯形
.
故
AB
＝
DP
.
所以
A
B
＝
AC
.
这里
,
通过作平行线
< br>,
将∠
QAC
“平推”到∠
BDP
的位置
.
由
于
A
、
D
、<
/p>
B
、
P
四
点共圆
,
使证明很顺畅
.
例
2
如图
2,
四边形
ABCD
为平行四边形
,
∠
BA
F
＝∠
BCE
.
求证：∠
EBA
＝∠
ADE
.
E
证明：
如图<
/p>
2,
分别过点
A
、
B
作
ED
、
EC
P
的平行线
,
得交点
P
,
连
PE
.
G
∥
D
由
AB CD
,
易知△
PBA
≌△
ECD
.
有
A
＝
PA
＝
ED
,
PB
＝
EC
.
显然
,<
/p>
四边形
PBCE
、
PADE
均为平行四边形
.
有
B
F
C
∠
BCE
＝∠
BPE
,
∠
APE
＝∠
ADE
.
图2
由∠
BAF
＝∠
BCE
,
可知
∠
BAF
＝∠
BPE
.
有
P
、
B
、
A
、
E
四点共圆
.
于是
,
∠
EBA
＝∠
APE
.
所以
,
∠
EBA
＝∠
ADE
.
这
里
,
通过添加平行线
,
使已知与未知中的四个角通过
P
、
B
、
A
、
E
四点共圆
,
紧密联系起来
.
∠
APE
成为∠
EBA
与∠
ADE
相
等的媒介
,
证法很巧妙
.
C
2.2
为了改变线段的位置
利用“平行线间距离相等”
、
“夹在平行线间的平行
线段相等”这两条
,
常可通过
添加平行
线
,
将某些线段“送”到恰当位置
,<
/p>
以证题
.
例
3
在△
ABC
中
,
B
D
、
CE
为角平分线
< br>,
P
为
ED
上任意一点
.
过
P
分别作
AC
、
AB
、
BC
的垂线
,
M
、
N
、
Q
为垂足
.
求证：
A
PM
＋
PN
＝
PQ
.
N
M
P
证明：
如图
3,
过点
P
作
AB
的平行线交
B
D
E
D
于
F
,
过点
F
作<
/p>
BC
的平行线分别交
PQ
、
AC
F
于
K
、
G
,
连
PG
.
G
K
C
B
Q
文档
图3
实用标准文案
由
BD
平行∠
ABC
,
可知点
F
到
AB
、
BC
两边距离相等
.
有
KQ
＝
PN
.
EP
EF
CG
显然
,
＝
＝<
/p>
,
可知
PG
∥<
/p>
EC
.
PD
FD
GD
由
CE
平分∠
BCA
,
知
GP
平分∠
FGA
.
有
< br>PK
＝
PM
.
< br>于是
,
PM
＋
PN
＝
PK
＋
KQ
＝
PQ
.
这里
,<
/p>
通过添加平行线
,
将
PQ
“掐开”
成两段
,
证得
PM
＝
PK
,
就有
PM
＋
PN
＝
PQ
.
证法非常简捷
.
2.3
为了线段比的转化
由于“平行于三角形一边的直线截其它两边
< br>,
所得对应线段成比例”
,
在一
些问
题中
,
可以通过添加平行线
,
实现某些线段比的良性转化
.
这在平面几何证题中是
会经常遇到的
.
例
4
设<
/p>
M
1
、
M
2
是△
ABC
的
BC
边上的点
,
且
BM
1
＝
CM
2
.
任作一直线分别交
AB
、
AC
、
AM
1
、
AM
2
于
P
、
Q
、
N
1
、
N
2
.
试证
：
AM
1
A
M
2
AC
AB
＋
＝
＋
.
A
Q
AP
AN
1
AN
2
证明：
如图
4,
若
PQ
∥
BC
,
易证结论成立
.
若
PQ
与
PQ
PM
＝
PK
,
PM
＋
PN
＝
PQ
.
B
M
1
、
M
2
△
ABC
BC
BM
1
＝
CM
2
.
AB
、
AC
、
AM
1
、
AM
2
P
、
Q
、
N
1
、
N
2
A
P
N
2
< br>M
1
M
2
C
D
图4
N
1
Q
E
AM
1
AM
2
AC
A
B
＋
＝
＋
.
AQ
AP
AN
1
AN
2
A
P
N
2
M
1
M
2
C
D
图4
N
1
Q
E
PQ
∥
BC
PQ
与
BC
不平行
,
设
PQ
交直线
BC
于
D
.
过点
A
作
PQ
的平行线交直线
BC
于
B
E
.
由
BM
1
＝<
/p>
CM
2
,
可知<
/p>
BE
＋
CE
＝<
/p>
M
1
E
＋
M
2
E
,
易知
AB
BE
AC
CE<
/p>
＝
,
＝
,
AP
DE
AQ
DE
文档
M
E
AM
2
M
E
AM
1
＝
1
,
＝
2
.
DE
AN
2<
/p>
DE
AN
1
实用
标准文案
则
M
E
M
2
E
AM
1
AM
2
AC
AB
BE
CE
＋
＝
＝
1
＝
＋
. <
/p>
AQ
DE
AP
D
E
AN
1
AN
2
所以
,
AM
1
AM
2
AC
AB
＋
＝
＋
.
AQ
AP
AN
1
AN
2
这里
,
仅仅添加了一条平行线
,<
/p>
将求证式中的四个线段比“通分”
,
使公
分母
为
DE
,
于是问题迎刃而解
.
例
5
AD
是△
ABC
的高线
,
K
为
AD
上一点
,
BK
交
AC
于
E
,
CK
交
AB
于
F
.
求证：
∠
FDA
＝∠
EDA
.
证明：
如图
5,
过点
A
作
BC
的平行线<
/p>
,
分
Q
M
P
A
N
别交直线
DE
、
DF
、
BE
、
CF
于
Q
、
P
、
N
、
M
.
F
K
E
BD<
/p>
KD
DC
显然
,
＝
＝
.
AN
KA
AM
有
B
D
·
AM
＝
D
C
·
AN
.
(1)
B
C
D
BD
·
AM
AP
AF
AM
由
＝
＝
,
有
AP
＝
.
(2)
图5
BD
FB
BC
BC
AQ
AE
AN
DC
·
AN
由
＝
＝
,
有
AQ
＝
.
(3)
DC
EC
BC
BC
对比
(1)
、
(2)
、
(3)
有
AP
＝
AQ
.
显然
AD
为
P
Q
的中垂线
,
故
AD
平分∠
PDQ
.
所以
,
∠
FDA
＝∠
EDA
.
这里
,
原题并未涉及线段比
,
< br>添加
BC
的平行线
,
就有大量的比例式产生
,
恰当
地运用这些比例式
,
就使
AP
与
AQ
的相等关系显现出来
.
2.4
为了线段相等的传递
当题目给出或求证某点为线段中点时
,
应注意到平行线等分线段定理
,
用平
行线将线段相等的关系传递开去
.
例
6
在△
ABC
中
,
A
D
是
BC
边上的中线
< br>,
点
M
在
AB
边上
,
点
N
在
AC
边上
,
并且∠
1
A
MDN
＝
90
°
.
如果
BM
2
＋
CN
2
＝
DM
2
＋
DN
2
,
求证：
AD
2
＝
(
AB
2
＋
AC
2
).
4
证明：
如图
< br>6,
过点
B
作
< br>AC
的平行线交
ND
M
N
延长线于
E
.
连
ME
.
C
由
BD
＝
DC
,
可知
ED
＝
DN
.
有
B
D
△
BED
≌△
CND
.
于是
,
< br>BE
＝
NC
.
显然
,
MD
为
EN
的中垂线
.
有
EM
＝
MN
.
E
2
2
2
2
2
2
2
2
由
BM
＋
BE
＝
BM
＋
NC
＝
MD
＋
DN
＝
MN
＝
EM
,
可知△<
/p>
BEM
为直角三角形
,
< br>∠
MBE
图6
＝
90
°
.
有
< br>
∠
ABC
＋∠
ACB
＝∠
ABC
＋∠
EBC
＝
90
°
.
1
1
于是
,
∠
BA
C
＝
90
°
.
所以
,
AD
＝
BC
＝<
/p>
(
AB
2
＋
AC
2
).
4<
/p>
2
2
2
这里
,<
/p>
添加
AC
的平行线
,
将
BC
的以
D
为中点的性质传递给
EN
,
使解题找到出
文档
实用标准文案
路
.
例
7
如图
7,
AB
为半圆直径
< br>,
D
为
AB
上一点
,
分别在半圆上取点
E<
/p>
、
F
,
使
EA
＝
DA
,
FB
＝
DB
.
过
D
作
AB
的垂线
,
交半圆于
C<
/p>
.
求证：
CD
平
分
EF
.
证明：
如图
7,
分别过点
E
、
F
作
AB
的垂线
,
G
、
H
为垂足
,
连
FA
、
EB
.
易知
DB
2
＝
FB
2
＝
AB
·
HB
,
C
F
AD
2
＝
AE
2
＝
AG
·
A
B
.
E
2
2
二式相减
,
得
DB
－
AD
＝
AB
·
(
HB
－
AG
),
或
(
DB
－
AD
)
·
A
B
＝
AB
·
(
HB
－
AG
)
.
于是
,
DB
－
AD
＝
HB
－
AG
,
A
B
G
D
O
H
或
DB
－
HB
＝
AD
－
AG
.
图7
就是
DH
＝
GD
.
显然
,
EG
∥
CD
∥
FH
.
故
CD
平分
EF
.
这里
,
为证明
CD
平分
EF
,
想到可先证
CD
平分
GH
.
为此添加
CD
的两条平行线
EG
、
FH
,
从而得到
< br>G
、
H
两点
.
证明很精彩
.
经过一点的若干直线称为一组直线束
.
一组直线束在一条直线上截得的线段相等
,
在该直线的平行直线上截得的线
段也相等
.
如图
8,
三直线
AB
、
AN
、
AC
构成一组直线束
,
DE
是与
BC
平行的直线
.
于是
,<
/p>
有
A
DM<
/p>
AM
ME
E
D<
/p>
＝
＝
,
M
BN
AN
N
C
ME
DM
BN
DM
C
B
N
即
＝
或
＝
. <
/p>
BN
NC
ME
N
C
图8
此式表明
,
DM
＝
ME
的充要条件是
BN
＝
NC
.
A
利用平行线的这一性质
,
解决某些线段相等的问题会很漂亮
.
例
8
如图
9,
ABCD
为四边形
,
两组对边延长
后得交点<
/p>
E
、
F
,
对角线
BD
∥
EF<
/p>
,
AC
的延长
B
D
线交
EF
于
G
.
求证：
EG
＝
GF
.
M
N
证明：
如
图
9,
过
C
作
EF
的平行线分别交
AE
、
C
AF
于
M
、
N
.
由
BD
∥
EF
,
可知
MN
∥
BD
.
易知
E
F
G
S
△
BEF
＝
S
△
DEF
.
有
S
△
BEC
＝
S
△Ⅱ
KG
－
*5
Ⅱ
DFC
.
图9
可得
MC
＝
CN
.
所以
,
EG
＝
GF
.
A
例
9
<
/p>
如图
10,
⊙
O
是△
ABC
的边
BC
外的旁
切圆
< br>,
D
、
E
、
F
分别为⊙
O
与
BC
、
CA
、
AB
C
B
的切点
.
若
OD
< br>与
EF
相交于
K
,
求证：
AK
平
F
P
分
< br>BC
.
Q
K
< br>证明：
如图
10,
过点
K
作
BC
的行平线分别
E
交直线
A
B
、
AC
于
Q
、
P
两点
,<
/p>
连
OP
、
OQ<
/p>
、
OE
、
OF
.
O
由
OD
⊥
BC
,
可知
OK
⊥
PQ
.
图10
由
OF
⊥
AB
,
可知
O
、
K
、
F
、
Q
< br>四点共圆
,
有
∠
FOQ
＝∠
FKQ
.
由
OE<
/p>
⊥
AC
,
可知<
/p>
O
、
K
、
P
、
E
四点共圆
.
有∠
EOP
＝∠
EKP
.
文档
实用标准文案
显然
,
∠
FKQ
＝∠
EKP
,
可知
∠
FOQ
＝∠
EOP
.
由
OF
＝
OE
,
可知
Rt
△
OFQ
≌
Rt
△
OEP
.
则
OQ
＝
OP
.
于是
,<
/p>
OK
为
PQ
的中
垂线
,
故
QK
＝
KP
.
所以
,
AK
平分
BC
< br>.
综上
,
我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用
.
同学
们在实践中应注意
适时添加平行线
,
让
平行线在平面几何证题中发挥应有的作用
.
3
利用圆中的等量关系巧作辅助圆
在某些数学问题中
,
巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系
,
通
过圆的有关性质找到解题途径
.
下面举例说明添置辅助圆的若干思路
.
3.1
挖掘隐含的辅助圆解题
有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”
,
此时若能把握问题提供的信
息
,
恰当补出辅助圆
,
并合理挖掘图形
隐含的性质
,
就会使题设和结论的逻辑关系
A
明朗化
.
1.1
作出三角形的外接圆
例
1
如图
1,
在△
ABC
中
,
AB
＝
AC
,
D
是底边
BC
E
上一点
,
< br>E
是线段
AD
上一点且∠
BED
＝
2
∠
CED
＝
∠
A
.
求证：
BD
＝
2
CD
.
分析：关键是寻求∠
BED
＝
2
∠
CED
与结论的联系<
/p>
.
B
C
D
G
容易想到作∠
BED
的平分线
,
但因
BE
≠
ED
,
故不能
F
直接证出
BD
＝
2
CD
.
若延长
AD
交△
ABC
的外接圆
图1
于
F
,
则可得
EB
＝
EF
,
从而获取
.
证明：
如图
1,
延长
AD
与△
ABC
的外接圆相交于点
F
< br>,
连结
CF
与
< br>BF
,
则∠
BFA
＝∠
BCA
＝∠
ABC
＝∠
AFC
,
即∠
BFD
＝∠
CFD
.
故
BF
:
CF
＝
BD
:
DC
.
又∠
BEF
＝∠
BAC
,
∠
BFE
＝∠
BCA
,
从而∠
FBE
＝∠
ABC
＝∠
ACB
＝∠
BFE
.
故
EB
＝<
/p>
EF
.
作∠
BEF
的平分线交
BF
于
G
,
则
BG
＝
GF
.
1
因∠
GEF
＝
∠
BEF
< br>＝∠
CEF
,
∠
GFE
＝∠
CFE
,
故△
FEG
≌△
FEC
.
从而
GF
＝
FC
.
2
于是
,
BF
＝
2
CF
.
故<
/p>
BD
＝
2
CD<
/p>
.
C
1.2
利用四点共圆
O
例
2
凸
四边形
ABCD
中
,
< br>∠
ABC
＝
60
°
,
∠
BAD
＝
D
∠
BCD
＝
90
°
< br>,
AB
＝
2,
CD
＝
1,
对角线
AC
、
BD
交于点
O
,
如图
2. <
/p>
A
证
sin
∠<
/p>
AOB
＝
15
6
3
..
2
6
B
分析：由∠
BAD
＝∠
BCD
＝
90
°可知
A
、
B
、
C
、
D
图2
四点共圆
,
欲求
sin
∠
AOB
,<
/p>
联想到托勒密定理
,
只须求出
BC
、
AD
即可
.
解：
因∠
BAD
＝∠
BCD
＝
90
°
,
故<
/p>
A
、
B
、
C
、
D
四点共圆
.
延长
BA
、
CD
交于
P
,
则∠
ADP
＝∠
A
BC
＝
60
°
.
文档
P
实用标准文案
设
AD
＝
x
,
有
A
P
＝
3
x
,<
/p>
DP
＝
2
x
.
由割线定理得
(2
＋
3
x
)
3
x
＝
2
x
(1
＋
2
x
).
解得
AD
＝
x
＝
2
3
－
2,
BC
＝
由托勒密定理有
BD
·
CA
＝
(4
－
3
)(2
3
－
2)
＋
2
×
1
＝
10
3
－
12.
又
< br>S
ABCD
＝
S
△
ABD
＋
S
△
BCD
＝
15
6
3
3
< br>3
.
故
sin
∠
AOB
＝
.
26
2
A
1
BP
＝
4
－
3
.
2
例
3
<
/p>
已知：如图
3,
AB
＝
BC
＝
CA
＝
AD
,
AH
< br>⊥
CD
于
H
,
CP
⊥
BC
,
CP
交
AH
于
P
.
求证：
△
ABC
的面积
S
＝
B
3
AP
·
BD
.
4
3
2
3
BC
＝
AC
·
BC
,
只
4
4
P
Q
D
C
图3
H
分析
：因
S
△
ABC
＝
须证
AC
·
BC
＝
AP
·
BD
,
转化为证△
APC
∽△
BCD
.
这由
A
、
B
、
C
、
Q
四点共圆易证
(
Q
为
BD
与
AH
交点
). <
/p>
证明：
记
BD
与
AH
交于点
Q
,
则由
AC
＝
AD
,
AH
⊥
CD
得∠
ACQ
＝∠
< br>ADQ
.
又
AB
＝
AD
,
故∠
ADQ
＝∠
ABQ
.
从而
,
∠
ABQ
＝∠
< br>ACQ
.
可知
A
、
B
、
C
、
Q
四点共圆
.
∵∠
APC
< br>＝
90
°＋∠
PCH
＝∠
BCD
,
∠
CBQ
＝∠
CAQ
,
∴△
APC
< br>∽△
BCD
.
∴
AC
·
BC
＝
AP
·
BD
.
于是
,
S
＝
3
3
A
C
·
BC
＝
A
P
·
BD
.
4
4
3.2
构造相关的辅助圆解题
有些问题貌似
与圆无关
,
但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质<
/p>
相似的信息
,
此时可大胆联想构造出与题
目相关的辅助圆
,
将原问题转化为与圆
有关的问题加以解决
.
2.1
联想圆的定义构造辅助圆
例
4
如图
4,
四边形
ABCD
< br>中
,
AB
∥
CD
,
AD
＝
DC
＝
DB
＝
< br>p
,
BC
＝
q
.
证对角线
AC
的长为
4
p
2
q
2
.
分析：由“
AD
＝
DC
＝
DB
＝
p
”可知
A
、
B
、
C
在
半径为
p
的⊙
D
上
.
利用圆的性质即可找到
AC
与
p
、
q
的关系
.
解：
延长
CD
交半径为
p
的⊙
D
于
E
点
,
连结
< br>AE
.
显然
A
、
B
、
C
在⊙
D
上
.
C
文档
B<
/p>
A
E
D
图4
实用标准文案
< br>∵
AB
∥
CD
< br>,
∴
BC
＝
< br>AE
.
从而
,
BC
＝
AE
＝
q
.
在△
ACE
中
,
∠
CAE
＝
90
°<
/p>
,
CE
＝
2
p
,
AE
＝
q
,
故
AC
＝
CE
2
AE
2
＝
4
p
2
q
2
.
2.2
联想直径的性质构造辅助圆
例
5
已知
抛物线
y
＝－
x
2
＋
2
x
＋
8
与
x
轴交于
B
、
C
两点，
点
D
平分
BC
.
若在
x
轴上侧的
A
点为抛物线上的动点
,
且∠
BAC
为锐角
,
证
AD
的取值范围是
3
< br>＜
AD
≤
9..
分析：由“∠
BAC
为锐角”可知点
A
在以定线段
BC
为直径的圆外
,
又点
A
在
x
轴
< br>y
上侧
,
从而可确定动点
A
的范围
,
进而确定
AD
的取值范围
.
A
0
(1,
9)
解：
如图
5,
所给抛物线的顶点为
A
0
(1,9
),
对称轴为
x
＝
< br>1,
与
x
轴交于两点
B
(
－
2,0)
、
C
(4,0).
分别以
BC
< br>、
DA
为直径作⊙
D
、⊙
E
,
则
E
两圆与抛物线均交于两点
P
(1
－
2
2
,1)
、
P
B
(-2,0)
D
< br>图5
Q
C
(4,0)
x
Q
(1
＋
2
2
,1).
<
/p>
可知
,
点
A
在不含端点的抛物线
PA
0
Q
内时
,
∠
BAC
＜
90
°
.
且有
3
＝
DP
＝
DQ
＜
AD
≤
DA
0
＝
9,
即
AD
的取值范围是
3
＜
AD
≤
9.
2.3
联想圆幂定理构造辅助圆
例
6
AD
是
Rt
△
AB
C
斜边
BC
上的高
,
∠
B
的平行线交
AD
于
M
,
< br>交
AC
于
N
.
求证：
AB
－
< br>AN
＝
BM
·
< br>BN
.
2
2
< br>分析：
因
AB
－
AN
＝
(
AB
＋
AN
)(
AB
－
AN
)
＝
BM
·
BN
,
而由题设易知
AM
＝
AN
,
联想割线定理
,
构造辅助圆即可证得结论
.
E
证明：
如图
6,
∵∠
2
＋∠
3
＝∠
4
＋∠
5
＝
90
°
,
A
又∠
3
＝∠
4,
∠
1
＝∠
5,
< br>N
∴∠
1
＝∠
< br>2.
从而
,
AM
＝
AN
.
以
AM
长为半径作
⊙<
/p>
A
,
交
AB
于
F
,
交
BA
的延长线于
E<
/p>
.
则
AE
＝
AF
＝
AN
.
由割线定理有
1
3
5
M
< br>4
D
B
F
2
2
2
C
图
6
BM
·
BN
＝
BF
·
BE
＝
(
AB
＋
AE
)(
AB
－
AF
)
< br>2
2
2
2
＝
(
AB
< br>＋
AN
)(
AB
－
AN
)
＝
AB
－
AN
,
即
A
B
－
AN
＝
B
M
·
BN
.
例
7
如图
7,
ABCD
是
⊙
O
的内接四边形
,
延长
AB
和
DC
相交于
E
,
延长
AB
和
DC
相交于
E
,
2
2
2
延长
AD
和
BC
相交
于
F
,
EP
和
FQ
分别切
⊙
O
于
P
、
Q
.
求证：
EP
＋
FQ
＝
EF
.
分析：因
EP
和
FQ
是⊙
O
的切线
,
由结论联想到切割线定理
,
构造辅助圆使<
/p>
EP
、
FQ
向<
/p>
EF
转化
.
文档
实用标准文案
4
< br>平移、旋转
,
翻折
,
几何证明中的三种基本变换
所谓几何变换就是根
据确定的法则，
对给定的图形
(
或其一
部分
)
施行某种位置变
化，然后在新的
图形中分析有关图形之间的关系．
4.1
正三角形类型
在正Δ
ABC
中，
P
为Δ
ABC
内一点，将Δ
ABP
绕
A
点按逆时针方向旋转
60
0
，使得
AB
与
AC
重合。经过这样旋转变化，将图
（
1-1-a
）中的
PA
、
PB
、
PC
三条线段集
中于图（
1-1-b
）中的一个Δ
P'CP
中，此时Δ
P'AP
也为正三角形。
文档