《几何原本》
对爸爸说的话-
作为基础的五条公理和公设
《几何原本》的主要内容
《几何原本》的意义和影响
《几何原本》的传播
《几何原本》在中国
对《几何原本》的评价
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简介
《几何原本》
（
Elements
）
"Elelments" by Euclid of
Alexandria (ca. 325 BC - 265 BC)
原著：
【古
希腊】
欧几里得
古希腊大数学家欧几里德是与他的巨著——《几何原本》一起名垂千古的。这本书是世<
/p>
界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作，也是欧几里德最有价值的一部著作。在《原
本》里，欧几里德系统地总结了古代劳动人民和学者们在实践和思考中获得的几何知识，
欧
几里德把人们公认的一些事实列成定义和公理，以形式逻辑的方法，用这些定义和公理
来研
究各种几何图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理得几
何学论
证方法，
形成了一个严密的逻辑体系——几何学。
而这本书，
也就成了欧式几何的奠基之作。
两千多年来，
《几何原本》一直是学习几何的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡尔、牛顿
等许多伟
大的学者都曾学习过
《几何原本》
，
从
中吸取了丰富的营养，
从而作出了许多伟大的
成就。
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作为基础的五条公理和公设
五条公理
1.
等于同量的量彼此相等；
2.
等量加等量，其和相等；
3.
等量减等量，其差相等；
4.
彼此能重合的物体是全等的；
5.
整体大于部分。
五条公设
1.
过两点能作且只能作一直线；
2.
线段
(
有限直线
)
可以无限地延长；
3.
以任一点为圆心
,
任
意长为半径
,
可作一圆；
4.
凡是直角都相等；
5.
同平
面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于
180
°，
则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。
（最后一条公设就是著名的平
行公设，或者叫做第五公设。它引发了几何史上最著名的
长达两千多年的关于“平行线理
论”的讨论，并最终诞生了非欧几何。
）
——以上选自《几何原本》
第一卷《几何基础》
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《几何原本》的主要内容
欧几里得的《几何原本》共有十三卷。
目录
第一卷
几何基础
第二卷
几何与代数
第三卷
圆与角
第四卷
圆与正多边形
第五卷
比例
第六卷
相似
第七卷
数论（一）
第八卷
数论（二）
第九卷
数论（三）
第十卷
无理量
第十一卷
立体几何
第十二卷
立体的测量
第十三卷
建正多面体
各卷简介
第一卷：几何基础。重点内容有三角形全等的条件，三角形边
和角的大小关系，平
行线理论，
三角形和多角形等积
（面积
相等）
的条件，
第一卷最后两
个命题是
毕达哥拉斯定理的正逆定理；
第二卷：
几何与代数。
讲如何把三角形变成等积的正方形；
其中
12
、
13
命题相当于
余弦
定理。
第三卷：讨论了圆与角。
第四卷：讨论圆内接和外切多边形的做法和性质；
第五卷：讨论比例理论，多数是继承自欧多克斯的比例理论
第六卷：讲相似多边形理论；
第五、
第七、
第八、
第九、
第十卷：
讲述比例和算
术的理论；
第十卷是篇幅最大的一卷，
主要讨论无理量（与给定
的量不可通约的量）
，其中第一命题是极限思想的雏形。
第十一卷、十二、十三卷：最后讲述立体几何的内容。
从这些内容可以看出，目前属于中
学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在《几
何原本》里了。因此长期以来，人们
都认为《几何原本》是两千多年来传播几何知识的标准
教科书。属于《几何原本》内容的
几何学，人们把它叫做欧几里得几何学，或简称为欧氏几
何。
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《几何原本》的意义和影响
在几何学上的影响和意义
在几何学发展的历史中，欧几里得的《几何原本》起了重大的
历史作用。这种作用归结
到一点，就是提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构的问题。
在他写的《几何原本》中，
就是用逻辑的链子由此及彼的展开全部几何学，
这项工作，
前人未曾作到。
《几何原本》
的诞
生，
标志着几何学已成为一个有着比较严密的
理论系统和科学方法的学科。
并且
《几何原本》
中的命题
1.47
，
证明了是
欧几里德最先发现的勾股定理，
从而说明了欧洲是最早发现勾股定
理的大洲。
论证方法上的影响
关于几何论证的方法，欧几里得提出了分析法、综合法和归谬
法。所谓分析法就是先假
设所要求的已经得到了，分析这时候成立的条件，由此达到证明
的步骤；综合法是从以前证