初中数学辅助线添加及例题大全
合唱谱-
初中数学辅助线的添加
人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件
不够时，添加辅
助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立
已知与未知的桥梁，把问题转化
为自己能解决的问题，这是解决问题常用
的策略。
一．
添辅助线有二种情况：
1
按定义添辅助线：
如证明二直线垂直可延长使它们
,<
/p>
相交后证交角为
90
°；证线段倍半关<
/p>
系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2
按基本图形添辅助线：
每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们
把它叫做基本图形，
添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时
补完整基本图
形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有<
/p>
规律可循。举例如下：
（
1
）平行线是个基本图形：
当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线
都相交的等
第三条直线
（
2
）等腰三角形是个简单的基本图形：
当几何问题中出现一点发出的二条相等线段
时往往要补完整等腰三角
形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交
得等腰三
角形。
< br>（
3
）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：<
/p>
出现等腰
三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线
组合时可延长垂线与角的二边
相交得等腰三角形中的重要线段
的基本图形。
（
4
）直角
三角形斜边上中线基本图形
出现直
角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关
系且倍线段是直角三角形的
斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三
角形斜边上中线基本图形。
（
5
）三角形中位线基本图形
几何
问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明
当有中点没有中位线时则
添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完
整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线
段有公共端点的线段带一个中点
则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形
；当出现线段倍
半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半
线段的平行线得三角形中位线基本图形。
（
6
）全等
三角形：
全等三角形有轴对称形，
中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现
两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成
轴对称就可以添加轴对称形
全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何
问题中出现
一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形
全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行
线
（
7
）相似三角形：
相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转
型；当出现
相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为
1
）可添加平行线
得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一
端点的线段
为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。
（
8
）特殊
角直角三角形
当出现
30
，
45
，
60
，
135
，
150
度特殊角时可添加特殊角直角三角形，
利用
45
角直角三角形三边比为
1
：
1
：
√
2
；
30
度角直角三角形三
边比为
1
：
2
：√
3
进行证明
（
9
）半圆
上的圆周角
出现直径与半圆上的点
，添
90
度的圆周角；出现
90
度的圆周角则添
它所对弦
---
直径；平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有
一砧，瓦，水泥
，石灰，木等组成一样。
二．基本图形的辅助线的画法
1.
三角形问题添加辅助线方法
方法
1
：有
关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利
用三角形的中位线，
通过这种方法，
把要证的结论恰当的转移，
很容易地解决了
问题。
方法
2
：含有平分线的题目，常以角平分线为对称
轴，利用角平分线的性质
和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识
解决问题。
方法
< br>3
：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于
平分线段的一些定理。
方法
4
：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这
类题目，常采
用截长法或补短法，
所谓截长法就是把第三条线段
分成两部分，
证其中的一部分
等于第一条线段，而另一部分等于
第二条线段。
2.
平行四边形中常用辅助线的添法
平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和
对角线都具有
某些相同性质，
所以在添辅助线方法上也有共同之
处，
目的都是造就线段的平行、
垂直，构成三角形的全等、相似
，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方
形等问题处理，其常用方法有下列几种，
举例简解如下：
（
1
）连对角线或平移对角线：
（
2
）过顶点作对边的垂线构造直角三角形
< br>（
3
）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一
边的平行线，构造
线段平行或中位线
（
4
）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角
形相似或等
积三角形。
（
5
）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等
< br>.
3.
梯形中常用辅助线的添法
梯形是一种特殊的四边形。
它是平行四边形、
三角形知识的综合，
通过添加
适当的辅助线将梯形问题化归为平
行四边形问题或三角形问题来解决。
辅助线的
添加成为问题解决
的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：
（
1
）在梯形内部平移一腰。
（
2
）梯形外平移一腰
（
3
）梯形内平移两腰
（
4
）延长两腰
（
5
）过梯形上底的两端点向下底作高
（
6
）平移对角
线
（
7
）连
接梯形一顶点及一腰的中点。
（
8<
/p>
）过一腰的中点作另一腰的平行线。
（
9
）作中位线
当然在梯形的有关证明和计算中，
添加的辅助线并不一定是
固定不变的、
单
一的。
通过辅助线这座
桥梁，
将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来
解决，
这是解决问题的关键。
4.
圆中常用辅助线的添法
在平面几何中，
解决与圆有关的问题时，
常常需
要添加适当的辅助线，
架起
题设和结论间的桥梁，从而使问题化
难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活
掌握作辅助线的一般规律和常见方法，
对提高学生分析问题和解决问题的能力是
大有帮助的。
（
1
）见弦作弦心距
有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通过垂
径平分
定理，来沟通题设与结论间的联系。
< br>（
2
）见直径作圆周角
在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用
直径所对的
圆周角是直角
这一特征来证明问题。
（
3
）见切线作半径
命题的条件中含有圆的切线
，往往是连结过切点的半径，利用
切线与半径
< br>垂直
这一性质来证明问题。
<
/p>
（
4
）两圆相切作公切线
对两圆相切的问题，
一般是经过切点作两圆的公切线
或作它们的连心线，
通
过公切线可以找到与圆有关的角的关系。
（
5
）两圆
相交作公共弦
对两圆相交的问题，
通
常是作出公共弦，
通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，
又可以
把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。
作辅助线的方法
一：中点、中位线，延线，平行线。
如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延
长
的某一段等于中线或中位线；
另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，
以达到应
用某个定理或造成全等的目的。
二：垂线、分角线，翻转全等连。
如
遇条件中，有垂线或角的平分线，
可以把图形按轴对称的方法，
并借助其他条件，而
旋转
180
度，得
到全等形，
，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的
平分线。
三：边边若相等，旋转做实验。
如遇
条件中有多边形的两边相等或两角相等，
有时边角互相配合，
然
后把图形旋转一定
的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称
中心，因题而异，有
时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。
四
:
造角、平、相似，和、
差、积、商见。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，
欲证线段或角的和差积商，
往往与相似形
有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；
第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：
“造角、平、相似，和差积商
见。
”
托列米定理和梅叶劳定理的证
明辅助线分别是造角和平移的代表）
五：两圆若相交，连心公共弦。
如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。
六：两圆相切、离，连心，公切线。
如条件中出现两圆相切（外切，内切）
，或相离（内含、外离）
，那么，辅助线往往是连
心线或内外公切线。
七：切线连直径，直角与半圆。
如果
条件中出现圆的切线，
那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；
< br>相反，
条件
中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（
或半径）端点的切线。即切线与直径互为辅助
线。
如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，
条件中有半圆，那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。
八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。
如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。
如遇平行线，则平行线间的距离相等，距离为辅助线；反之，亦成立。
< br>
如遇平行弦，
则平行线间的距离相等，
所夹的弦亦相等，
距离和所夹的弦都可视为辅助
线，反
之，亦成立。
有时，圆周角，弦切角，圆心角，圆内角和圆外
角也存在因果关系互相联想作辅助线。
九：面积找底高，多边变三边。
如遇
求面积，
（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积）
< br>，往往作底或
高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。
如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。
另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，< p>
大多数为“面积找底高，多边变三边”
。
线、角、相交线、平行线规律
规律
1.
如果平面上有
n
(
n
≥2)
个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直
线，一共可以画出
1
n
(
n
－
1)
条
.
2
1
n
(
n
+1)+1
〕个部分
.
2
1
n
(
n
－
1)
条
.
2
规律
2.
平面上的
n
条直线最多可把平面分成〔
规律
3.
如果一条直线上有
n
个点，那么在这个图形中共有线段的条数为
规律
4.
线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的
距离等于线段长的
一半
.
例：如图，
B
在线段
AC
上，
M
是
AB
的中点，
N
是
BC
的中点
.
求证：
MN
=
1
AC
2
A
M
B
N
C
证明：∵
M<
/p>
是
AB
的中点，
N
是
BC
的中点
∴
AM
=
BM
=
1
1
AB
,
BN
=
CN
=
BC
2
2<
/p>
1
1
1
AB
+
BC
=
(
AB
+
BC
)
2
2
2
∴
MN
=
MB
+
BN
=
∴
MN
=
1
AC
2
练习：
1.
如图，点
< br>C
是线段
AB
上的一点，
M
是线段
BC
的中点
.
求证：
AM
=
1
(
AB
+
BC
)
2
A
C
M
B
2.
如图，点
B
在
线段
AC
上，
M
是
AB
的中点，
N
< br>是
AC
的中点
.
求证：
MN
=
1
BC
2
A
M
N
B
C
3.
如图，点
B
在线段
AC
上，
N
是
AC
的中点，
M
是
BC
的中点
.
求证：
MN
=
规律
5
.
有公共端点的
n
条射线所构成的交点
的个数一共有
1
AB
2
A
N
B
M
C
1
n
(
n
－
1)
个
.
2
规律
6.
如果平面内有<
/p>
n
条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有
2
n
（
n
< br>－
1
）个
.
规律
7.
如果平面内有
n
条直线都经过同一点，则可构成
n
（
n
－
1
）对对顶角
.
规律
8.
平面上若有
n
（
n
≥3
）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共
可作出
1
n
(
n
－
1)(
n
－
2
）个
.
6
1
n
(
n
－
1)
个
.
2
规律
9.
互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为
90
< br>o
.
规律
10.
平面上有
n
条直线相交，最多交点的个数为
规律
11.
互为补角中较小角的余角等于这两个
互为补角的角的差的一半
.
规律
12
.
当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁
内角的角平分线互相垂直
.
例：如图，以下三种情况请同学们自己证明
.
A
E
B
F
A
E
B
H
A
E
B
H
F
< br>H
F
C
D
C
D
G
G
C
D
G
规律
13.
已知
AB
∥
DE
,
如图⑴～⑹
,
规律如下：
A
B
C
1
ABC+
BCD+
CDE=360
D
E
A
B
C
2
BCD
=
ABC
+
CDE
D
E
C
A
B
3
BCD
=
CDE
-
ABC
D
E
A
B
4
E
C
D
BCD
=
ABC
-
CDE
A
B
CDE
=
BCD
+
ABC
5
E
D
C
C
A
B
ABC
=
BCD
+
CDE
6
E
D
规律
14.
成
“8
”
字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半
.
例：已知，
BE
、<
/p>
DE
分别平分∠
ABC
< br>和∠
ADC
，若∠
A
= 45
o
,
∠
C
= 55
o
,<
/p>
求∠
E
的度数
.
解：∠
A
＋∠
ABE
=
∠
E
＋∠
ADE
①
A
∠
C
＋∠
CDE
=
∠
E
＋∠
CB
E
②
B
①＋②得
M
E
∠
A
＋∠
ABE
＋∠
C
＋∠
CDE
=
∠
E
＋∠
ADE
＋∠
E
＋
N
∠
CBE
D
C
∵
BE
平分∠
ABC
、
DE
平分∠
ADC
，
∴∠
ABE
=
∠
CBE
，∠
CDE
=
∠
ADE
∴
2
∠
E
< br> =
∠
A
＋∠
< br>C
∴∠
E
=
1
(
∠
A
＋∠
C
)
2
∵∠
A
=
45
o
,
∠
C
=55
o
,
∴∠
E
=50
o
三角形部分
规律
15
．在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点
或
延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边
关系定理及不等式性质证题
.
例：如图，已
知
D
、
E
为△
ABC
内两点，求证：
AB
＋
AC
＞
BD
＋
DE
＋
CE
.
证法（一）
：将<
/p>
DE
向两边延长，分别交
AB
、
AC
于
M
、
N
在△
AMN
中，
AM
＋
AN
＞
MD
＋
DE
＋
NE
①
在△
BD
M
中，
MB
＋
MD
＞
BD
②
在△
CE
N
中，
CN
＋
NE
＞
CE
③
①＋②＋③得
AM
< br>＋
AN
＋
MB
< br>＋
MD
＋
CN
< br>＋
NE
＞
MD
< br>＋
DE
＋
NE
< br>＋
BD
＋
CE
< br>
∴
AB
＋
AC
＞
BD
＋
DE
＋
CE
证法（二）延长
BD
交
AC
于
F
，延长
CE
交
BF
于
G
,
在△
ABF
和△
GFC
和△
GDE
中有，
①
AB
< br>＋
AF
＞
BD
< br>＋
DG
＋
GF
< br>
M
②
GF
＋
FC
＞
GE
＋
CE
B
③
DG
＋
GE
＞
DE
∴①＋②＋③有
AB
＋
AF
＋
GF
＋
FC
＋
DG
＋
GE
＞
BD
＋
DG
＋
GF
＋
GE
＋
CE
＋
DE
A
< br>D
G
E
F
N
C
∴
AB
＋
AC
＞
BD
＋
DE
＋
CE
注意：
利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求
证有关的
量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题
.
练习
：已知：如图
P
为△<
/p>
ABC
内任一点，
求证：
1
(
AB
＋
BC
＋
AC
)
＜<
/p>
P
A
＋
PB
＋
PC
＜
AB
＋
BC
＋
AC
2
规律
16
．三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的
一半
.
例：如图，已知
BD
为△
ABC
的角平分线，
CD
为△
ABC
的外角∠
ACE
的平分线，它与
BD
的延长线交于
D
.
求证：∠
A
=
2
∠
D
证明
：∵
BD
、
CD
分别是∠
ABC
、∠
ACE
的平分线
∴∠
ACE
=2
∠
1,
∠
ABC
=2
∠
2
A
D
∵∠
A
=
∠
ACE
－∠
ABC
∴∠
A
= 2
∠
1
－
2
∠
2
1
2
B<
/p>
C
E
又∵∠
D<
/p>
=
∠
1
－∠
2
∴∠
A
=2
∠
D
规律
17.
三角形的两个内角平分线
相交所成的钝角等于
90
o
加上第三个
内角的一半
.
例：如图，
BD
、
CD
分别平分∠
A
BC
、∠
ACB
，
求证：∠
BDC
= 90
o
＋
证明：∵
BD
、
CD
分别平分∠
ABC
、∠
ACB
∴∠
A<
/p>
＋
2
∠
1
＋
2
∠
2 =
180
o
∴
2(
∠
1
＋∠
2)= 180
o
－∠
A
①
∵∠
BDC
=
180
o
－
(
∠
1
＋
∠
2)
∴
(
∠
1
＋∠
2) = 180
o
－∠
BDC
②
把②式代入①式得
2(180
o
－∠
BDC
)= 180
o
－∠
A
即：<
/p>
360
o
－
2<
/p>
∠
BDC
=180
o
－∠
A
∴
2
∠
BDC
= 180
o
＋∠
A
∴∠
BDC
= 90
o
＋
1
∠
A
2
A
D
B
1
2
C<
/p>
1
∠
A
2
1
∠
A
2
规律
18.
三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于
90
< br>o
减去第三个内角的一半
.
<
/p>
例：如图，
BD
、
CD
分别平分∠
EBC
、∠
FCB
，
求证：∠
BDC
= 90
o
－
证明：∵
BD
、
CD
分别平分∠
E
BC
、∠
FCB
∴∠
EBC
= 2
< br>∠
1
、∠
FCB
= 2
∠
2
∴
2
∠
1 =
∠
A
＋∠
AC
B
①
2
∠
2 =
∠
A
＋∠
ABC
②
①＋②得
2
（∠
1
＋∠
2
）
=
∠
A
＋
∠
ABC
＋∠
ACB
< br>＋∠
A
2
（∠
1
＋∠
2
）
= 180
o
＋∠
A
∴（∠
1
＋∠
2
）
= 90
o
＋
1
∠
A
2
B
< br>E
1
A
2
D
C
F
∵∠
BDC
= 180
o
－
(
∠
< br>1
＋∠
2)
∴∠
BDC
= 180
o
－
(90
o
＋
∴∠
BDC
= 90<
/p>
o
－
1
∠
A
)
2
1
∠
A
2
规律
19.
从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差
（的绝
对值）的一半
.
例：已知，如图，在△
ABC
中，∠
C
＞∠
B
，
AD
< br>⊥
BC
于
D
，
AE
平分∠
< br>BAC
.
求证：∠
EAD
=
1
(
∠
C
－∠
B
)
2
A
证明：∵
AE
平分∠
BAC
1
∴∠
BAE
=
∠
CAE
=
∠
BAC
2
∵∠
BAC
=180
o
－
(
∠
B
＋∠
C
)
∴∠
EAC
=
B
E
D
C
1
〔
180
o
－
(
∠
B
＋∠
C
)
〕
2
∵
AD<
/p>
⊥
BC
∴∠
DAC
=
90
o
－∠
C
∵∠
EAD
=
∠
EAC
－∠
DAC
∴∠
EAD
=
1
〔
18
0
o
－
(
∠<
/p>
B
＋∠
C
)
〕－
(90
o
－<
/p>
2
A
A
F
∠
C
)
1
= 90
o
－
(
∠
B
＋∠
C
)
－
90<
/p>
o
＋∠
C
2
=
B<
/p>
B
E
D
C
D
E
F
C
1
(
∠
C
－∠
B
)
2
如果把
AD
平移可以得到如
下两图，
FD
⊥
BC
< br>其它条件不变，
结论为∠
EFD
=
－∠
B
).
1
(
∠
C
2
注意：
同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变
换，从而使自己通过解
一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力
.
规律
20.
在利用
三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证
不出来，可连
结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角
的位置上，小角处在内
角的位置上，再利用外角定理证题
.
例：已知
D
为△
ABC
内任一点，求证：∠
BDC
＞∠
BAC
证法（一）
：延长
BD
交
AC
于
E
，
∵∠
BDC
是△
EDC
的外角，
A
A
∴∠
BDC
＞∠
DEC
E
同理：∠
DEC
＞∠
BAC
D
D
∴∠
BDC
＞∠
BAC
B<
/p>
B
C
C
F
证法（二）
：连结
AD
，并延长交
BC
于
F
∵∠
BDF
是△
ABD
的外角，
∴∠
BDF
＞∠
B
AD
同理∠
CDF
< br>＞∠
CAD
∴∠
BDF
＋∠
CDF
＞∠
BAD
＋∠
CAD
即：∠
BDC
＞∠
BAC
规律
21.
有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形
.
例：已知，如图，
AD
为△
ABC
的中线且∠
1
=
∠
2
，∠
3
=
∠
4
，
求证：
BE
＋
CF
＞
EF
证明：在
DA
上截取
DN
=
DB
，连结
NE
、
NF
，则
DN<
/p>
=
DC
在△
BDE
和△
NDE
中，
DN
=
DB
∠
1
=
∠
2
A
ED
=
ED
N
∴△
BDE
≌△
NDE
E
F
2
3
∴
BE
=
NE
4
1<
/p>
B
C
D
同理可证
：
CF
=
NF
在△
EFN
中，
EN
＋
FN
＞
EF
∴
BE
＋
CF
＞
EF
规律
22.
有以线段中点为端点的线
段时，常加倍延长此线段构造全等三角形
.
例：已知，如图，
AD
为△
ABC
的中线，且∠
1 =
∠
2
，∠
3
=
∠
4
，求证：
BE
＋
CF
＞
EF
证明：延长
ED
到
M
，使
DM
=
DE
，连结
CM<
/p>
、
FM
△
BDE
和△
CDM
中，
BD
=
CD
∠
1 =
∠
5
ED
=
MD
∴△
BDE
≌△
CDM
∴
CM
=
BE
又∵∠
1 =
∠
2
，∠
3
=
∠
4
∠
1
＋∠
2
＋∠
3
＋
∠
4 =
180
o
∴∠
3
＋∠
2 =
90
o
即∠
EDF
=
90
o
A
∴∠
FDM
=
∠
EDF
=
90
o
△
E
DF
和△
MDF
中
E
F
2
3
ED
=
MD
4
1<
/p>
B
5
C
D
∠
FDM
=
∠
EDF
M
DF
=
DF
∴△
EDF
≌△
MDF
∴
EF
=
MF
∵在△
CMF
中，
CF
＋
CM
＞
MF
BE
＋
CF
＞
EF
（此题也可加倍
FD
，证法同上）
规律
23.
在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形
.
例：已知，如图，
AD
为△
ABC
的中线，求证：
AB
＋
AC
＞
2
AD
证明：延长
AD
至
E
，使
DE
=
AD
，连结
BE
∵
AD
为△
ABC
的中线
∴
BD
=
CD
A
在△
ACD
和△
EBD
中
2
BD
=
CD
B<
/p>
1
C
D
∠
1 =
∠
2
E
AD
=
ED
∴△
ACD
≌△
EBD
∵△
ABE
中有
AB
＋
BE
＞
AE
∴
AB
＋
AC
＞
2
< br>AD
规律
24.
截长补短作辅助线的方法
截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；
补短法：延长较短线段和较长线段相等
.
这两种方法统称截长补短法
.
当已知
或求证中涉及到线段
a
、
b
、
c
、
d
有下列情况之一时用此种方法：
①
< br>a
＞
b
②
a
±
b
=
c
③
a
±
b
=
c
±
d
例：已知，如图，在△
ABC
中，
AB
＞
AC
，∠
1 =
∠
2
，
P
为
AD
上任一点
，
求证：
AB
－
AC
＞
PB
－
PC
证明：
⑴截长法：
在
AB
上截取
AN
=
AC
，连结
PN
在△
A
PN
和△
APC
中，
< br>
AN
=
AC
A
∠
1 =
∠
2
1
2
AP
=
AP
P
N<
/p>
∴△
APN
≌△
APC
B
C
D
∴
PC
=
PN
∵△
BPN
中有
PB
－
PC
＜
BN
∴
PB
－
PC
＜
AB
－
AC
⑵补短法：
延长
AC
至
M
，使
AM
=
AB
，连结
PM
在△
ABP<
/p>
和△
AMP
中
B
AB
=
AM
∠
1 =
∠
2
AP
=
AP
∴△
ABP
≌△
AMP
∴
PB
=
PM
又∵在△
PCM
中有
CM
< br>＞
PM
－
PC
< br>
∴
AB
－
AC
＞
PB
－
PC
A
1
2
P
D
C
M
练习
：<
/p>
1.
已知，在△
ABC
< br>中，∠
B
= 60
o
,
AD
、
CE
是△
ABC
的角平分线
,
并且它们交于点
O
求证：
AC
=
AE
＋
CD
2.
已知，如图，
AB
∥
CD
∠
1 =
∠
2 ,
∠
3
=
∠
4.
D
E
求证：
BC
=
AB
＋
CD
A
1
4
2
3
B
C
规律<
/p>
25.
证明两条线段相等的步骤：
①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。
< br>
②若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所
在的三角形全等
.
③如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形
.
例
:
如图，已知，
BE
、
CD
相交于
F
，∠
B
=
∠
C
，∠
1
=
∠
2
，求证：
DF
=
EF
证明：∵∠
ADF
=
∠
B
＋∠
3
∠
AEF
=
∠
C
＋∠
4
又∵∠
3 =
∠
4
∠
B
=
∠
C
∴∠
ADF
=
∠
AEF
在
△
ADF
和△
AEF
< br>中
A
∠
ADF
=
∠
AEF
∠
1 =
∠
2
D<
/p>
E
1
2
AF
=
AF
3<
/p>
4
F
∴△
ADF
≌△
AEF
B
C
∴
DF
=
EF
规律
2
6.
在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相<
/p>
等
.
例：已知，如图
< br>Rt
△
ABC
中，
AB
=
AC
，∠
BAC
= 90
o
，过
A
作任一条直线
AN
，作
BD
⊥
AN
于
D
，
CE
⊥
AN
于
E
，求证：
DE
=
BD
－
CE
证明：∵∠
BAC
=
90
o
,
BD
⊥
AN
∴∠
1
＋∠
2
= 90
o
∠
1
＋∠
3
= 90
o
∴∠
2 =
∠
3
∵
BD
⊥
AN
CE
⊥
AN
∴∠
BDA
=
∠
AEC
=
90
o
在△
ABD
和△
CAE
中，
A
∠
BDA
=
∠
AEC
1
2
D
∠
2
=
∠
3
3
B
C
AB
=
AC
E
∴△
ABD
≌△
CAE
N
∴
BD
=
AE
且
AD
=
CE
∴
AE
－
AD
=
BD
－
CE
∴
DE
=
BD
－
CE
规律
27.
三角形一边的两端点到这边
的中线所在的直线的距离相等
.
例：
AD
为△
ABC
的中线，且
CF
⊥
AD
于
F
，
BE
⊥
AD
的延长线于
E
求证：
BE
=
CF
证明：
（略）
A
F
B
1
2
D
C
E
规律
28
.
条件不足时延长已知边构造三角形
.
例：已知
AC
=
< br>BD
，
AD
⊥
< br>AC
于
A
，
BCBD
于
B
求证：
AD
=
BC
证明：分别延长
DA
、
CB
交于点
E
∵
AD
⊥
AC
BC
⊥
BD
∴∠
CAE
=
∠
DBE
=
90
o
在△
DBE
和△
CAE
中
< br>
∠
DBE
=
∠
CAE
E
BD
=
AC
∠
E
=
∠
E
A<
/p>
B
∴△
DBE
≌
△
CAE
O
∴
ED
=
EC
，
EB
=
EA
C
D
∴
ED
－
E
A
=
EC
－
EB
∴
AD
=
BC
规律
2
9.
连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题
.
例：已知，如图，
AB
∥
CD
，
AD
∥
BC
求证：
AB
=
CD
证明：连结
AC
（或
BD
）
A
∵
AB
∥
CD
，
AD
∥
BC
D
1
3
∴∠
1 =
∠
2
2<
/p>
4
在△
ABC
和
△
CDA
中，
B
C
∠
1 =
∠
2
AC
=
CA
∠
3
=
∠
4
∴△
ABC
≌△
CDA
E
∴
AB
=
CD
C
练习
：已知，如图，
AB
=
DC
，
AD
=
BC
，
DE
=
BF
，
D
求证：
BE
=
DF
B
A
F
规律<
/p>
30.
有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结
为
“
角分垂等腰归
”.
例：已知，如图，在
Rt
△
ABC
中，
AB
=
AC
，∠
BAC
= 90
o
，∠
1 =
∠
2
，
CE
⊥
BD
的延长线
于
E
求证：
BD
=
2
CE
证明：分别延长
BA
、
CE
交于
F
∵
BE
⊥
CF
∴∠
BEF
=
∠
BEC
=
90
o
F
在
△
BEF
和△
BEC
< br>中
A
E
D
B
1
2
C
∠
1 =
∠
2
BE
=
BE
∠
BEF
=
∠
BEC
∴△
BEF
≌△
BEC
∴
CE
=
FE
=
1
CF
2
∵∠
BAC
= 90
o
,
BE
⊥
CF
∴∠
BAC
=
∠
CAF
= 90
o
∠
1
＋∠
BDA
= 90
o
∠
1
＋∠
BFC
=
90
o
∠
BDA
=
∠
BFC
在
△
ABD
和△
ACF
< br>中
∠
BAC
=
∠
CAF
∠
BDA
=
∠
BFC
AB
=
AC
∴△
A
BD
≌△
ACF
∴
BD
=
CF
∴
BD
=
2
CE
练习：已知，如图，∠
ACB
=
3
∠
B
，∠
1
=
∠
2,
CD
⊥
AD
于
D
，
求证：
AB
－
AC
=
2
CD
A
1
2
D
B
C
规律
31.
当证题有困难时，可结合已知条
件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形
.
例：已知，
如图，
AC
、
BD
相交于
O
，且
AB
=
DC
，
AC
=
BD
，
求证：∠
A
=
∠
D
A
D
证明：
（连结
B
C
，过程略）
O
B
规律
32
.
当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件
< br>.
例：已知，如图，
AB
=
DC
，∠
A
=
∠
D
求证：∠
ABC
=
∠
DCB
证明：
分别取
AD
、
BC
中点
N
、
M
，
A
D
连
结
NB
、
NM
、
NC
（过程略）
C
B
规律
33.
有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两
边距离
相等证题
.
例：已知，如图，∠
1
=
∠
2
，
P
为
BN
上一点，且
< br>PD
⊥
BC
于
< br>D
，
AB
＋
BC
=
2
BD
，
求
证：∠
BAP
＋∠
BCP
= 180
o
证明：过
P
作
PE
⊥<
/p>
BA
于
E
C
∵
PD
⊥
BC
，∠<
/p>
1 =
∠
2
∴
PE
=
PD
在
Rt
△
BPE
和
R
t
△
BPD
中
BP
=
BP
E
A<
/p>
N
PE
=
PD
P
∴<
/p>
Rt
△
BPE
≌
Rt
△
BPD
1
2
B
D
C
∴
BE
=
BD
∵<
/p>
AB
＋
BC
=
2
BD
，
BC
=
CD
＋
BD
，
AB
=
BE
－
AE
∴
AE
=
CD
∵
PE
⊥
BE
，
PD
⊥
BC
∠
PEB
=
∠
PDC
=
90
o
在△
PEA
和△
PDC
中
< br>
PE
=
PD
∠
PEB
=
∠
PDC
AE
=
CD
∴△
PEA
≌△
PDC
∴∠
PCB
=
∠
EAP
∵
∠
BAP
＋∠
EAP
< br> = 180
o
∴∠
BAP
＋∠
BCP
=
180
o
练习：
1.
已知，如图，
P
A
、
PC
分别是△
ABC<
/p>
外角∠
MAC
与∠
NCA
的平分线，它们交于
P
，
PD
⊥
BM
于
M
，
PF
⊥
BN
于
F
，求证：
BP
为∠
MB
N
的平分线
M
D
A
P
B
C
F
N
2.
已知，如图，在△
ABC
中，∠
ABC
=100
o
，∠
ACB
= 20
o
，
CE
是∠
ACB
的平分线，
D
是
AC
上一点，若∠
CBD
= 20
o
，求∠
CED
的度数。
B
E
A
C
D
规律
34.
有等腰三角形时常用的辅助线<
/p>
⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线
例：已知，如图，
AB
=
AC
，
BD
⊥
AC
于
D
，
求证：∠
BAC
=
2
∠
DBC
证明：
（方法一）作∠
BAC
的平分线
AE
，交
BC
于
E
，则∠
1 =
∠
2 =
又∵
AB
=
AC
∴
AE
⊥
BC
1
∠
BAC
2
A
1
2
D
B
E
C
∴∠
2
＋∠
ACB
= 90
o
∵
BD
⊥
AC
∴∠
DBC
＋∠
ACB
=
90
o
∴∠
2 =
∠
DBC
∴∠
BAC
=
2
∠
DBC
（方法二）过
A
作
AE
⊥
BC
于
E
< br>（过程略）
（方法三）取
BC
中点
E
，连结
AE
（过程略）
⑵有底边中点时，常作底边中线
例：
已知，如图，△
ABC
中，
AB
=
AC
，
D
为
BC
中点，
DE
⊥
AB
于
E<
/p>
，
DF
⊥
AC<
/p>
于
F
，
求证：
DE
=
DF
证明：连结
AD
.
< br>A
∵
D
为
BC
中点，
∴
BD
=
CD
E
F<
/p>
又∵
AB
=
AC
B
C
D
∴
AD
平分
∠
BAC
∵
DE
⊥
AB
，
DF
⊥
AC
∴
DE
=
DF
⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题
例：已知，如图，△
ABC
中，
AB
=
AC
，在
BA
延长线和
AC
上各取一点
E
、
F
，使
AE
=
AF
，求证
：
EF
⊥
BC
证明：延长
BE
到
N
，使
AN
=
AB
,
连结
CN
,
则
AB
=
AN
=
AC
∴∠
B
=
∠
ACB
,
∠
ACN
=
∠
ANC
N
∵∠
B
＋∠
A
CB
＋∠
ACN
＋∠
< br>ANC
= 180
o
E
∴
2
∠
BCA
＋
2
∠
ACN
= 180
o
A
∴∠
BCA
＋∠
ACN
=
90
o
F
即∠
BCN
= 90
o
B
C
∴
NC
⊥
BC
∵
AE
=
AF
∴∠
AEF
=
∠
AFE
又∵∠
BAC
=
∠
AEF
＋∠
AFE
∠
BAC
=
∠
ACN
＋∠
ANC
∴∠
BAC
=2
∠
AEF
=
2
∠
ANC
∴∠
AEF
=
∠
ANC
∴
EF
∥
NC
∴
EF
⊥
BC
⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线
例：已知，如图，在△
ABC
中，
AB
=
AC
，
D
在
AB
上，
E
在
AC
延长线上，且
BD
=
CE
，连
结
DE
交
BC
于
F
求证：
DF
=
EF
证明：
（证法一）过
D
作
DN
∥
AE
，交
BC
于
N
，则∠
DNB
=
∠
ACB
，∠<
/p>
NDE
=
∠
E
，
∵
AB
=
AC
，
∴∠
B
=
∠
ACB
∴∠
B
=
∠
DNB
A
A
∴
BD
=
DN
D
B
1
2
D
C<
/p>
E
B
1
2
C
E
N
F
F
M
又∵
BD
=
CE
∴
DN
=
EC
在△
D
NF
和△
ECF
中
∠
1 =
∠
2
∠
NDF
=
∠
E
DN
=
EC
∴△
DNF
≌△
ECF
∴
DF
=
EF
（证法二）过
< br>E
作
EM
∥
AB
交
BC
延长线于
M
,
则∠
EMB
=
∠
B
（过程略）
⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线
例：已知，如图，△
ABC
中，
AB
=
AC
，
E
在
AC
上，
D
在
BA
延长线上
，且
AD
=
AE
< br>，连
结
DE
< br>N
D
求证：
DE
⊥
BC
A
< br>M
证明：
（证法一）
过点
E
作
EF
∥
BC
交
AB
于
F
，
则
E
F
∠
AFE
=
∠
B
B
C
∠
AEF
=
∠
C
∵
AB
=
AC
∴∠
B
=
∠
C
∴∠
AFE
=
∠
AEF
∵
AD
=
AE
∴∠
AED
=
∠
ADE
又∵∠
AFE
＋∠
AEF
＋∠
AED
＋∠
ADE
=
180
o
∴
2
∠
AEF
＋
2
∠
AED
=
90
o
即∠
FED
=
90
o
∴
DE
⊥
FE
又∵
EF
∥
BC
∴
DE
⊥
BC
（证
法二）过点
D
作
DN
< br>∥
BC
交
CA
< br>的延长线于
N
，
（过程略）
（证法三）过点
A
作
AM
∥
BC
交
DE
于
M
，
（过程略）
⑹常将等腰三角形转化
成特殊的等腰三角形
------
等边三角形
< br>
例：已知，如图，△
ABC
中
，
AB
=
AC
，∠
BAC
= 80
o
,
P
为形内一点，若∠
PBC
= 10
o
∠
PCB
= 30
o
求∠
P
AB
的度数
< br>.
解法一：以
AB
为一边作等
边三角形，连结
CE
则∠
BAE
=
∠
ABE
=
60
o
AE
=
AB
=
BE
∵
AB
=
AC
∴
AE
=
AC
∠
ABC
=
∠
ACB
∴∠
AEC
=
∠
ACE
∵∠
EAC
=
∠
BAC
－∠
BAE
= 80
o
－
60
o
=
20
o
1
∴∠
ACE
=
(180
o
－∠
< br>EAC
)= 80
o
2
B
A
P
C
E
∵∠
ACB
=
1
(180
o
－∠
< br>BAC
)= 50
o
2
∴∠
BCE
=
∠
ACE
－∠
ACB
= 80
o
－
50
o
=
30
o
∵∠
PCB
=
30
o
∴∠
PCB
=
∠
BCE
∵∠
ABC
=
∠
ACB
=
50
o
,
∠
ABE
=
60
o
∴∠
EBC
=
∠
ABE
－∠
ABC
= 60
o
－
50
o
=10
o
∵∠
PBC
=
10
o
∴∠
PBC
=
∠
EBC
在
△
PBC
和△
EBC
< br>中
∠
PBC
=
∠
EBC
BC
=
BC
∠
PCB
=
∠
BCE
∴
△
PBC
≌△
EBC
< br>
∴
BP
=
BE
∵
AB
=
BE
∴
AB
=
BP
∴∠
BAP
=
∠
BP
A
∵∠
ABP
=
∠
ABC
－∠
PBC
= 50
o
－
10
o
= 40
o
∴∠
P
AB
=
1
(180
o
－∠
ABP
)=
70
o
2
解
法二：以
AC
为一边作等边三角形，证法同一。
解法三：以
BC
为一边作等
边三角形△
BCE
，连结
AE
,
则
EB
=
EC
=
BC
，∠
BEC
=
∠
EBC
=
60
o
∵
EB
=
EC
∴
E<
/p>
在
BC
的中垂线上
同理
A
在
BC
的中垂线上
∴
< br>EA
所在的直线是
BC
的中垂线
∴
EA
⊥<
/p>
BC
E
A
1
∠
AEB
=
∠
BEC
=
30
o
=
∠
PCB
2
B
P
C
由解法一知：∠
ABC
=
50
o
∴∠
ABE
=
∠
EBC
－∠
ABC
= 10
o
=
∠
PBC
∵∠
ABE
=
∠
PBC
,
BE
=
BC
,
∠
< br>AEB
=
∠
PCB
∴△
ABE
≌△
PBC
∴
AB
=
BP
∴∠
BAP
=
∠
BP
A
∵∠
ABP
=
∠
ABC
－∠
PBC
= 50
o
－
10
o
= 40
o
∴∠
P
AB
=
1
1
(180
o
－∠
ABP
) =
(180
o
－
40
o
)= 70
o
2
2
规律<
/p>
35.
有二倍角时常用的辅助线
⑴构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角
例：已知，如图，在△
ABC
中，∠
1 =
∠
2
，∠
ABC
=
2
∠
C
，
<
/p>
求证：
AB
＋
B
D
=
AC
证明：延长
AB
到
E
，使
BE
=
BD
，连结
DE
则∠
BED
=
∠
BDE
∵∠
ABD
=
∠
E
＋∠
BDE
∴∠
ABC
=2
∠
E
∵∠
ABC
=
2
∠
C
A
∴∠
E
=
∠
C
1
2
在△
AED<
/p>
和△
ACD
中
∠
E
=
∠
C
B
C
D
∠
1 =
∠
2
E
AD
=
AD
∴△
AED
≌△
ACD
∴
AC
=
AE
∵
AE
=
AB
＋
BE
∴
AC
=
AB
＋
BE
即
AB
＋
BD
=
AC
⑵平分二倍角
例：已知，如图，在△
ABC
中，
BD
⊥
AC
于
D
，∠
BAC
=
2
∠
DBC
求证：∠
ABC
=
∠
ACB
证
明：作∠
BAC
的平分线
AE
交
BC
于
E
，则∠
BAE
=
∠
CAE
=
∠
DBC
∵
BD
⊥
AC
∴∠
CBD
＋∠
C
=
90
o
A
∴
∠
CAE
＋∠
C
= 90
o
∵∠
AEC
= 180
o
－∠
CAE
－∠
C
= 90
o
D
∴
AE
⊥
BC
∴∠
ABC
＋∠
BAE
=
90
o
B
E
∵∠
CAE
＋∠
C
= 90
o
∠
BAE
=
∠
CAE
∴∠
ABC
=
∠
ACB
⑶加倍小角
例：已知，如图，在△<
/p>
ABC
中，
BD
⊥
AC
于
D
，
∠
BAC
=
2
∠
DBC
求证：∠
ABC
=
∠
ACB
证明：作∠
FBD
=
∠
DBC
,
BF
交
AC
于
F
（过程略）
A
F
D
B
C
规律
36.
有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来
.
C
例：已
知，如图，△
ABC
中，
AB
=
AC
，∠
BAC
= 120
o
，
EF
为
AB
的垂直平分线，
EF
交
BC
于
F
，交
AB
于
E
求证：
BF
=
1
FC
2
证明：连结
AF
，则
< br>AF
=
BF
∴∠
B
=
∠
F
AB
∵
AB
=
AC
∴∠
B
=
∠
C
∵∠
BAC
=
120
o
∴∠
B
=
∠
C
∠
BAC
=
1
(180
o
－∠
BAC
) =
30
o
2
B
A
E
F
C
∴∠
F
AB
=
30
o
∴∠
F
AC
=
∠
BAC
－∠
F
AB
= 120
o
－
30
o
=90
o
又∵∠
C
=
30
o
∴
AF
=
1
FC
2
1
FC
2
∴
BF
=
练习：已知，如图，在△
ABC
中，∠
CAB
的平分线
AD
< br>与
BC
的垂直平分线
DE
交于点
D
，
DM
⊥
AB
于
M
，
DN
⊥
AC
延长线于
N
求证：
BM
=
CN
A
M
E
C
B
N
D
规律
37.
有垂直时常构造垂直平分线
.
例：已
知，如图，在△
ABC
中，∠
B
=2
∠
C
，
AD
⊥
BC
于
D
求证：
CD
=
AB
＋
BD
证明：
（一）在
CD
< br>上截取
DE
=
DB
，连结
AE
，则
AB<
/p>
=
AE
∴∠
B
=
∠
AEB
∵∠
B
=
2
∠
C
∴∠
AEB
=
2
∠
C
又∵∠
AEB
=
< br>∠
C
＋∠
EAC
C
∴∠
C
=
∠
EAC
∴
AE
=
CE
又∵
CD
=
DE
＋
CE
∴
CD
=
BD
＋
AB
C
A
E
D
B
A
D
B
F
（二）延长
CB
到
F
，使
DF
=
DC
，连结
AF
则
AF
=
AC
（过程略）
< br>规律
38.
有中点时常构造垂直平分线
< br>.
例：已知，如图，在△
ABC
中，
BC
=
2
AB
,
∠
ABC
= 2
∠
C
,
BD
=
CD
求证：△
ABC
为直角三角形
证明
：过
D
作
DE
⊥
BC
，交
AC
于
E
，连结
BE
，则
BE
=
CE
，
∴∠
C
=
∠
EBC
∵∠
ABC
=
2
∠
C
∴∠
ABE
=
∠
EBC
∵
BC
=
2
AB
，
BD
=
CD
A
∴
BD
=
AB
E
在△
ABE
和△
DBE
中
AB
=
BD
∠
ABE
=
∠
EBC
C
B
D
BE
=
BE
∴△
ABE
≌△
DBE
∴∠
BAE
=
∠
BDE
∵∠
BDE
=
90
o
∴∠
BAE
=
90
o
即△
ABC
为直角三角形
规律
39.
当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题
.
例：已知，如图，在△
ABC
中，∠
A
= 90
o
，
DE
为
BC
的垂直平分线
求证：
BE
2
－
AE
2
=
AC
2
证明
：连结
CE
，则
BE
< br> =
CE
A
∵∠
A
=
90
o
E
2
2
2
∴
AE
＋
AC
=
EC
B
C<
/p>
∴
AE
2
＋
AC
2
=
BE
2
D<
/p>
∴
BE
2
－
AE
2
=
AC
2
<
/p>
练习：已知，如图，在△
ABC
中，∠<
/p>
BAC
=
90
o
，
AB
=
AC
，
P
为
BC
上一点
求证：
PB
2
＋
PC
2
=
2
P
A
2
A
B
P
规律<
/p>
40.
条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中
.
C
例：已知
，如图，在△
ABC
中，∠
B
=
45
o
，∠
C
=
30
o
，
AB
=
2
，求
AC
的长
.
解：过
A
作
AD
⊥
BC
于
D
∴∠
B
＋∠
BAD
= 90
o
，
∵∠
B
=
45
o
，∠
B
=
∠
BAD
=
45
o
，
∴
AD
=
BD
A
∵<
/p>
AB
2
=
A
D
2
＋
BD
2
，
AB
=
2
B
∴
AD
=
1
∵∠
C
= 30
o
，
AD
⊥
< br>BC
D
C
∴
AC
=
2
AD
= 2
四边形部分
规律
41.
平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半
.
例：已知
,
□ABCD
的周长为
60
cm
，对角
线
AC
、
BD
相交于点
O
，△
AOB
的周长比△
BOC
的
周长多<
/p>
8
cm
，求这个四边形各边长
.
解：∵四边形
ABCD
为平行四边形
∴
AB
=
CD
，
AD
=
CB
，
AO
=
CO
∵
AB
＋
CD
＋
DA
＋
CB
= 60
AO
＋
AB
＋
OB
－
(
OB
＋
BC
＋
OC
) = 8
∴
AB
＋
BC
= 30
，
AB
－
BC
=8
∴
AB
=
CD
=
19
，
BC
=
AD
= 11
答：这个四边形各边
长分别为
19
cm
、
< br>11
cm
、
19
cm
、
11
cm
.
规律
42.
平行四边形
被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差
.
（例题如上）
规律
< br>43.
有平行线时常作平行线构造平行四边形
例：已知，如图，
Rt
△
ABC
，∠
ACB
= 90
o
，
CD
⊥
AB
于
D
，
AE
平分∠
CAB
交
CD
于
F
，过
F
作
FH
∥
AB
交
BC
于
H
求证：
CE
=
BH
C
5<
/p>
证明：
过
F
作<
/p>
FP
∥
BC
交<
/p>
AB
于
P
，
则四边形
FPBH
3
E
为平行四边形
F
4
H
∴∠
B
< br> =
∠
FP
A
< br>，
BH
=
FP
1
2<
/p>
o
A
B
∵∠
ACB
= 90
，
CD
⊥
AB
D
P
∴∠<
/p>
5
＋∠
CAB
= 45
o
，∠
B
＋∠
CAB
=
90
o
∴∠
5
=
∠
B
∴∠
5
=
∠
FP
A
又∵∠
1 =
∠
2
，
AF
=
AF
∴△
C
AF
≌△
P
AF
∴
CF
=
FP
∵∠
4
=
∠
1
＋∠
5
，∠
3 =
∠
2
＋∠
B
∴∠
3
=
∠
4
∴
CF
=
CE
∴
CE
=
BH
练习：已知，如图，
AB
∥
EF
∥
GH
，
BE
=
GC
求证：
AB
=
EF
＋
GH
A
F
H
B
C
E
G
规律
44.
有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段
.
例：已知，如图，在
□ABCD
中，
AB
= 2
BC
，
M
为
A
B
中点
求证：
CM
⊥
DM
证明：延长
DM
、
CB
交于
N
∵四边形
ABCD
为平行四边形
∴
AD
=
BC
，
AD
∥
BC
∴∠
A
=
∠
NBA
∠
ADN
=
∠
N
D
C
又∵
AM
=
BM
2<
/p>
∴△
AMD
≌△
BMN
1
A
B
M
3
∴
AD
=
BN
∴
BN
=
BC
N
∵
AB
=
2
BC
，
AM
=
BM
∴
BM
=
BC
=
BN
∴∠
1
=
∠
2
，∠
3
=
∠
N
∵∠
1
＋∠
2
＋∠
3
＋∠
N
=
180
o
，
∴∠
1
＋∠
3
= 90
o
∴
CM
⊥
DM
规律
45.
平行四边形对角线的交点到一组对边距离相等
.
如图：
OE
=
OF
E
A
D
O
B
F
C
规律
46.
平行四边形一边（或这边所在的
直线）上的任意一点与对边的两个端点的连线所构
成的三角形的面积等于平行四边形面积
的一半
.
如图：
S
< br>△
BEC
=
1
S
□A
BCD
2
A
E
D
B
C
规律
47.
平行四边形内任意一点与四个顶点的连线所构成的四个三角形中，不相邻的两个三
角形的
面积之和等于平行四边形面积的一半
.
1
如图：
S
△
AOB
＋
S
△
DOC
=
S
△
BO
C
＋
S
△
AO
D
=
S
□ABCD
2
B
A
O
D
C
规律
48.
任意一点与同一平面内的矩形各
点的连线中，不相邻的两条线段的平方和相等
.
如图：
AO
2
＋
OC
2
=
BO
2
＋
DO
2
O
A
D
A
D
O
B
C
B
C
规律
49
.
平行四边形四个内角平分线所围成的四边形为矩形
.
如图：四边形
GHMN
是矩形
A
D
N
G
M
H
B
C
（规律
45
～规
律
49
请同学们自己证明）
规律
50.
有垂直时可作垂线构造矩形或平行线
.
例：已知，如图，
E
为矩形
ABCD
的边
AD
上一点，且
BE
=
ED
，
P
为对角线
BD
上一点，
P
F
⊥
BE
于
F
，
PG
⊥
AD
于
G
求证：
PF
＋
PG
=
AB
证明：证法一：过
P
作
PH
⊥
AB
于
H
，则四边形
AHPG
为矩形
∴
AH
=
GP
PH
∥
AD
∴∠
ADB
=
∠
HPB
E
G
D
A
∵<
/p>
BE
=
DE
F
∴∠
EBD
=
∠
ADB
H
P
∴∠
HPB
=
∠
EBD
< br>B
C
N
o
又∵∠
PFB
=
∠
BHP
=
90
∴△
PFB
≌△
BHP
∴
HB
=
FP
∴
AH
＋
HB
=
PG
＋
PF
即
AB
=
PG
＋
PF
证法二：延长
GP
交
< br>BC
于
N
，则四边形
ABNG
为矩形，
（证明略）
规律
51.
直角三角形常用辅助
线方法：
⑴作斜边上的高
例：已知，如图
,
若从矩形
ABCD
的顶点
C
作对角线
BD
的垂线与∠
BAD
的平分线交于点
E
求证：
AC
=
CE
证明：过
A
作
AF
⊥
BD
，垂足为
F
，则
< br>AF
∥
EG
< br>D
A
G
∴∠
F
AE
=
∠
AEG
O
∵四边形
ABCD
为矩形
F
B
C
< br>∴∠
BAD
=
90
o
OA
=
OD
∴∠
BDA
=
∠
CAD
∵
AF
⊥
BD
90
o
∴∠
ABD
＋∠
ADB
=
∠
ABD
< br>＋∠
BAF
=
E
∴∠
BAF
=
∠
ADB
=
∠
CAD
∵
AE
为∠
B
AD
的平分线
∴∠
BAE
=
∠
DAE
∴∠
BAE
－∠
BAF
=
∠
DAE
－∠
DAC
即∠
F
AE
=
∠
CAE
∴∠
CAE
=
∠
AEG
∴
AC
=
EC
⑵作斜边中线，当有下列情况时常作斜边中线：
①有斜边中点时
例：已知，如图，<
/p>
AD
、
BE
是△
ABC
的高，
F
是
DE
的中点，
< br>G
是
AB
的中点
求证：
GF
⊥
DE
证明：连结
GE
、
GD
∵
AD
、
BE
是△
ABC
的高，
G
是
AB
的中点
∴
GE
=
A
E
F
D
1<
/p>
1
AB
，
GD<
/p>
=
AB
2
2
B
G
C
∴
GE
=
GD
∵
F<
/p>
是
DE
的中点
∴
GF
⊥
DE
②有和斜边倍分关系的线段时
例：已知，如图，在△
ABC
中，
D
是
BC
延长线上一点
，且
DA
⊥
BA
于
A
，
AC
=
求证：∠
ACB
=
2
∠
B
证明
：取
BD
中点
E
，连结
AE
，则
AE
=
BE
=
∴∠
1
=
∠
B
∵
AC
=
1
BD
2
1
BD
2
1
BD
<
/p>
2
A
1
∴
AC
=
AE
<
/p>
2
B
D
C
∴∠
ACB
=
∠
2
E
∵∠
2
=
∠
1
＋∠
B
∴∠
2 =
2
∠
B
∴∠
ACB
=
2
∠
B
规律
52.
正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相
等
.
例：已知，如图，过正方形
AB
CD
对角线
BD
上一点
P
，作
PE
⊥
BC
于
E
，作
PF
⊥
CD
于
F
求证：
AP
=
EF
证明
:<
/p>
连结
AC
、
PC
∵四
边形
ABCD
为正方形
∴
BD
垂直平分
AC
，∠
BCD
=
90
o
D
A
∴
AP
=
CP
∵
PE
⊥
BC
，
PF
⊥
CD
，∠
B
CD
= 90
o
< br>∴四边形
PECF
为矩形
F
P
∴
PC
=
EF
C
B
E
∴
AP
=
EF
规律
53.
有正方形一边中点时常取另一边
中点
.
例：已知
,
< br>如图，正方形
ABCD
中，
M<
/p>
为
AB
的中点，
MN
⊥
MD
，
BN
平分∠
CBE
并交
MN
于
N
求证：
MD
=
MN
证明：取
AD
的中点
P
，连结
PM
，则
DP
=
P
A
=
1
AD
2
∵四边形
ABCD
为正方形
∴
AD
=
AB
,
∠
A
=
∠
ABC
=
90
o
∴∠
1
＋∠
AMD
= 90
o
，又
DM
⊥
MN
∴∠
2
＋∠
AMD
=
90
o
∴∠
1
=
∠
2
∵
M
为
AB
中点
D
1
C
N
M
2
P
A
B
1
∴
AM
=
MB
=
AB
2
E
∴
DP
=
MB
AP
=
AM
∴∠
APM
=
∠
AMP
=
45
o
∴∠
DPM
=135
o
∵
BN
平分∠
CBE
∴∠
CBN
=
45
o
∴∠
MBN
=
∠
MBC
＋∠
CBN
= 90
o
＋
45
o
= 135
o
即∠
DPM
=
∠
MBN
∴△
DPM
≌△
MBN
∴
DM
=
MN
注意：
把
M
改为
AB
上任一点，其它条件不变，结论仍然成立。
练习：已知，
Q
为正方形
ABCD
的
CD
边的中点，
P
为
CQ
上一点，且
AP
=
PC
＋
BC
求证：∠
BAP
=
2
∠
QAD
Q
P
D
C
A
B
规律<
/p>
54.
利用正方形进行旋转变换
旋转变
换就是当图形具有邻边相等这一特征时，可以把图形的某部分绕相等邻边的
公共端点旋转
到另一位置的引辅助线方法
.
旋转变换主要用途是把分散元素通过旋转集中起来，从而为证
题创造必要的条件
.
旋转变换经常用于等腰三角形、等边三角形及正方形中
.
例：已知，如图，在△
ABC
中，
AB
=
AC
，∠<
/p>
BAC
= 90
o
，
D
为
BC
边上任一点
求证：
2
AD
2
=
BD
2
＋
CD
2
证明：把△
ABD
绕点
A
逆时针旋转
90
o
得△
ACE
∴
BD
=
CE
∠
B
=
∠
ACE
∵∠
BAC
=
90
o
A
∴∠
DAE
= 90
o
E
∴
DE
2
=
AD
2
＋
AE
2
=
2
AD
2
∵
∠
B
＋∠
ACB
= 90
o
B
< br>C
D
o
∴∠
DCE
=
90
∴
CD
2
＋
CE
2
=
DE
2
∴
2
AD
2
=
BD
2
＋
CD
2
注
意：把△
ADC
绕点
A
顺时针旋转
90
o
也可，方法同上。
练习：已知，如图
，在正方形
ABCD
中，
E
为
AD
上一点，
BF
平分∠
CBE
交
C
D
于
F
求证：
BE
=
CF
＋
AE
E
D
A
F
B
C
规律
55.
有以正方形一边中点为端点的线段时，常把这条线段延长，构造全等三角形
.
例：如图，在正方形
ABCD
中，
E
、
F
分别是
CD
、
DA
的中点，
BE
与
CF
交于
P
点
求证：
AP
=
AB
证明
：延长
CF
交
BA
的延长线于
K
∵四边形
ABCD
为正方形
∴
BC
=
AB
=
CD
=
DA
∠
BCD
=
∠
D
=
∠
BAD
=
90
o
∵
E
、
F
分别是
CD
、
DA
的
中点
∴
CE
=
1
1
CD
DF
=
AF
=
AD
2
2<
/p>
C
E
D
P
∴
CE
=
DF
1
F<
/p>
2
∴△
BCE
≌
△
CDF
K
∴∠
CBE
=
∠
DCF
B
A
∵∠<
/p>
BCF
＋∠
DCF
= 90
o
< br>∴∠
BCF
＋∠
CBE
= 90
o
∴
BE
⊥
CF
又∵∠
D
=
∠
DAK
=
90
o
DF
=
AF
∠
1 =
∠
2
∴△
CDF
≌△
KAF
∴
CD
=
KA
∴
BA
=
KA
又∵
B
E
⊥
CF
∴
AP
=
AB
练习：如图，在正方形
ABCD
中，
Q
在
CD
上，且
DQ
=
QC
，
P
在
BC
上，且
AP
=
CD
＋
CP
求证：
AQ
平分∠
DAP
D
A
Q
B
P
C
规律
56
.
从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形
.
例：已知，如图，等腰梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，
AD
=
3
，
AB
=
4
，
BC
= 7
求∠
B
的度数
解：过
A
作
A
E
∥
CD
交
B
C
于
E
，则四边形
AECD
为平行四边形
∴
AD
=
EC
，
CD
=
AE
A
D<
/p>
∵
AB
=
CD
= 4,
AD
= 3,
BC
= 7
∴
BE
=
AE
=
AB
= 4
B
C
∴△
ABE
为等边三角形
E
∴∠
B
=
60
o
规
律
57.
从梯形同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形
转化成一个矩形和两个三角
形
.
例：
已知，如图，在梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，
AB
=
AC
，
∠
BAC
=
90
o
，
BD
=
BC
，
BD
交
AC
于
O
求证：
CO
=
CD
证明：过
A
、
D
分别作
AE
⊥
BC
，
DF
⊥
BC
，垂足分别为
E
、
F
则四边形
AEFD
为矩形
∴
AE
=
DF
∵
AB
=
AC
，
AE
⊥
BC
，∠
BAC
=
90
o
，
∴
AE
=
BE
=
CE
=
∵
BC
=
BD
∴
AE
=
DF
=
1
BC
，∠
ACB
=
45
o
2
1
BD
<
/p>
2
B
A
O
D
又∵
DF
⊥
BC
∴∠
DBC
=
30
o
∵
BD
=
BC
∴∠
BDC
=
∠
BCD
=
E
F
C
1
(180
o
－∠
DBC
)
2
= 75
o
∵∠
DOC
=
∠
DBC
＋∠
ACB
= 30
o
＋
45
o
= 75
o
∴∠
BDC
=
∠
DOC
∴
CO
=
CD
规律
5
8.
从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形
.
例：已知，如图，等腰梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC<
/p>
，
AC
⊥
BD<
/p>
，
AD
＋
BC<
/p>
= 10
，
DE
⊥
BC
于
E
求
DE
的长
.
解：过
D
作
D
F
∥
AC
，交
BC
的延长线于
F
，则四边形
ACFD
为平行四边形
∴
AC
=
DF
，
AD
=
CF
D
A<
/p>
∵四边形
ABCD
为等腰梯形
∴
AC
=
DB
∴
BD
=
FD
B
F<
/p>
C
E
∵
DE
⊥
BC
∴
BE
=
EF
=
1
BF
2
=
1
1
(
BC
＋
CF
) =
(
BC
＋
AD
)
2
2
1<
/p>
×
10 = 5
2
=
∵
AC
∥
DF
，
BD
⊥
AC
∴
BD
⊥
DF
∵
BE
=
FE
∴
DE
=
BE
=
EF
=
1
BF
= 5
2
答：
DE
的长为
5.
规律
59.
延长梯形两
腰使它们交于一点，把梯形转化成三角形
.
例：已知，如图，
在四边形
ABCD
中，有
AB
=
DC
，∠
B
=
∠
C
，
AD
＜
BC
求证
：四边形
ABCD
等腰梯形
证明：延长
BA
、
CD
，它们交于点
E
∵∠
B
=
∠
C
∴
EB
=
EC
E
又∵
AB
=
DC
A
D
∴
AE
=
DE
∴∠
EAD
=
∠
EDA
B
∵∠
E
＋∠
EAD
＋∠
EDA
=
180
o
C
o
∠
B
＋∠<
/p>
C
＋∠
E
=
180
∴∠
EAD
=
∠
B
∴<
/p>
AD
∥
BC
<
/p>
∵
AD
≠
BC<
/p>
，∠
B
=
∠
C
∴四
边形
ABCD
等腰梯形
（此题还可以过一顶点作
AB
或
CD
的平行线；也可以过
A
、
D
作
BC
的垂线）
规律
60.
有梯形一腰中点时，常过此中点作另一腰的平行线，把梯形转化成平行四边形
.
例：已知
,
如图，梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，
E
为
< br>CD
中点，
EF
⊥
AB
于
F
求证：
S
梯形
ABCD
=
EF
·
AB
证明：过
E
作
MN
∥
AB
，交
AD
的延长线于
M
，交
BC
于
N
，则四边形
ABNM
为平行四
边形
A
D
M
F
∵
EF
⊥
AB
1
E
2
∴
S
□ABNM
=
AB
·
EF
B
C
N
∵
AD
∥
BC
∴∠
M
=
∠
MNC
又∵
DE
=
CE
∠
1 =
∠
2
∴△
CEN
≌△
DEM
∴
S
△
CEN
=
S
△
DEM
∴
S
梯形
AB
CD
=
S
五边形
< br>ABNED
＋
S
△
CEN
=
S
五边形
ABNED
＋
S
△
DEM
= <
/p>
S
梯形
ABCD
=
EF
·
AB
规律
61.
有梯形一腰中点时，也常
把一底的端点与中点连结并延长与另一底的延长线相交，
把梯形转换成三角形
.
例：已知
,
如图，直
角梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，
AB
⊥
AD
于
A
，
DE
=
EC
=
BC
求证：∠
AEC
=
3
∠
DAE
证明：连结
BE
并延长交
AD
的延长线于
N
∵
AD
∥
BC
∴∠
3
=
∠
N
又∵∠
1
=
∠
2
ED
=
EC
∴△
D
EN
≌△
CEB
∴
BE
=
EN
DN
=
BC
D
N<
/p>
A
∵
AB
⊥
AD
∴
AE
=
EN
=
BE
1
E<
/p>
2
∴∠
N
=
∠
DAE
∴∠
AEB
=
∠
N
＋∠
DAE
= 2
∠
DAE
B
3
C
∵
< br>DE
=
BC
BC
=
DN
∴
DE
=
DN
∴∠
N
=
∠
1
∵∠
1
=
∠
2
∠
N
=
∠
DAE
∴∠
2
=
∠
DAE
∴∠
AEB
＋∠
2 = 2
∠
DAE
＋∠
DAE
即∠
AEC
=
3
∠
DAE
规律
62.
梯形有底的中点时，常过中点做两腰的平行线
.
例：
已知
,
如图，
梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，
AD
＜
BC
，
E
、
F
分别是
AD
、
BC
的中点，
且
EF
⊥
BC
求证：∠
B
=
∠
C
证明
：过
E
作
EM
∥
AB
,
EN
∥
CD
,
交
BC
于
M
、
N
，则得
□A
BME
，
□NCDE
∴
AE
=
BM
，
AB
∥
=
EM
，
DE
=
CN
，
CD
=
NE
∵
AE
=
DE
∴
BM
=
CN
A
E<
/p>
D
又∵
BF
=
CF
∴
FM
=
FN
1
2<
/p>
B
C
又∵
EF<
/p>
⊥
BC
M
N
F
∴
EM
=
EN
∴∠
1
=
∠
2
∵
A
B
∥
EM
，
CD
∥
EN
∴∠
1
=
∠
B
∠
2
=
∠
C
∴∠
B
=
∠
C
规律
63.
任意四边形的对角线互相
垂直时，它们的面积都等于对角线乘积的一半
.
例：
已知
,
如图，
梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，
AC
与
BD
交于
O
，
且
AC
⊥
B
D
，
AC
=
4
，
BD
= 3.4,
求梯形
ABCD
的面积
.
解：∵
AC
⊥
BD
∴
S
△
ABD
=
1
AO
·
BD
2
S
△
BCD
=
1
CO
·
BD
2
A<
/p>
O
B
D
∴
S
梯形
ABCD
=
S
△
ABD
＋
S
△
BCD
1
1
=
AO
·
BD
＋
CO
·
BD
2
2
C
=
1
(
AO
＋
CO
)·<
/p>
BD
2
1
1
AC
·
BD
=
×
4×
3.4
2
2
即
S
梯
形
ABCD
=
=6.8
答：梯形
ABCD
面积为
6.8.
规律
64.
有线段中点时，常过中点作平行线，利用平行线等分线段定理的推论证题
.
例
:
已知：△
ABC
中，
D
为<
/p>
AB
中点，
E
为
BC
的三等分点，
（
< br>BE
＞
CE
）
< br>AE
、
CD
交于点
F
求证：
F
为
CD
的中点
证明：过
D
作
DN
∥
AE
交
BC
于
N
∵
D
为
AB
中点
A
∴
BN
=
EN
D
又∵
E
为
BC
的三
等分点
F
∴
BN
=
EN
=
CE
B
C<
/p>
E
N
∵
DN
∥
AE
∴
F
为
CD
的中点
规律
65.<
/p>
有下列情况时常作三角形中位线
.
⑴有一边中点；
⑵有线段倍分关系；
⑶有两边（或两边以上）中点
.
例：
如图，
AE
为正方形
ABCD
中∠
BAC
的平分线，
AE
分别交
BD
、
BC
于
F
、
E
，
AC
、
BD
相交于
O
1
求证：
OF
=
CE
2
证
明：取
AE
的中点
N
< br>，连结
ON
,
则
ON
为△
ACE
的中位线
∴
ON
∥
CE
，
ON
=
A
1
2
D
N
5
O
F
6
4
3
B
< br>E
C
1
CE
2
∴∠
6
=
∠
ONE
∵四边形
ABCD
为正方形
∴∠
3
=
∠
4 =
45
o
∴∠
5 =
∠
3
＋∠
1,
∠
6
=
∠
4
＋∠
2
∵∠
1
=
∠
2
∴∠
5
=
∠
6
∵∠
6
=
∠
ONE
∴∠
ONE
=
∠
5
∴
ON
=
OF
∴
OF
=
1
CE
2
规律
66.
有下列情况时常构造梯形中
位线
⑴有一腰中点
⑵有两腰中点
⑶涉及梯形上、下底和
例
1
：已知
,
如图，梯形<
/p>
ABCD
中，
AD
∥
BC
，∠
DAB
< br> = 90
o
,
E
为
CD
的中点，连结
AE
、
BE
求证：
AE
=
BE
证明：取
AB
的中点
F
，连结
< br>EF
，则
D
< br>EF
∥
AD
A
∴∠
DAB
=
∠
EFB
=90
o
E
F
∴
EF
⊥
A
B
∴
EF
为
AB
的中垂线
C
B
∴
AE
=
BE
例
2<
/p>
：从
□ABCD
的顶点
< br>ABCD
向形外的任意直线
MN
引垂线
AA
’
、
BB
’
、
CC
’
、
DD
’
，垂足
分别为
A
’
、
B
’
、
C
’
、
D
’<
/p>
求证：
AA
’
＋
CC
’ =
BB
’
＋
DD
’
证明：连结
AC
、
BD
，它们交于点
O
，过
O
作
OE
⊥
MN
于
E
，则
AA
’
∥
OE
∥
CC
’
∵四边形
ABCD
为
平行四边形
D
A
∴
AO
=
CO
O
C<
/p>
∴
A
’
E
=
C
’
E
B
∴
AA<
/p>
’
＋
CC
’ =
2
OE
M
B
'
A'
E
C
'
D'
N
同理可证：
BB
’
＋
DD
’ = 2
OE
∴
AA
’
＋
CC
’ =
BB
’
＋
DD
’
规律
67.
连结任意四边形各边中点所得的四边形
为平行四边形
.
规律
68.
连结对角线相等的四边形中点所得的四边形为菱形
.
< br>规律
69.
连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的
四边形为矩形
.
规律
70.
连结对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形为正方形
.
规律
71.
连结平行四边形、矩形、菱
形、正方形、等腰梯形各边中点所得的四边形分别为平
行四边形、菱形、矩形、正方形、
菱形
.
规律
72.
< br>等腰梯形的对角线互相垂直时，梯形的高等于两底和的一半（或中位线的长）
.
以上各规律请同学们自己证明
.
（利用
中位线证明）
规律
73.
等腰梯形的对角线与底构成的两个三角形为等腰三角形
.
例：已知，如图，等腰梯形
ABCD
中，
AB
∥
CD
，
AB
＞
CD
，
AD
=
BC
，对角线
AC
、
BD
相
交于
O
，∠
AOB
=
60
o
，且
E
、
F
、
M<
/p>
分别为
OD
、
O
A
、
BC
的中点
求证：△
MEF
是等边三角形
证明：连结
BF
、
CE
D
C
∵四边形
ABCD
为等腰梯形
E
∴
AD
=
BC
，
AC
=
BD
O
M
又∵
AB
为公共边
< br>
F
∴△
ABD
≌△
BAC
A
B
∴∠
CAB
=
∠
DBA
∴
OA
=
OB
∵∠
AOB
=
60
o
∴
△
ABO
为等边三角形
又∵
F
为
AO
中点
∴
BF
⊥
AC
∵
M
为
BC
< br>中点
∴
MF
=
1
BC
2
1
BC
<
/p>
2
同理可证：
ME
=
∵
E
、
F
分别为
OD
、
OA
中点
∴
EF
=
1
AD
2
∵
AD
=
CB
∴
ME
=
MF
=
EF
∴△
M
EF
为等边三角形
规律
74.
如果矩形对角线相交所成的钝角为
120
o
，则矩形较短边是对角线长的一半
. <
/p>
例：已知，四边形
ABCD
为矩形，对角
线
AC
、
BD
相交于点
O
，∠
AOB
= 120
O
.
求证：
AB
=
1
BD
2
A
O
D
B
C
（证明略）
规律
75
.
梯形的面积等于一腰的中点到另一腰的距离与另一腰的乘积
.
例：已知
,
如图，梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，
E
为
CD
中点，
EF
⊥
AB
于
F
求证：
S
梯形
ABCD
=
EF
·
AB
证明：过
E
作
MN
∥
AB
，交
AD
的延长线于
M
，交
BC
于
N
，则四边形
ABNM
为平行四
边形
∵
EF
⊥
AB
∴
S
□
ABNM
=
AB
·
EF
A
D
∵
AD<
/p>
∥
BC
M
F
1
E
∴∠
M
=
∠
MNC
2
又∵
DE
=
CE
∠
1 =
∠
2
B
C
N
∴△
CEN
≌△
D
EM
∴
S
△
CEN
=
S
△
DEM
∴
S
梯形
AB
CD
=
S
五边形
< br>ABNED
＋
S
△
CEN
=
S
五边形
ABNED
＋
S
△
DEM
规律
76.
若菱形有一内角为
120
o
，则菱形的周长是较短对角线长的
4
倍
.
例：已知，四边形
ABCD
是菱形，∠
ABC
=120
O
.
D
求证
:
AB
=
BD
（证明略）
A
C
B
相似形和解直角三角形部分
规律
77.
当图形中有叉线（基本图形如下）
时，常作平行线
.
例：已
知，如图，
AD
为△
ABC
的中线，
F
为
AB
上任一点，
CF
交
A
D
于
E
求证
：
AF
EF
AB
EC
AF
FN
F
N
E
F
AB
BD
C
D
C
E
AF
EF
AB
EC
A
F
E
N
证明：过
F<
/p>
作
FN
∥
BC<
/p>
交
AD
于
N
∴
又∵
CD
=
BD
∴
B
C
D
规律
78.
有中线时延长中线（有时也可在中线上截取线段）构造平行四边形
.
< br>例：
AD
为△
ABC
的中线，
E
为
AD
上一点，
BE
、
CE
的延长线分别交
AC
、
AB
于点
M
、
N
求证：
MN
∥
BC
证明：
延长
AD
至
F
，使
DF
=
DE
< br>，连结
BF
、
CF
，则四边形
BFCE
为平行四边形
< br>
∴
BF
∥
CN
CF
∥
BM
AN
AE
A
E
A
M
∴
NB
EF
E
F
M
C
AN
AM
∴
NB
MC
A
N
E
B
D
M
C
F
∴
MN
∥
BC
规律
79
.
当已知或求证中，涉及到以下情况时，常构造直角三角形
.
⑴有特殊角时，如有
30
o
、
45
o
、
60
o
、
120
o
、
135
o
角时
.
⑵涉及有关锐角三角函数值时
.
构造直角三角形经常通过作垂线来实现
.
例：
一轮船自西向东航行，
在
A<
/p>
处测得某岛
C
在北偏东
< br>60
o
的方向上，
船前进
8
海里后到达
B
，再
测
C
岛在北偏东
30
< br>的方向上，问船再前进多少海里与
C
岛最近？最近距离是
多
少？
解：由题可作图，且∠
CAB
=
60
o
，∠
ABC
=
120
o
，
AB
=
BC
=
8
（海里）
在
Rt
△
ABC
中，
BC
=
8
，∠
CBD
=
60
o
，
∴
BD
=
BC
·
cos
60
o
= 8×
=
4
（海里）
1
2
北
C
CD
=
BC
·
sin
60
o
=
8×
3
=
4
3
（海里）
2
A
B
D
东
答：
船再前进
4
海里就与
C
最近，
最近距离是
4
3
海里
.
规律
80. 0
o
、
30
o
、<
/p>
45
o
、
60<
/p>
o
、
90
o
角的三角函数值表
三角函数
0
o
30
o
45
o
sin
A
0
1
2
2
2
cos
A
1
3
2
2
2
tan
A
0
1
3
3
60
o
3
2
90
o
1
0
－
1
2
cot
A
－
1
0
3
3
3
另外：
0
o
、
30
o
、
45
o
、
60
o
、
90
o
的正弦、余
弦、正切值也可用下面的口诀来记忆：
0
o
可记为北京电话区号不存在，即：
010
不存在，
90
o
正好相反
30
o
、
45
o
、
60
o
可记为：
1
、
2
、
3
、
3
、
2
、
1
，
< br>3
、
9
、
27
，
弦比
2
，切比
3
，
分子根号别忘添
.
其中余切值可利用正切与余切互为倒数求得
.
规律
81.
同角三角函数之间的关系：
2
2
（
1
）
.
平方关系：
sin
<
/p>
cos
<
/p>
1
（
2
）
.
倒数关系：
tan
cot
1
3
（
3
）
.
商数关系：
tan
sin
cos
< br>
cot
cos
sin
规律
82.
任意锐角的正弦值等
于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正
弦值
.
规律
83.
任意锐角的正切值等
于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正
切值
.
规律
84.
三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦之积的一半
.
例：已知△
ABC
中
,
∠
A
=
60
o
,
AB
= 6,
AC
= 4,
求△
ABC
的面积。
解：
作
BD
⊥
AC
于
D
在
Rt
△
ABD
中，
BD
=
AB
·
sinA
∴
S
< br>△
ABC
=
1
AC
·
BD
2
=
1
AC
·
AB
·
sinA
2
1<
/p>
×
4×
6×
si
n
60
o
2
B
=
A
D
3
=
12×
= 6
3
2
C
规律<
/p>
85.
等腰直角三角形斜边的长等于直角边的
2
倍
.
规律
86.
在含有
30
o
角的直角三角形中，
60
o
角所对的直角边是
30
o
角所对的直角
边的
3
倍
.
（
即
30
o
角所对的直角边是几，另一条
直角边就是几倍
3
.
）
规律
87.
直角三角形中，
如果较长直角边是较短直角边的
2
倍，
则斜边是较短直角边的
5
倍
.
圆
部
分
规律
88.
圆中解决有关弦的问题时，常常
需要作出圆心到弦的垂线段（即弦心距）这一辅助
线，一是利用垂径定理得到平分弦的条
件，二是构造直角三角形，利用勾股定理
解题
.
例：
如图，
在以
O
为圆心的两个同心圆中，
大圆的弦
AB
交小圆于
C
、
D
二点
.
求证：
AC<
/p>
=
BD
证
明
:
过
O
作<
/p>
OE
⊥
AB
于<
/p>
E
∵
O
为圆心，
OE
⊥
AB
O
∴
AE
=
BE
CE
=
DE
A
C<
/p>
E
D
B
∴
AC
=
BD
练习：
如图，
AB
为⊙
O
的弦，
< br>P
是
AB
上的一点，
AB
=
10
cm
，
P
A
=
4
cm
.
求⊙
O
的半径
.
O
A
B
P
规律<
/p>
89.
有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角
.
例：如图，已知
AB
是⊙
O
的直径，
M
、
N
分别是
AO
、
BO
的中点，
CM
⊥
AB
,
DN
⊥
AB
,
求证
：
<
/p>
证明：
（一）连结
OC
< br>、
OD
∵
M
、
N
分别是
AO
、
BO
的中点
∴
OM
=
1
1
AO
、
ON
=
BO
2
2
∵
OA
=
OB
∴
OM
=
ON
∵
CM
⊥
OA
、
DN
⊥
OB
、
OC
=
OD
∴
Rt
△
COM
≌
Rt
△
DON
∴∠
COA
=
∠
DOB
∴
C
A
D
M
O
N
B
（二）连结
AC<
/p>
、
OC
、
OD<
/p>
、
BD
∵
M
、
N
分别是
AO
、
BO
的中点
∴
AC
=
OC
BD
=
OD
∵
OC
=
OD
∴
AC
=
BD
∴
<
/p>
规律
90.
有弦中点时常连弦心距
例：如图，已知
M
、
N
分别是⊙
O
的弦
AB
、
CD
的中点
,
AB
< br> =
CD
，求证：∠
AMN<
/p>
=
∠
CNM
证明：连结
OM
、
ON
∵
O
为圆心，
M
、
N
分别是弦
AB
、
CD
的中点
∴
OM
⊥
AB
ON
⊥
CD
∵
AB
=
CD
C
A<
/p>
∴
OM
=
ON
N
∴∠
OMN
=
∠
ONM
M
O
∵∠
AMN
= 90
o
－∠
OMN
D
B
o
∠
CNM
= 90
－∠
ONM
∴∠
AMN
=
∠
CNM
规律
91.
证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距
.
例：如图，已知⊙
O
1
与⊙
O
2
为等
圆，
P
为
O
1
、
O
2
的中点
，过
P
的直线分别交⊙
O
1
、⊙
O
2
于
A
、
C
、
D
、
B
.
求证：
AC
=
BD
证明：过
O
1
作
O
1
M
⊥
AB
于<
/p>
M
,
过
O
2
作
O
2
N
⊥
AB
于
N
，则
O
1
M
∥
O
2
N
∴
O
1
M
O
1
P<
/p>
O
2
N
O
2
P
A
M
C
P
O
1
∵
O
1
P
=
O
2
P
D
N
B
∴
O
1
M
=
O
2
N
∴
AC
=
BD
规律
9
2.
有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：
< br>
⑴连结过弧中点的半径
⑵连结等弧所对的弦
⑶连结等弧所对的圆心角
例：如图，
已知
D
、
E
分
别为半径
OA
、
OB
< br>的中点，
C
为弧
AB
的
中点，
求
O
E
D
证：
CD
=
CE
A
B
证明：连结
OC
C
∵
C
为弧
AB
的中点
O
2
∴
AB<
/p>
BC
∴∠
AOC
=
∠
BOC
∵
D
、
E
分别
为
OA
、
OB
的中点，且
AO
=
BO
∴
OD
=
OE
=
1
1
AO
=
BO
2
2<
/p>
又∵
OC
=
OC
∴△
O
DC
≌△
OEC
∴
CD
=
CE
规律
9
3.
圆内角的度数等于它所对的弧与它对顶角所对的弧的度数之和的一半
.
规律
94.
圆外角的度数
等于它所截两条弧的度数之差的一半
.
规律
< br>95.
有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题
.
例：如图，
AB
为⊙
O
的直径，
AC
为弦，
P
为
AC
延长线上一点，且
AC
=
PC
,
PB
的
延长线
交⊙
O
于
D
，求证：
AC
=
DC
证明：连结
AD
∵
AB
为⊙
O
的直径
D
o
∴∠
ADP
= 90
B
O
∵
AC
=
PC
1
∴
AC
=
CD
=
AP
2
为
AC
中点
，连结
BD
交⊙
O
于
F
.
求证：
A
C
P
练习：如图，在
Rt
△
ABC
中，∠
BCA
=
90
o
,<
/p>
以
BC
为直径的⊙
O
交
AB
于
E
，
D
BC
C
F
BE
E
F
规律
96.
有垂直弦时也常作直径所
对的圆周角
.
规律
97.
有等弧时常作辅助线有以下几种：
⑴作等弧所对的弦
⑵作等弧所对的圆心角
⑶作等弧所对的圆周角
练习：
1.
如图，⊙
O
的直
径
AB
垂直于弦
CD
< br>，交点为
E
，
F
为
DC
延长线上一点，连结
A
F
交⊙
O
于
M
.
求证：∠
AMD
=
∠
FMC
(
< br>提示：连结
BM
)
2.
如图，△
ABC
内接于⊙
O
，
D
、
E
在
BC
边上，且
BD
=
CE
，∠
1 =
∠
2
，求证：
AB
< br> =
AC
（提示如图）
F
A
M
1
2
C
O
B
A
B
C
E
D
O
E
< br>
G
F
D
2
题图
1
题图
规律
98.
有弦中点时，常构造三角形中位线
.
< br>例：已知，如图，在⊙
O
中，
A
B
⊥
CD
，
O
E
⊥
BC
于
E
，求证：
OE
=
证明：作直径
CF
，连结
DF
、
BF
∵
CF
为⊙
O
的直径<
/p>
∴
CD
⊥
FD
又∵
CD<
/p>
⊥
AB
∴
AB
∥
DF
1
AD
2
∴
AD<
/p>
BF
∴
AD
=
BF
∵
OE
⊥
BC
O
为圆心
CO
=
FO
∴
CE
=
BE
A
C<
/p>
O
E
B
D
1
∴
OE
=
BF
2
1
∴
OE
=
AD
2
F
规律<
/p>
99.
圆上有四点时，常构造圆内接四边形
.
例：如图，△
ABC
内接于⊙<
/p>
O
，直线
AD
平
分∠
F
AC
，交⊙
O
于
E
，交
BC
的延长线于
D
，求
证：
AB
·
AC
=
AD
·
AE
证明：连结
BE
E
∵∠
1
=
∠
3
∠
2 =
∠
1
F
∴∠
3
=
∠
2
3
A
1
O
2
∵四边
形
ACBE
为圆内接四边形
D
B
C
∴∠
ACD
=
∠
E
<
/p>
∴△
ABE
∽△
ADC
∴
AE
AB
AC
AD
∴
AB
·
AC
=
AD
·
AE
规律
100.
两圆相交时，常连结两圆
的公共弦
例：如图，⊙
O
1
与⊙
O
2
相交于
A
、
B
，过
A
的直线分别交⊙
O<
/p>
1
、⊙
O
2
于
C
、
D
，过
B
的直
线分别交⊙
O
1
、⊙
O<
/p>
2
于
E
、
F
.
求证：
CE
∥
DF
证明：连结
AB
∵四边形为圆内接四边形
D
∴∠
ABF
=
∠
C
<
/p>
A
C
同理可证：∠
ABE
=
∠
D
O<
/p>
2
O
1
o
∵∠
ABF
＋∠
ABE
=
180
F
E
B
o
∴∠
C
＋∠
D
=
180
∴
CE
∥
DF
规律
101.
在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：
⑴当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所
作半径与这条直线垂直即可
.
⑵如果不知
直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段
的长度等于半径的长
即可
.
例
1
：如图，
P
为⊙
O
外一点，以
OP
为直径作圆交⊙
O
于
A
、
B
两点，连结
P
A
、
PB
.
求证：
P
A
、
PB
为⊙
O
的切线
证明：连结
OA
A
∵
PO<
/p>
为直径
P
O<
/p>
∴∠
P
AO
=
90
o
B
∴
OA
⊥
P
A<
/p>
∵
OA
为⊙
O
的半径
<
/p>
∴
P
A
为⊙
O
的切线
同理：
PB
也为⊙
O
的切线
例
2
：如图，同心圆
O
，大圆的弦
AB
=
CD
，且
AB
是小圆的切线，切点为
E
，求证：
CD
是
小圆的
切线
证明：连结
OE
，过
O
作
OF
⊥
CD
于
F
< br>
D
∵
OE
为半径，
AB
为小圆的切线
F
∴
OE
⊥
AB
C
O
∵
OF
⊥
CD
,
AB
=
CD
B
A
E
∴
OF
=
OE
∴
CD
为小圆的切线
练习：如图，等腰△<
/p>
ABC
，以腰
AB
为直径作⊙
O
交底边
BC
于
P
，
PE
⊥
AC
于
E
,
求证：
PE
是⊙
O
的切线
A
O
E
C
B
P
规律
10
2.
当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理证题
.
例：如图，在
Rt
△<
/p>
ABC
中，∠
C
=
90
o
，
AC
= 12
，
BC
= 9
，
D
是
AB
上一点，以
BD
为直
径的⊙<
/p>
O
切
AC
于
E
，求
AD
长
.
解：连结
OE
，则
OE
⊥
AC
∵
BC
⊥
AC
∴
OE
∥
BC
∴
O
E
AO
B
C
AB
在
Rt
△
ABC
中，
AB
=
∴
AC
2
< br>
BC
2
12
2
9
2
15
OE
AB
OB
15
OE
9
AB
15
45
∴
OE
=
OB
=
8
45
∴<
/p>
BD
=
2
OB
=
4
45
15
∴
AD
=
AB
－
DB
= 15
－
=
4
4
15
答：
AD
的长为
.
4
C
E
A
D
O
B
练习：如图，⊙
O
的半径
OA
⊥
OB
，点
P
在
OB
的延长线上，连结
AP
交⊙
O
于
D
，过
D
作
⊙
O
的切线
CE
交
OP
于
C
，求证：
< br>PC
=
CD
P
C
D
B
E
A
O
三角形中作辅助线的常用方法举例
一、
在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，
若直接证不出来，
可连接两点
或延长某边构成三角形
，
使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，
再运用三
角形三边的不等关系证明，如：
例
1
：已知如图
1-1
：
D
、
E
为△<
/p>
ABC
内两点
,
求证
:AB
＋
AC
＞
BD
＋
DE
＋
CE.
证明：
（法一）
将
DE
两边延长分别交
AB
、
AC
于
M
、
N
，
在△
AMN
中，
AM
＋
AN
＞
MD
＋
D
E
＋
NE;
（
1
）
在△
BDM
中，
MB
＋
MD
＞
BD
；
（
2
）
在△
CEN
< br>中，
CN
＋
NE
＞
CE
；
（
3
）
由（
1
）＋（
2
）＋（
3
）得：
AM
＋
AN
＋
MB
＋
MD
＋
CN
＋
NE
＞
MD
＋
DE
＋
NE
＋
BD
＋
CE
∴
AB
＋
AC
＞
BD
＋
DE
＋
EC
A
D
E
A
G
N
C
B
D
E
F
M
B
图
1
< br>
1
图
1
2
C
（法二：
）
如图
1-2
，
< br>
延长
BD
交
AC
于
F
，延长
CE
交
BF
于
G
，
在△
ABF
和△
GFC
和△
GDE
中有：
AB
＋
AF
＞
BD
＋
DG
＋
GF
（三角形两边之和大于第三边）
（
1
）
GF
< br>＋
FC
＞
GE
< br>＋
CE
（同上）………………………………（
2
）
DG
＋
GE
＞
DE
（同上）……………………………………（
3
）
由（
1
）＋（
2
）＋（
< br>3
）得：
AB
＋
AF
＋
GF
＋
FC
＋
DG
＋
GE
＞
BD
＋
DG
＋
GF
＋
GE
＋
CE
＋
DE
∴
AB
＋
AC
＞
BD
＋
DE
＋
EC
。
二、
在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，
可
连
接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，
小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：
例如：如图
2-1
< br>：已知
D
为△
ABC
内的任一点，求证：∠
BDC
＞∠
BAC
。
分析：
因为∠
BDC
与∠
BAC
不在同一个三角形中，没有直接的联系，
可适当添加辅助线构造
新的三角形，
使∠
BDC
处于在外角的
位置，
∠
BAC
处于在内角的位置；<
/p>
A
G
D
B
F
图
2
1
E
C
证法一
：延长
BD
交
AC
于点
E
，这时∠<
/p>
BDC
是△
EDC
的外角，
∴∠
BDC
＞∠
DEC
，同理∠
DEC
＞∠
BAC
，∴∠
BDC
＞∠
BAC
证法二：连接
AD
，并延长交
BC
于
F
∵∠
BDF
是△
ABD
的外角<
/p>
∴∠
BDF
＞
∠
BAD
，同理，∠
CDF
＞∠
CAD
∴∠
BDF
＋∠
CDF
＞∠
BAD
＋∠
CAD
即：∠
BDC
＞∠
BAC
。<
/p>
注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某
三角形的外角位置上，小
角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。
三、有角平分线时，通常在角的两边截
取相等的线段，构
造全等三角形，如：
例如：如图
3-1
：已知
AD
为△
ABC
的中线，且∠
1
＝∠
2,
∠
3
＝∠
4,
求证：
BE
＋
CF
＞
EF
。
分析：要证
BE
＋
CF
＞
EF
，可利用三角形三边关系定理证明，
A<
/p>
N
E
F
2
3
1
4
B
D
图
3
1
C
须把
BE
，
CF
，
EF
移到同一个三角形中，而由已知∠
1
＝∠
2
，∠
3
＝∠
4
，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把
EN
，
FN
，
EF
移到
同一个三角形中。
证明：
在
DA
< br>上截取
DN
＝
DB
，连接
NE
，
NF
，则
DN
＝
DC
，
在△
DBE
和△
DNE
中：
DN
<
/p>
DB
(
辅助线的作法
)
∵
1
<
/p>
2
(
已知
)
ED
ED
(
公共边
)
∴△
DBE
≌△
D
NE
（
SAS
）
∴
BE
＝
NE
（全等三角形对应边相等）
同理可得
：
CF
＝
NF
在△
EFN
中
EN
< br>＋
FN
＞
EF
< br>（三角形两边之和大于第三边）
∴
BE
＋
CF
＞
EF
。
注意：当证题有角平分线
时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然
后用全等三角形的性质得
到对应元素相等。
四、有以线段中
点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。
例
如：如图
4-1
：
AD
为△
ABC
的中线，且∠
1<
/p>
＝∠
2
，∠
3<
/p>
＝∠
4
，求证：
BE
＋
CF
＞
EF
证明
：延长
ED
至
M
，使
DM=DE
，连接
CM
，
MF
。在△
BDE
和△
CDM
中，
A
BD
< br>CD
(
中点的定义
)
∵
1
CDM
(
对顶角相等
)
ED
MD
(
辅助线的作法
)
∴
△
BDE
≌△
CDM
（
SAS
）
E
F
B
2
3
4
1
D
C
又
∵
∠
1
＝∠
2
，∠
3
＝∠
4
（已知）
∠
1
＋∠
2
＋∠
3
＋∠
4
＝
180
°（
平角的定义
）
∴
∠
3
＋∠
2=90
°，即
< br>：
∠
EDF
＝
< br>90
°
∴
∠
FDM
＝∠
EDF
＝
90
°
<
/p>
在△
EDF
和△
MDF
中
图
4
1
M
<
/p>
ED
MD
(<
/p>
辅助线的作法
)
∵
EDF
FDM
(
已证
)
< br>
DF
DF
< br>(
公共边
)
< br>
∴
△
EDF
< br>≌△
MDF
（
SAS
）