数阵图(一)(含详细解析)
世园会-
小学奥数特训营
5-1-3-1.
数阵图
教学目标
1.
了解数阵图的种类
2.
学会一些解决数阵图的解题方法
3.
能够解决和数论相关的数阵图问题
知识点拨
.
一、数阵图定义及分类：
1.
定义
：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图
.
2.
数阵是一种由幻方演变而来的数
字图
.
数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封
闭型数阵图、
辐射型数阵图和复合型数阵图
.
3.
二、解题方法：
解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：
第一步：区分数阵图中的普通点
(
或方
格
)
和关键点
(
或方格
)
；
第二步：在数阵图的少数关键点
(
一般是交叉点
)
上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键
点上所填数的范围；
第三步：
< br>运用已经得到的信息进行尝试．
这个步骤并不是对所有数阵题都适用，
很多数阵题更需要对数学方法的
综合运用．
例题精讲
模块一、封闭型数阵图
【例
1
】
把
1
～
8
的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。
【考点】复合型数阵图
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】学而思杯，
3
年级，第
6
题
【解析】
小学奥数特训营
< br>1
6
3
8
4
7
5
2
【答案】
1
6
3
8
4
7<
/p>
5
2
【例
2
】
将
1
～
8
这八个自然数分别填入下图中的八个
○
内，
使四边形每条边上的三个数之和都等于
14
，且数
字
1
出现在四边形的一个顶点上
.
应如何填？
（
1
）
【考点】封闭型数阵图
【难度】
2
星
【题型】填空
【
解
析
】
为
了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（
2
）
.
由条件得出以下四个算式：
<
/p>
a
h
g
f
（
2
）
b
c
d
e
a+b+c=14
（
1
）
c+d+e=14
（
2
）
e+f+g=14
（
3
）
a+h+g=14
（
4
）由（
1
）
+
（
3
）
，得：
a+b+c+e+f+g=28
，
（
a+b+c+d+e+f+g+h
）
-
（
d+h
）
=28
，
d+h=
（
1+2+3+4+5+6+7+8
）
-28=8
，由（
2
）
+
（
4
）
，同样
可得
b+f=8
，
< br>又
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
，
8
中有
1+7=2+6=3+5=8.
又
1
要出现在顶点上，
d+h
与
< br>b+f
只能有
2+6
和
3+5
两种填法
.
又
由对称性，不妨设
b=2
，
f=6
，
d=3
，
h=5
.
a
，
c
，
e
，
g
可取到
1
，
4
，
7
，
8
若
a=1
，则
c=14-
（
1+2
）
=11
< br>，不在
1
，
4
，
7
，
8
中，不行
.
小学奥数特训营
若
c=1
，则
a=14-
（
1+2
）
=11
，不行
.
若
e=1
，则
c=
14-
（
1+3
）
=10
，不行
.
若
g=1
，则
a=8
，
c=4
，
e=7.
说明：
例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数阵的
解题突破口
.
【答案】
【例
3
】
在如图
6
所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是
1
2
，若
A
、
B
、
C
的和为
1
8
，则
三个顶点上的三个数的和是
。
A
C
B
【考点】
封闭型数阵图
< br>
【难度】
1
星
【题型】填空
【关键词】希望杯，五
年级，复赛，第
11
题，
5
分
【解析】
设
三个顶点为
D
,
E
,
F
，求
D
,
E
,
F
。
观察容易发现，三条边的和为
36
，即
D
+
A
+
E<
/p>
+
E
+
C
+
F
+
F
+
B
+
D
=36
18+2( <
/p>
D
+
E
+
F
)=36
，所以
D
+
E
+
F
=9
【答案】
9
【例
4
】
将
1<
/p>
至
6
这六个数字填入图中的六个圆圈中<
/p>
(
每个数字只能使用一次
)
，
使每条边上的数字和相等．
那么，
每条边上的数字和是
．
a
d
e
7
f
8
c
9
8
7
b
9
【考点】封闭型数阵图
【难度】
2
星
【题型】填空
【
解
析
】
如
图，用字母表示各个圆圈中的数，那么每条边上的数字和为
a
b
c
，由于
a
b
c
最小为
1
2
3
6
，最大为
< br>
1
2
9
a
b
c
3
15
3
4
5
6
15
，所以每条边上的数
字和最小为
17
，最大为
20
，如下两图为每条边上的数字和分别为
17
和<
/p>
20
时的填法．
1
5
9
2
4
8
6
7
3
4
2
9
5
1
8
3
7
6
而每条边上的数字和能否为
18
或
19
呢？答案是否定的，现
说明如下．
如果每条边上的数字和为
18
，那么
a
b
c
18
15
3
9
，而
a
b
d
9
18
，即
a
b
d
9
，得
小学奥数特训营
到
c
d
，与题意不符，所以每条边上的数字和不能为
18
．如果每条边上的数字和为
19
，
类似分析可得
到
b
< br>e
，也与题意不符，所以每条边上的数字和不能为
19<
/p>
．
所以每条边上的数字和为
17
或
20
．
【答案】
17
或
20
【例
5
】
将
1<
/p>
到
8
这
8
个自然数分别填入如图数阵中的
8
个圆圈，<
/p>
使得数阵中各条直线上的三个数之和都相等，
那么
A
和
B
两个圆圈中所填的数之
差
(
大数减小数
)
是
______
．
A
B
【考点】封闭型数阵图
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】
2008
年，学而思杯，五年级，
4
年级，第
< br>4
题
【
解
析
】
方
法一：如图
a
A
b
c
B
e
f
d
用字母来表示各个圆圈中的数字，设各条直线上的三个数之和
都为
s
，那么
a
b
c
d
e
f
2
s
，
a
A
e
b
< br>
A
d
c
B
f
3
s
，所以
2
A
B
s
，
a
b
c
d
< br>
e
f
A
B
2
s
A
B
5
A
3
B
，而
a
b
c
d
e
f
A
B<
/p>
1
2
8
36
，所以
5
A
3
B
36
，那么
A
是
3
的倍数
.
如果
A
3
，得
B
7
；如果
A
6
，得
B
2
，这两种情况下
A
和
B
的差都为<
/p>
4
，所以
A
和<
/p>
B
两个圆圈中所填的数之差
(
大数减小数
)
是
4.
方法二：设各条直线上的三个数之和都为
s
，
2(1
2
3
<
/p>
8)
B
5
s
，即
72
B
5
s
，
B
7
< br>B
2
所以
，
，由于
(1
2
3
8)
A
3
s<
/p>
，即
36
A<
/p>
3
s
，
s
13
s
14
B
2
B
7
s
14
s
1
3
因此有
,
,
综合
有
s
14
，
s
13
，
A
6
A
3
A
6
A
3
所以
A
和
B
两个圆圈中所填的数之差
(
大数减小数
)
是
4.
【答案】
4
【例
6
】
如图所示，圆圈中分别填人
0
到
9
这
10
个数，且每
个正方形顶点上的四个数之和都是
18
，则中间两
个数
A
与
B
的和是
________
。
A
B
【考点】封闭型数阵图
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】希望杯，六
年级，二试，第
5
题，
4
分
小学奥数特训营
【解析】
若
每个正方形中数的和都是
18
，那么总和为
54
，而这
10
个数的和为
45
，其中
A
、
B
各多算了一次，故
A
+
B
=9
。
【答案】
9
【例
7
】
把
2<
/p>
～
11
这
10<
/p>
个数填到右图的
10
个方格中，每格内填
一个数，要求图中
3
个
2
2
的正方形中的
4
个
数之和相等．那么，这个和数的最小值是多少？
11
8
3
【考点】封闭型数阵图
【难度】
3
星
【题型】填空
10
2
7<
/p>
5
9
6
4
【
解
析
】
第
一步：首先确定数
阵图中的关键方格，即相邻两个正方形相交的两个方格；
第二
步：
计算三个
2
2
正方形内
4
个数之和的和，
显然这个和能被
3
整除，
< br>其中有两个数被重复计算了
两次，而
2
< br>
3
11
65
，除以
< br>3
余
2
，因此被重复计算的两个
数的和被
3
除余
1
，这两个数取
2
、
5
时，这个和取得最小值；
第三步，由已知的两个方
格中的数，得到每个
2
2
正方形中的
4
个数之和的最小值为
24
，构造各个正
方形中其他几个数使每个正方形中的
数的和为
24
，如图，所以所求的最小值是
24
．
【答案】
24
【例
8
】
下图中有五个正方形和
12
个圆圈，将
1~12
填入圆圈中，使得每个正方形四角上圆圈中的数字之和都
相等．那么这个和是多少
?
8
1
12
10
3
5
6
2
11
7
9
4
【考点】封闭型数阵图
【难度】
3
星
【题型】填空
再将中间四个圆圈中的数加两遍，可得：
1
2
填法如右上图。
【
解
析
】
设
每个正方形四角上圆圈中的数字之和为
x
，则由
5
个正方形四角的数
字之和，相当于将
1
～
12
相加，
12
2
x
5
x
，解得
x
26
，即这个和为
26<
/p>
．具体
【答案】
26
【例
9
】
如图，大、中、小三个正方形组
成了
8
个三角形，现在把
2
、
4
、
6
、
8
四个数分别填在大正方形的四
个顶点；再把
2
、
4
、
6
、
8
< br>分别填在中正方形的四个顶点上；最后把
2
、
4
、
6
、
8
分别填在小正方形的
四个顶点上．
< br>⑴能不能使
8
个三角形顶点上数字之和都相等？⑵能不能
使
8
个三角形顶点上数字之和
各不相同
？如果能，请画图填上满足要求的数；如果不能，请说明理由．
2
4
8
2
4
2
6
6
4
8
8
【考点】封闭型数阵图
【难度】
4
星
【题型】填空
6
【
解
析
】
⑴
不能．如果这
8
个三
角形顶点上数字之和都相等，设它们都等于
S
．
考察外面的
4
个三角形，每
个三角形顶点上的数的和是
S
，在它们的和
4
S
中，大正方形的
2
、
4
、
6
、
8
小学奥数特训营
各出现一次，中正方形的
2
、
4
、
6
、
8
各出现二次，即
4
S
2
4
6
8
3
60
．得到
S
60
4
15
，
但是三角形每个顶点上的数都
是偶数，和不可能是奇数
15
，因此这
8
个三角形顶点上的数字之和不可
能都相等．
< br>
⑵
由于三角形
3
个顶点上的数字之和最小为
2
2
2
6
，
最大为
8
8
8
<
/p>
24
，
可能为
6
、
8
、
10<
/p>
、
……2
2
、<
/p>
24
，共有
10
个可能的值，而三角形只有
8
个，所以是有可能做到
8
个三角形的顶点上数字之和互不相
同的．
根据对称性，不妨舍去这
10
个可能值的首尾两个，把剩下
8
个值
(8
、
10
、
12
、
14
、
16
、
18
、
20
、
22)
作
为
8
个三角形的顶点上数字之和进行尝试，可以得到
满足条件的填法，右上图就是一种填法．
2
< br>4
8
2
4
2
6
6
8
8
4
【答案】
【例
10
】
将
1
～
16<
/p>
分别填入下图（
1
）中圆圈内，要求每个
扇形上四个数之和及中间正方形的四个数之和都为
34
，图中已
填好八个数，请将其余的数填完
.
6
【考点】封闭型数阵图
【难度】
4
星
【题型】填空
【
解
析
】
为
了叙述方便
，将圆圈内先填上字母，如图（
2
）所示：
9+15+a+c=34<
/p>
，
5+10+e+g=34
，
7+14+b+d=34
，
11+8+f+h=3
4
，
c+d+e+f=34
，
化简得：
a+c=10 4+6=10.
e+g=19
3+16=19
，
6+13=19
b+d=13
1+12=13
，
f+h=15
2+13=15
，
3+12=15.
a
，
b
，
c
，
d
，
e
，
f
，
g
，
h
< br>应分别从
1
，
2
，
3
，
4
，
6
，
12
，
13
，
16
中选取
.
因为
a+c=10
，
所以只能选
a+c=4+6
< br>；
b+d=13
，只能选
b+d=13
；
e+g=19
，只能选
e+g=3+16
；
f+h=15
，只能选
f+h=2+13
< br>若
d=1
，
c=4
，则
e+f=34-1-4=29
，有
e=16
，
f=13.
若
d=1
，
c=6
，则
e+f=34-1-6=27
，那么
e
、
f
无值可取，使其和为
27.
若
d=12
，
c=4
，则
e+f=34-12-4
=18
，有
e=16
，
f=2.