数阵图(三)(含详细解析)
disguised-
小学奥数特训营
5-1-3-3.
数阵图
教学目标
1.
了解数阵图的种类
2.
学会一些解决数阵图的解题方法
3.
能够解决和数论相关的数阵图问题
知识点拨
.
一、数阵图定义及分类：
1.
定义
：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图
.
2.
数阵是一种由幻方演变而来的数
字图
.
数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封
闭型数阵图、
辐射型数阵图和复合型数阵图
.
3.
二、解题方法：
解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：
第一步：区分数阵图中的普通点
(
或方
格
)
和关键点
(
或方格
)
；
第二步：在数阵图的少数关键点
(
一般是交叉点
)
上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键
点上所填数的范围；
第三步：
< br>运用已经得到的信息进行尝试．
这个步骤并不是对所有数阵题都适用，
很多数阵题更需要对数学方法的
综合运用．
例题精讲
数阵图与数论
【例
1
】
把
0
—
9
这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差数<
/p>
列的各项之和为
55
，那么这个等差数列
的公差有
种可能的取值．
【考点】数阵图与数论
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】迎春杯，三
年级，初赛，第
8
题
【
解
析
】
设
顶点分别为
A
、
B
、
C
、
D
、
E
，有
45+
A
+
B
+
C
+
D
+
E
=55
，所以
A
+
B
+
C
+
D
+
E
=10
，所以
A
、
B
、
C
、
D
、
E
分别只能是
0-4
中的一个数字
.
则除之外的另外
< br>5
个数（即边上的）为
45-10=35.
设所形成的等差数列
的首项为
a
1
，公差为
d
.
< br>利用求和公式
5
（
a
1
＋
a
1+4
d
）
2=55
，
得
a
1+2
d
=11
，故大于等于
0+1+5=6
，且
为奇数，只能取
7
、
9
或
11<
/p>
，而对应的公差
d
分别为
2
、
1
和
0.
经试验都能填出来所以共有
3
中情况，
小学奥数特训营
公差分别为
2
、
1
、
0.
【答案】
2
种可能
【例
2
】
将
1~
9
填入
下图的
○
中，使得任意两个相邻的数之和都不是
3
，
5
，
7
的倍数．
【考点】数阵图与数论
【难度】
4
星
【题型】填空
【
解
析
】
根
据题意可知
1
的两边只能是
3
与
7
；
2
的两边只能是
6
与
< br>9
；
3
的两边只能是
1
、
5
或
8
；
4
的两边只能
是
7
与
9
．
可以先将
3
—
1
—
7--
写出来，
接下来
7
的后面只能是
4
，
4
的后面只能是
9
，
9
的后面只能是
2
，
2
的后面只能是<
/p>
6
，可得：
3
—
1
—
7
—
4
—
9
—
2
—
6--
，还剩下<
/p>
5
和
8
两个数．
由于
6
8
14
是
7
的倍
数，
所以接下来应该是
5
，这样可得：
3
—
1
—
7
—
4
—
9
—
2
—
6
—
5
—
< br>8
—
3
．检验可知这样的填法符
合题意．
【答案】
3
—
1
—
7
—
4
—
9
—
2
—
6
—<
/p>
5
—
8
—
3
【例
3
】
在下面
8
个圆圈中分别填数字
l
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
，
8(1
已填出
)
．从
< br>1
开始顺时针走
1
步进入下一<
/p>
个圆圈，这个圆圈中若填
n
(
n
≤8)
。则从这个圆
圈
开始顺时针走
n
步进入另一个圆圈．依此下去，走
7
次恰好不重复地进入每个圆圈，最后进入的一个圆圈中写
< br>8
．请给出两种填法．
【考点】数阵图与数论
【难度】
4
星
【题型】填空
【关键词】走美杯，<
/p>
5
年级，决赛，第
12
< br>题，
15
分
【解析】
按
顺时针方向：
1,2
，
5,3
，
8
，
7,4
，
6
或
1,5,2
，
4
，
8
，
6
，
7,3
或
1,6,2,3
，
8
，
5
，
7
，
4
或
1,6
，
4
，
2
，
8
，
7
，
5
，
< br>3
(
答对任一种给
6
分，总得分不超过
12)
由于无论如何填
8
都是最后一个填写，而填之前，已经走
过了
28
步，因为
28÷
8=3
余
4
< br>，即
8
永远只能在最底下的圆圈里。顺推：试算，从
1
到
8
顺序填写发
现可以，此时从
1
顺时针为
1
、
2
、
5
、
3
、
8
、
7
、
4
、
6
；逆推：
8
前面的一个填有
2
、
3
、
5
、
< br>6
、
7
共
5
种可能。假设为
2
，如上图，再往前一个数有
3
、
4
、
5
、
7
共
4
种可能，设为
< br>3
，再前推一个数可能是
4
或<
/p>
6
，设为
4
，<
/p>
…
依次类并排除错误的选择，可得
1
、
5
、
2
、
4
、
8
、
6
、
7
、
3
。
【答案】
1
、
5
、
2
、
4
、
8
、
6
、
7
、
3
。
【例
4
】
在圆的
5
条直径的两端分别写着
1
～
10
（如图）。现在请你调整一部分数的位置，但保留
< br>1
、
10
、
5
、
6
不动，使任何两个相邻的数
之和都等于直径另一端的相邻两数之和（画在另一个圆上）
。
【考点】数阵图与数论
【难度】
5
星
【题型】填空
【关键词】走美杯，五
年级，初赛，第
4
题
【
解
析
】
共
6
种
小学奥数特训营
【答案】
【例
5
】
图中是一个边长为
1
的正六边形，它被
分成六个小三角形．将
4
、
6
、
8
、
10
、
12
、
14
、
16
各一个填入
7
个圆圈之中．相邻的两个小正三角形可以组成
6
个菱形，把每个菱形的四个顶点上的数相加，填在
菱形的中心
A
、
B
、
C
、
D
、
E
、
F
位置上（例如：
a
b
g
f
A
）
．已知
A
、
B
、
C
、
D
、
E
、
F
依次
分别能被
2
、
3
、
4
、
5
、
6
< br>、
7
整除，那么
a
g
d
< br>
___________
．
【考点】数阵图与数论
【难度】
5
星
【题型】填空
【关键词】迎春杯，六
年级，初赛，第
12
题
【
解
析
】
先考虑菱形顶点的和为
3
、
6
的倍数，
7
个数被
3
除的余数分别为
1
、
0
、
2
、
1
、
0
、
2
、
1
，可以得到中
间数
g
8
或
14
，同样分析
5
的倍数，
7
的倍数，得到具体的填法（如图），
a
g
d
4
8
<
/p>
10
320
评
注：
采用余数分析法，找到关键数的填法。
< br>1
3
2
6
1
1
2
0
1
4
F
E
0
4<
/p>
A
8
D
10
B
C
6
12
【答案】
320
16
【例
6
】
在如图所示的圆圈中各填入一个
自然数，使每条线段两端的两个数的差都不能被
3
整除。请问这
样的
填法存在吗
?
如存在，请给出一种
填法；如不存在，请说明理由。
小学奥数特训营
【考点】数阵图与数论
【难度】
4
星
【题型】填空
【关键词】希望杯，六
年级，二试，第
18
题，
10
分
【解析】
图
中共有
4
个不同的数，每个数除以
3<
/p>
的余数只可能有
0
、
1
、
2
三种，根据抽屉原理可知，
这
4
个数中
必然至少存在一对同余的数
，那么这两个数的差必然为
3
的倍数，故不存在这样的填法。<
/p>
【答案】不存在这样的填法
【例
7
】
如图
ABC
被分成四个小三角形，请在每个小三角形里各填入一个数
，满足下面两个要求：
(1)
任何两
2
3
个有公共边的三角形里的数都互为倒数
(
如：
和
是互为倒数
)
；
(2)
四个小三角形里的
数字的乘积等
3
2
于
< br>225
。
则中问小三角形里的数是
A
B
C
【考点】数阵图与数论
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】希望杯，六
年级，初赛，第
3
题，
6
分
【解析】
四
个小三角形共三对相邻三角形，这三对的积都是
1
，所以将这三
对数乘起来，得到的积还是
1,
但其中
1
中间的数被乘了
3
次
,
如果只乘
1
次那么积为
225
，所以中间的数是
.
15
1
【答案】
15
【例
8
】
（
20
10
年第
8
届走美杯
< br>3
年级初赛第
8
题）
2010
年是虎年，
请把
1~11
这
11
个数不重复的填入虎额
上
的
“
王
”<
/p>
字中，使三行，一列的和都等于
18
【考点】复合型数阵图
【难度】
5
星
【题型】填空
【关键词】走美杯，
3
年级，初赛
【解析】
三
个答案均可
8
1
5
6
2
7
4
3
11<
/p>
5
10
7
9
6
1
4
2
8
3
10
9
11
7
1
4
10
5
2
8
11
6
3
< br>9