数列求前N项和方法总结(方法大全,强烈推荐)
叶蓁-
求数列
{a
n
}
的前
n
项和的方法
（
1
）倒序相加法
（
2
）公式法
此种方法主要针对类似等差数列中
此
种方法是针对于有公式可套的数列，如
a
n
a
1
a
n
1
<
/p>
a
2
,
具有这样特点的
等差、等比数列，关键是
观察数列的特点，找
数列．
出对应的公式．
例：等差数列求和
公式：
S
n
a
1
a
2
a
n
①等差数列：
a
1
(
a
1
d
)
[
a
1
(
n
1)
d
]
①
S
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
< br>
1)
n
2
na
1
2
d
把项的次序反过来，则：
na<
/p>
n
(
n
1)
S
n
n
a
n
(
a
n
< br>
d
)
[
a
n
(
n
1)
d
]
②
2
d
①
+
②得：
S
m
n
S
m
S
n
mnd
<
/p>
n
个
2
S
n
a
1<
/p>
a
n
(
a
1
a
n
)
(
a
1
a
n
)
<
/p>
S
n
S
n
n
m
S
m
n
2
m
(
n
2
m
,
m
,
n
<
/p>
N
*
)
n
(
a
1
a
n
)
②等比数列：
S
n
(
a
1
a
n
)
S
a
1
(
1
q
n
)
a
1<
/p>
a
n
q
n
2
n
1
q
1
q
；
(
q
1)
S
n
m
n
S
n
S
m
q
③
1+2+3+
……
< br>+n =
n
(
n
1)
2
；
1
2
2
2
3
2
<
/p>
n
2
1
6
n
(
n
1)(2
n
1)
1
3
2
3
3
3
n
3
(1
<
/p>
2
3
n
)
2
1
4
n
2
(
n
1)
2
（
3
）错位相减法
（
4
）分组化归法
此种方法主要用于数列
{
a
n
b
n
}
的求和，
此方法主要用于无法整体求和的数列，可
将其通项写成等比、等差等我们熟悉的数列分
其中
{
a
n
}
为等
差数列，
{
b
n
}
是公比为
q
的
别进行求和，再综合求出所有项的和．
等比数列，只需用
S
n
qS<
/p>
n
便可转化为等比
数列的求和，但要注意
讨论
q=1
和
q
≠
1
两
种情况．
例：试化简下列和式：
例：求数列
1
，
1
1
2
，
1
1
1
2
4
，……，
S
1
n
1
2
x
3
x
2
nx
n
(
x
0)
<
/p>
1
解：
①若
x=
1
，
则
S
n<
/p>
1)
1
n
=1+2+3+
…
+n =
n
(
2
< br>1
4
+
……
+
1
2
n
1
的和
.
2
解：∵
a
1
②若
x<
/p>
≠
1,
则
S
n
1
1
1
n
< br>1
2
x
3
x
2
nx
n<
/p>
1
2
4
2
n
1
xS
n
n<
/p>
x
2
x
2
3
x
3
nx
1
< br>
(
1
)
n
2
2
1
两式相减得：
1
1
2
n
1
2
(1
x
)
S
n
1
x
x
2
+
…
+
x
n
< br>
1
nx
n
∴
S
1
1
n
1<
/p>
(1
)
(1
2
1
2
4
)
1
x
n
1
x
nx
n
(1
1
2
1
< br>4
1
2
n
1
)
1
x
n
∴
S
nx
n<
/p>
n
(1
x
)
2
1
x
(2
1)
(2
1
1
2
)
(2
2
2
)
(2
1
2
n
1
)
2
n
(1
1
< br>1
1
2
4
2
n
1
)