斐波那契数列 Microsoft Word 文档
保护环境的重要性-
斐波那契数列
编辑
斐
波那契数列
，又称
黄金
分割数列，指的
是这样一个数列：
1
、
1
、
2
、
3
< br>、
5
、
8
、
13
、
21
、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：
F0=0
，
F1=1
，
Fn=F(n-
1)+F(n-2)
（
n>=2
，
n
∈
N*
）在现代
物理、准晶体结构、化学等
领域，
斐波纳契数列都有直接的应用
，
为此，
美国数学会从
1963
起出版了以
《斐
波纳契数列季刊》为名的一份
数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。
中文名
斐波那契数列
外文名
Fibonacci
Sequence
别
名
黄金分割数列
所属学科
数论
目录
1
定义
2
通项公式
▪
递推公式
▪
通项公式
▪
通项公式的推导
3
与黄金分割
▪
关系
▪
证明
4
特性
▪
平方与前后项
▪
与集合子集
▪
奇数项求和
▪
偶数项求和
▪
平方求和
▪
隔项关系
▪
两倍项关系
▪
其他公式
5
应用
▪
生活中斐波那契
▪
黄金分割
▪
杨辉三角
▪
质数数量
▪
尾数循环
▪
自然界中巧合
▪
数字谜题
6
推广
▪
斐波那契—卢卡斯数列
▪
广义斐波那契数列
7
相关数学
▪
排列组合
▪
兔子繁殖问题
▪
数列与矩阵
8
斐波那契弧线
1
定义
编辑
斐波那契数列指的是这样一个
数列
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,
89, 144,
233
，
377<
/p>
，
610
，
98
7
，
1597
，
2584
，
4181
，
6765
，
10946
，<
/p>
17711
，
28657
，
46368
特别指出：第
0
项是
0
，第
1
项是第一个
1
。
这个数列从第二项开始，每一项都等于前两项之和。
<
/p>
斐波那契
数列
的发明者，是
意大利
数学家
列昂纳多〃斐波那契
< br>（
Leonardo
Fibonacci
），
自然中的斐波那契数列
生于公元
1170
年，
卒
于
1250
年，籍贯是
比萨
。他被人称作“比萨的
列昂纳
多
< br>”。
1202
年，他
撰写
了《算盘全书》（
Liber Abacci
）一书。他是第一个研究
了
印度
和
阿拉伯
数学理论的
欧洲
人。
他的
父亲
被
< br>比萨
的一家商业团体聘任为外交
领事，
< br>派驻地点相当于今日的
阿尔及利亚
地区，
列昂纳多因此得以在一个
阿拉伯
老师的指导下研究数学
。他还曾在
埃及
、
叙利亚
、
希腊
、
西西里
和
普罗旺斯
等地
研究
数学
。
2
通项公式
编辑
递推公式
斐波那契数列：
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,
13, 21, 34, 55, 89, 144,
...
[1]
如果设
F(n
）
为该数列的第
n
项
（
n
∈
N*
），那么这句话可以写成如下形式：
[1]
显然这
是一个
线性
递推数列。
[1]
通项公式
(
如上，又称为“比内公式”，是用
无理数<
/p>
表示
有理数
的一个范例。
)
注：此时
a1=1
，
a2=1
，
an=a(n-1)+a(n-
2)
（
n>=3,n
∈
N*
）
通项公式的推导
[2]
方法一：利用特征方程（
线性代数
解法）
线性
递推数列
的
特征方程
为：
X^2=X+1
解得
X1=(1+
√
5)/2,
X2=(1-
√
5)/2.
则
F(n)=C1*X1^n +
C2*X2^n
∵
F(1)=F(2)=1
∴
C1*X1 +
C2*X2=C1*X1^2 + C2*X2^2=1
解得
C1
=1/
√
5
，
C2=-1/
√
5
∴
F(n)=(1/
√
5)*{[(1+
√
5)/
2]^n - [(1-
√
5)/2]^n}
< br>【√
5
表示根号
5
】
方法二：
待定系数法<
/p>
构造
等比数列
1
（初等代数解法）
设常数
r
，
s
。
使得
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)
]
。
则
r+
s=1
，
-rs=1
。
n
≥
3
时，有。
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
。
F(n-1)-r*F(n-2)=s*
[F(n-2)-r*F(n-3)]
。
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
。<
/p>
……
F
⑶
-r*F
⑵
=s
*[F
⑵
-r*F
⑴
< br>]
。
联立以上
n-2
个式子，得：
F(n
)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F
⑵
-r*F
⑴
]
。
∵
s=1-r
，
F
⑴
=F
⑵
=1
。
上式可化简得：
F(n)=s^(n
-1)+r*F(n-1
）。
那么：
F(n)=s^(n-1)+
r*F(n-1
）。
=
s^(n-1) + r*s^(n-2) +
r^2*F(n-2
）。
=
s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +
r^3*F(n-3
）。
……
= s^(n-1) +
r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +
……
+
r^(n-2)*s + r^(n-1)*F
⑴。
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3)
+
……
+ r^(n-2)*s +
r^(n-1
）。
（这是一个以
s^(n-1
）为首项、以
r^(n-1<
/p>
）为末项、
r/s
为公比的
等比数列
的各项的和）。
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s
）。
< br>
=(s^n -
r^n)/(s-r
）。
r+s=1
，
-rs=1
的一解为
s=(1+
√
5)/2
，
r=(1-
√
5)/2
。
则
F(n)=
（√
5/5)*{[(1+
√
5)/2]^n - [(1-
√
5)/2]^n}
。
方法三：
待定系数法
构造
等比数列
2
（初等代数解法）
已知
a1=1,
a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3
），求数列
< br>{an}
的通项公式。
解
：设
an
-
α
a(n-1)=
β（
a(n-1)-
α
a(n-2
））。
得α
+
β
=1
。
αβ
=-1
。
构造方程
x^2-x-1=0
，
解得α
=(1-
√
5
)/2
，
β
=(1+
< br>√
5)/2
或α
=(1+
√
5)/2
，
β
=(1-
√
5)/2
。
所以。
an-(1-
√
5)/2*a(n-1)=(1+
√
5)/2*(a(n-1)-(1-
√
5)/2*a(n-2))=[(1+
√
5)/
2]^(n-2)*(a2-(1-
√
5)/2*a1)```
``````1
。
an-(1+
√
5)/2*a(n-1)=(1-
√
5)/2*(a(n-1)-(1+
√
5)
/2*a(n-2))=[(1-
√
5)/2]^(n-2)*
(a2-(1+
√
5)/2*a1)`````````2
。
由式
1
，式
2
，可得。
<
/p>
an=[(1+
√
5)/2]^(n-2
)*(a2-(1-
√
5)/2*a1)``````````
````3
。
an=[(1-
√
5)/2]^(n-2)*(a2-(1+
√
5)/2*a1)``````````````4
。
将式
3*(1+
√
5)/2-
式
4*(1-
√
5)/2
，
化简得
an=(1/
√
5)*{[(1+
√
5)/2]^n - [(1-
√
5)/2]^n}
。
方法四：母函数法。
对于
斐波那契数列
{a(n)}
，有
< br>a(1)=a(2)=1,a(n)=a(n-1)+a(n-2)(n>2
时<
/p>
)
令
S(x)=a(1)x+a(2)
x^2+
……
+a(n)x^n+
……
。
那么有
S(x)*(1-x-x^
2)=a(1)x+[a(2)-a(1)]x^2+
……
+[
a(n)-a(n-1)-a(n-2)]x^n+
……
=x
.
因此
S(x)=x/(1-x-x^
2).
不难证明
1-x-x^2=-[x+(1+
√
5)/2][x+(1-
√
5)/2]=[1-(1-
√
5)/2*x][1-(1+
√
5)/2*x].
因此
S(x)=(1/
√
5)*{x/[1-(1+<
/p>
√
5)/2*x]-x/[1-(1-
√
5)/2*x]}.
再利用展开式
1
/(1-x)=1+x+x^2+x^3+
……
+x^n+
……
于是就可以得
S(x)=b(1)x+b(2)x^2+
……
+b(n)x
^n+
……
其中
b(n)=(1/
√
5)*{[(1+
√
5)/2]^n -
[(1-
√
5)/2]^n}.
因此
可以得到
a(n)=b(n)==(1/
√
5)*{[(1+
√
5)/2]^n -
[(1-
√
5)/2]^n}
3
与黄金分割
编辑
关系
有趣的是：
这样一个完全是
自然数
的数列，
通
项公式却是用
无理数
来表达的。
而且当
n
趋向于无穷大时，后一项与前一项的比值越来越逼近
黄金分割
0.618.
（或者说后一项与前一项
的比值小数部分越来越逼近
黄金分割
0.618
、前一项与
后一项的比值越来越逼近
黄金分割
0.618
）
1
÷
1=1
，
1
÷
2=0.5
，
2
÷
3=0.666...
，
3
÷
5=0.6
，
5
÷
8=0.625
，…………，
55
÷
89=0.617
977
…，…………
144
÷
233=0.618025
…
46368
÷
75025=0.6180339886
…
...
越到后面，这些比值越接近黄金比
.
证明
a[n+2]=a[n+1]+
a[n]
。
两边同时除以
a[n+1]
得到：
a
[n+2]/a[n+1]=1+a[n]/a[n+1]
。
若
a[n+1]/a[n]
的极限存在
，设其极限为
x
，
< br>则
lim[n->
；；∞
](a
[n+2]/a[n+1])=lim[n->
；；∞
](a[
n+1]/a[n])=x
。
所以<
/p>
x=1+1/x
。
即
x²=x+1
。
所以极限是黄金分割比
..
4
特性
编辑
平方与前后项
从第二项开始，每个<
/p>
奇数
项的
平方
都
比前后两项之积多
1
，每个
偶数
项的平
方都比前后两项之积少
1
。
如：第二项
1
的平方比它的前一项
1
和它的后一项
2
的积
2
少
1
，第三项
2
的平方比它的
前一项
1
和它的后一项
3
的积
3
多
1
。
（注：
奇数项和偶数项是
指项数的奇偶
，
而并不是
指数
列的
数字
本身的奇偶，
比如从数列第二项
1
开始数，
第
4
项
5
是奇数，
但它是偶数项，
如果认为
5
是奇
数项，那就误解题意，怎么都说不通）
证明
经计算可得：
[f(n)]^2-f(n-
1)f(n+1)=(-1)^(n-1)
与集合子集
斐波那契数列的第
n+2
项同时也代表了<
/p>
集合
{1,2,...,n}
中所有不<
/p>
包含
相邻正
整数
的
子集
个数。
奇数项求和
偶数项求和
平方求和
隔项关系
f(2n-2m-2)[f
(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n
〉
m
≥
-1
，且
n
≥
1]
两倍项关系
f(2n)/f(n)=f(n-1)+f(n+1)
其他公式
5
应用
编辑
生活中斐波那契
斐波那契数列中的斐
波那契数会经常出现在我们的眼前——
比如
松果、凤
梨、
树叶的排列、
某些花朵的花瓣数
（典型的有向日葵花瓣）
，
蜂巢，
< br>蜻蜓翅膀，
超越数
e
（可以推出
更多），黄金矩形、黄金分割、等角螺线，十二平均律等。
斐波那契数与植物花瓣
3
………………………百合和蝴蝶花
5
………………………蓝花耧斗菜、
金
凤花
、飞燕草、毛茛花
8
………………………翠雀花
13
………………………金盏
和玫瑰
21
………………………紫宛
34
、
55
、
89
……………雏菊
斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干
上选一片叶
子，记其为数
0
，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到
达与
那些叶子正对的位置，
则其间的叶子数多半是斐波那契数。
叶子从一个位置到达
下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一
个循回中
旋转
的圈数也是斐波那契
数。
在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为
叶序
（源自
希腊
词，
意即叶子<
/p>
的排列）比。多数的
叶序
比呈现为斐波那
契数的比。
黄金分割
随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近
黄金分割
的数值
0.6180339887..
…
杨辉三角
将
杨辉三角
左对齐，
成如图所示排列，
将同一斜行的数加起来，
即得一数列
1
、
1
、
2
、
3
、
5
、
8
、……
公式表示如下：
< br>f
⑴
=C(0,0)=1
。
f
⑵
=C(1,
0)=1
。
f
⑶
=C(2,0)+C(1,1)=1+1=2
。
f
⑷
=C(3,0)+
C(2,1)=1+2=3
。
f
⑸
=C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=1+3+1=5
。
f
⑹
=C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=1+4+3=8
。
F
⑺
=C(
6,0)+C(5,1)+C(4,2)+C(3,3)=1+5+6+1=13
。