斐波那契数列
柳岩电影-
斐波那契数列
斐波那契数列
< br>，又称
黄金
分割数列，指的是这样一个数列：
1
、
1
、
2
、
3
、
5
、
8
、
13
、
21
、
……
在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：
F0
=0
，
F1=1
，
Fn=F(n-1)+F(n-2)
（
n>=2
，
n
∈
N*
）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列
都有直接的应用，为
此，美国数学会从
1963
起出版了以《斐波纳契数列季刊》为
名的一份
数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。
定义
编辑
斐波那契数列指的是这样一个
数列
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233<
/p>
，
377
，
61
0
，
987
，
1597
，
2584
，
4181
，
6765
，
10946
，
17711
，
28657
，
46368
特别指出：第
0
项是
0
，第
1
项是第一个
1
。
这个数列从第二项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契
数列
的发明者，是
意大利
数学家
列昂纳多
·
斐波那契
（
Leonardo
Fibonacci
），
自然中的斐波那契数列
生于公元
1170
年，卒于
1250
年，籍贯是
比萨
。他被人称作
“
比萨的
列昂纳多
”
< br>。
1202
年，他
撰写
了《算盘全书》（
Liber Abacci
）
一书。他是第一个研究了
印度
和
阿拉伯
数学理
论的
欧洲
人。
他的
父亲
被
比萨
的一家商业团体聘任为外交领事，
派驻地点相当于今日
的
阿尔
及利亚
地区，
< br>列昂纳多因此得以在一个
阿拉伯
老师的指导下研究数学。
他还曾在
埃及
、
叙利
亚
、
希腊
、
西西里
和
普罗旺斯
等地研究
数学
。
2
通项公式
编辑
递推公式
斐波那契数列：
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,
13, 21, 34, 55, 89, 144,
...
[1]
如果设
F(n
）为该数列的第
n<
/p>
项（
n
∈
N*<
/p>
），那么这句话可以写成如下形式：
[1]
显然这是一个
线性
递推数列。
[1]
通项公式
(
如上，又称为
“
比内公式
”
，是用
无理数
表示
有理数
的一个范例。
)
注：此时
a1=1
，
a2=1
，<
/p>
an=a(n-1)+a(n-2)
（
n
>=3,n
∈
N*
）
< br>
通项公式的推导
方法一：利
用特征方程（
线性代数
解法）
线性
递推数列
的
特征
方程
为：
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2,
X2=(1
-
√5)/2.
则
F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n
∵
F(1)=F(2)=1
∴
C1*X1 +
C2*X2=C1*X1^2 + C2*X2^2=1
解得
C1
=1/√5
，
C2=-
1/√5
∴
F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n
- [(1-
√5)/2]^n}
【<
/p>
√5
表示根号
5
】
方法二：
待定系数法
构造
等比数列
1
（初等代数
解法）
设常数
r
，
s
。
使得
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
。
则
r+s=1
，
-rs=1
。
n≥3
时，有。
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
。
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(
n-3)]
。
F(n-2)-r*F
(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
。
……
F
⑶<
/p>
-r*F
⑵
=s*[F
< br>⑵
-r*F
⑴
]
。
联立以上
n-2
个式子，得：
F(n)-r*F(n-1)=
[s^(n-2)]*[F
⑵
-r*F
⑴
]
。
∵<
/p>
s=1-r
，
F
⑴
=F
⑵
=1
。
上式可化简得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1
）。
那么：
F(n)=s^(n-1)+
r*F(n-1
）。
=
s^(n-1) + r*s^(n-2) +
r^2*F(n-2
）。
=
s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +
r^3*F(n-3
）。
……
= s^(n-1) +
r*s^(n-2) + r^2*s^(n-
3) +……+
r^(
n-2)*s +
r^(n-1)*F
⑴
。
= s^(n-1) + r*s^(n-2) +
r^2*s^(n-
3) +……+ r^(n
-2)*s +
r^(n-1
）。
（这是一个以
s^(n-1
）
为首项、
< br>以
r^(n-1
）
为末项、
r/s
为公比的
等比数列
< br>的各项的和）
。
=[s^(n
-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s
）。
=(s^n -
r^n)/(s-r
）。
r+s=1
，
-rs=1
的一解为
s=(1+√5)/2
，
r=(1-
< br>√5)/2
。
则
F(n)=
（
√5/5)*{[(1+√5)/2]
^n
-
[(1-
√5)/2]^n}
。
方法三：
待定系数法
构造
< br>等比数列
2
（初等代数解法）
已知
a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)
(n>=3
），求数列
{an}
的通项
公式。
解
：设
an-
αa(n
-
1)=β
（
a(n-1)-
α
a(n
-2
））。
< br>得
α+β=1
。
αβ=
-1
。
构造方程
x^2-x-1=0
，解得<
/p>
α=(1
-
√5)/2
< br>，
β=(1+√5)/2
或
α=
(1+√5)/2
，
β=(1
-
√5)/2
。
所以。
an-(1-
√5)/2*a(n
-
1)=(1+√5)/2*(a
(n-1)-(1-
√5)/2*a(n
-
2))=[(1+√5)/2]^(n
-2)*(a2-(
1-
√5)/2*a
1)`````````1
。
an-
(1+√5)/2
*a(n
-1)=(1-
√5)/2*(a(n
-1)-
(1+√5)/2*a(n
-2))=[(1
-
√5)/2]^(n
-2)*(a2-
(1+√5)/2*a
1)`````````2
。
由式
1
，式
2
，可得。
an=[
(1+√5)/2]^(n
-2)*(a2-(1-
√5)/2
*a1)``````````````3
。
an=[(1-
√5)/2]^(n
-2)*(a2-
(1
+√5)/2*a1)``````````````4
。
将式
3*(1+√5)/2
-
式
4*(1-
√5)
/2
，化简得
an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^
n
-
[(1-
√5)/2]^n}
。
方法四：母函数法。
对于
斐波那契数列
{a(n)}
，有
< br>a(1)=a(2)=1,a(n)=a(n-1)+a(n-2)(n>2
时<
/p>
)
令
S(x)
=a(1)x+a(2)x^2+……+a(n)x^n+……
。
那么有
S(x)*(1-x-x^2)=a(1)x+[a
(2)-
a(1)]x^2+……+[a(n)
-a(n-1)
-a(n-
2)]x^n+……=x
.
因此
S(x)=x/(1-x-x^2).
不难证明
1-x-x^2=-
[x+(1+√5)/2
][x+(1
-
√5)/2]=[1
-
(1-
√5)/2*x][1
-
(1+
√5)/2*x].
因此
S(x)=
(1/√5)*{x/[1
-
(1+√5)/2*x]
-x/[1-(1-
√5)/2*x]}.
<
/p>
再利用展开式
1/(1-x)=1
+x+
x^2+x^3+……+x^n+……
于是就可以得
S(x)=b(1)x+b(2)x^2+……+b(n)x^n+……
其中
b(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n
- [(1-
√5)/2]^n}.
因此可以得到
a(n)=b(n)==(1/√5)*{[(1
+√5)/2]^n
-
[(1-
√5)/2]^n}
3
与黄金分割
编辑
关系
有趣的是：这样一个完全是
自然数
的数列，通项公式却是用
无理数
来表达的。而且当
n
趋向于无穷大时，
后一项与前一项的比值越来越逼近
黄金分割
0.618.
（
或者说后一项与前一
项
的比值小数部分越来越逼近
黄金分割
0.618
、
前一项与后一项的比值越来越逼近
黄金分割
0.618
）
1÷<
/p>
1=1
，
1÷
2
=0.5
，
2÷
3=0.666...
，
3÷
5=0.6
，
5÷
8=0.625
，
…………
，
55÷89=0.617977…<
/p>
，
…………144÷233=0.618025…46368÷7
5025=0.6180339886…...
越到后面，这些比值越接近黄金比
.
证明
a[n+2]=a[n+1]+
a[n]
。
两边同时除以
a[n+1]
得到：
a
[n+2]/a[n+1]=1+a[n]/a[n+1]
。
若
a[n+1]/a[n]
的极限存在
，设其极限为
x
，
< br>则
lim[n->
；；
∞](a
[n+2]/a[n+1])=lim[n
->
；；
∞](a[n+1]/a[n])=x
。
所以
x=1+1/x
。
即
x²=x+1
。
所以极限是黄金分割比
..
4
特性
编辑
平方与前后项
从第二项开始，
每个
奇数
项的
平方<
/p>
都比前后两项之积多
1
，
每个
偶数
项的平方都比前后
两
项之积少
1
。
如：第二项
1
的平方比它的前一项
1
和它的后一项
2
的积
< br>2
少
1
，第三项
2
的平方比
它的前一项
1
和它的后一项
3
的积
3
多
1
。
（注：
奇数项和偶数项是指项数的奇偶
，而并不是
指数
列的
数字
本身的奇偶，比如从
数列第二项
1
< br>开始数，第
4
项
5
是奇数，但它是偶数项，如果认为
5
是奇数项，那就
误解
题意，怎么都说不通）
证明
经计算可得：
[f(n)]^2-f(n-1)f(n+1)=(-
1)^(n-1)
与集合子集
斐波
那契数列的第
n+2
项同时也代表了
集
合
{1,2,...,n}
中所有不
包
含
相邻正
整数
的
子集
个数。
奇数项求和
偶数项求和
平方求和
隔项关系
f(2n-2m-2)[f
(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n
〉
m≥
-1
，且
n≥1]
两倍项关系
f(2n)/f(n)=f(n-1)+f(n+1)
其他公式
5
应用
编辑
生活中斐波那契
斐波那契数列中的斐
波那契数会经常出现在我们的眼前
——
比如
松果、
凤梨、
树叶的排
列、某些花
朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越数
e
（可以推出更
多），黄金矩形、黄金分割、等角螺线，十二平均律等。
斐波那契数与植物花瓣
3………………………
百合和蝴蝶花
5………………………
蓝花耧斗菜、
金
凤花
、飞燕草、毛茛花
8………………………
翠雀花
13………………………
金盏
和玫瑰
21………………………
紫宛
34
、
55
、
89……………
雏菊
斐波那契数还可以在植物的叶、
枝、
茎等排列中发现。例如，
在树木的枝干上选一片叶
子，记其为数
0
，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那些叶子正对的位置，
则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。
叶子在一个循回中
旋转
的圈数也是斐波那契数。
在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称
为
< br>叶序
（源自
希腊
词，意即叶子的
排列）比。多数的
叶序
比呈现为斐波那契数的比。
黄金分割
随着数列项数
的增加，前一项与后一项之比越来越逼近
黄金分割
的数值
0.6180339887..…
杨辉三角
将
杨辉三角
左对齐，成如图所示排列，将同一斜行的数加起来，即得一数列
1
、
1
、
2
、
3
、
5
、
8
、
……
公式表示如下：
f
< br>⑴
=C(0,0)=1
。
f
⑵
=C(1,0)=1
< br>。
f
⑶
=C(2,0)+C(1,1)=1+1=2
。
f
⑷
=C(3,0)+C(2,1)=1+2=3
。
f
⑸
=C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=1+3+1=5
。
f
⑹
=C(
5,0)+C(4,1)+C(3,2)=1+4+3=8
。
F
⑺
=C(6,0)+C(5,1)+
C(4,2)+C(3,3)=1+5+6+1=13
。
……
F(n)=C(n-1,0)+
C(n-
2,1)+…+C(n
-1-m,m)
(m<=n-1-m)
质数数量
斐波那契数列的整除性与素数生成性
每
3
个连续的数中有且只有一个被
2<
/p>
整除，
每
4<
/p>
个连续的数中有且只有一个被
3
整除，<
/p>