斐波那契数列及其应用
刘和珍-
聊城大学
本科生毕业论文
题
目：斐波那契数列及其应用
专业代码：
070101
作者姓名：
学
号：
单
位：
指导教师：
年
月
日
目
录
前言
..
..................................................
...............................................
1
1
．斐波那契数
列
......................................
.......................................
1
1
.
1
斐波那契
.
………………………………
………
..
………………
....
…
...1
1
.
2
斐波
那契数列的引入
……………………………………
..
…
.
…
...
……
1
1
.
3
斐波
那契数列通项公式的若干推导
……
..
…………………
.
…
...
……
2
1
.
4
斐波那契数列性质及其简单证
.....
……
..
……………………
< br>.
…
...
……
9
1
.
5
< br>人体中与斐波那契数列有关的知识
...
…………………
..
…
.
……
……
10
2.
斐波那契数列与黄金
分割
.....................................
..............................11
2
.
1
何为黄金分割与黄金
分割数
..
………………
..
……………………
..
…
11
2
．
2
二者之间的联系
..
………………………………………………
………
12
2
．
3
黄金分割律在股市中的运用
.....
< br>………………………………………
.12
3.
斐波那契数列在生活中应用
.
...
………
.....
…………………
.
………
13
3
．
1
斐波那契数列在几
何上的应用
......
……………………………………
13
3
．
2
斐波那契数列在生物学上的应用
..........
………………………………
14
3
< br>．
3
斐波那契数列在城市交通道路规划上的应用
..............
………………
1
5
结论
.........
…………
……………………………………
.
…………
16
参考文献
........
.....
……………………………………
.
< br>……………
17
致谢
…………
…
.....................
………………
……………
.
………
18
1
摘
要
<
/p>
斐波那契数列自问世以来
,
不断显示出它
在数学理论和应用上的重要作用。
而
且斐波那契数列在现代物理
、准晶体结构、生物、交通、化学等领域都有直接的
应用．这个数列既是数学美的完美体
现．又与许多数学概念有着密切的联系，很
多看上去似乎彼此独立的数学概念，通过斐波
那契数列，人们发现了其中的数学
联系．从而进一步激发了人们探索数学的兴趣．对数学
的认知更加系统化。因此
对斐波那契数列的研究是一项非常重要的研究，它不仅能给各个
学科带来很好的
用处，
它也会对我们的生活产生长远的影响，<
/p>
斐波那契数列的前景是不可估量的。
关键词
：斐波那契数列
;
黄金分割
;
斐波那契数列在生活中的应用
1
Abstract
Fibonacci sequence since its advent,
continuously demonstrated its important role in
mathematical theory and applications.
And Fibonacci slope is satisfied that lease series
in modern physical, and quasi crystal
structure, and bio, and traffic, and chemical,
area
are has directly of application.
this series is mathematics us of perfect
reflected. and
and many mathematics
concept has close of contact, many looks seems to
each other
independent of mathematics
concept, by Fibonacci wave that lease series,
people found
has which of mathematics
contact. to further fired has people exploration
mathematics
of interest. on mathematics
of cognitive more systematic. On the study of the
Fibonacci sequence is a very important
study, it can bring to all disciplines very well
not only useful, it will have a long-
term impact on our lives and prospects of the
Fibonacci sequence are incalculable.
Keywords: Fibonacci series
The golden section
Application of the Fibonacci
sequence in the life
2
斐波那契数列及其应用
前
言
大到整个宇宙空间到小到分子原子，从时间到空间，从自然到人类社会，政
< br>治、经济、军事等，各种现象中的规律都能找到斐波那契数的踪迹
,
斐波那契数列
还是数学中的一种重要的特殊数列
,<
/p>
在生产生活中有着重要的应用
.
本文通过
具体
的例题对斐波那契数列的性质及其应用作了详细探讨和分析
.
1
．斐波那契数列
1
．
1
斐波那契
数学家列昂纳多·斐波那契（
Leonardo
Fibonacci
，生于公元
117
0
年，
卒于
1240
< br>年，
）是斐波那契数列的发明者。籍贯大概是比萨，因此，他被人
称作“比萨的列昂纳多”。
他于
1202
年，
撰写了
《珠算原理》
（
Liber
Abacci
）
一书。据史料记载，他是第一个研究印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。
他早
年随父在北非从师阿拉伯人习算，后又游历地中海沿岸诸国，回意大利后即写成
《算经》（
Liber
Abac·
1202
，亦译作《算盘书》）。《算经》最大的功绩是系
统介绍印度记数法，影响并改变了欧洲数学的面貌。斐波那契其他数学著作还有
《平方数书》（
VLiberQuadratorum
，<
/p>
1225
）、《花朵》（
Flos
，
1225
）等，前
者专论二次丢番图方程，
后者内容多为菲德里克
（
Frederick
）
二世宫廷数学竞赛
问题，
其中包含一个三次方程
/
十
2x2
十
10x
～－
20
求解，
斐波那
契论证其根不能
用尺规作出（即不可能是欧几里得的无理量），他还未加说明地给出了该
方程的
近似解（
J
一
< br>1
．
36880810785
）。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和
普罗旺斯研究数学。
1.2
斐波那契数列的引入
---
---
兔子问题
斐波那契数列又因数
学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故
又称为“兔子数列”。
1
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一
对
小兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：
第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对
两个月后，生下一对小兔对数共有两对
三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是
三对
依次类推可以列出下表：
经过月数
0
1
2
3
4
5
6
幼仔对数
1
0
1
1
2
3
5
成兔对数
0
1
1
2
3
5
8
幼仔对数
=
前月成兔对数
成兔对数
=
前月成兔对数
+
前月幼仔对数
总体对数
=
本月成兔对数
+
本月幼
仔对数
可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个
数列。这个数列有关
十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。这个数
列是意大利
中世纪数学家斐波那契在
<
算盘全书
>
中提出的，称为斐波那契数列．这个数列从
第三项开始，每一项都等于前两项之和。所以斐波那契数列的定义为：
数列
错误！未找到引用源。
满足
错误！未找到引用源。
;
错误！未找到引用源。
则称此数列
为斐波那契（
Fibonacci
）数列
很有趣的是：
这样一个完全是自然数的数列，
通项公式居然是用无理数来表达的。
它的通项公式为：
7
8
8
9
10
11
12
89
144
13
21
34
55
13
21
34
55
89
总体对数
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
1.3
斐波那契数列通项公式的若干
推导方法
推导方法
1
先求满足递推关系
错误！未找到引用源。
错误！
未找到引用源。
的等比数列
错误！未找到引用源。
，其中
错误！未找到引用源。
。于是（
1
）变形
为
错误！未找到引用源。
整理为
错误！未找到引用源。
用求根公式可解得<
/p>
2
可见，满足条件（
1
）的等比数列有两个公比
错误！未找到引用源。
和
错误！未
找到引用源。
< br>如果等比数列
错误！未找到引用源。
满足条件
错误！未找到引用源。
则公比
为
< br>1
，即不等于
错误！未找到引用源。
，因此不可能满足条件（
1
）
。但
是，如果将
满足条件（
1
）的两个等比
数列
错误！未找到引用源。
与
错误！未找到引用源。
逐项相加得到数列
错误！未找到引用
源。
=
错误！未找到引用源。
=
错误！未找到引用源。
（
2
）
则数列（
2
）仍满足条件（
1
）
，如果能适当选择
a
，
b
使
错误！未找
到引用源。
即
错误！未找到引用源。
（
3
）
则
错误！未找到引用源。
就符合斐波那契数
列
错误！未找到引用源。
所满足的所
有
条件。容易看出，满足条件的斐波那契数列
错误！未找到引用源。
是唯一的。
因此满足条件（
3
）的<
/p>
a
，
b
决定的数
列（
2
）就是所求的斐波那契数列。
由于
错误！未找到引用源。
,
所以可以将条件（
3
）看成以
a
，
b
为未知数的二
元一次方程组，解之得
a=
错误！未找到引用源。
，
b=<
/p>
错误！未找到引用源。
从而
错误！未找到引用源。
.
又由于
错误！未找到引用源。
，
因此
错误！未找到引用源。
.
所以这里得到了斐波那契数列的通项公式
推导方法
1
的关键是：满足条件（
1
）的两个等比数列
错误！未找到引用源。
仍满足条件（
1
）
（
错误！未找到引用源。
一般不
再是等比数列）
，适当选择
错误！
3
未找到引用源。
的前两项都等于
1
。
推导方法
2
初等代数法
已知
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
首先，构建等比数列
设
错误！未找到引用源。
化简得
与
式（
1
）比较系数可得：
不妨设
错误！未找到引用源。
解得
错误！未找到引用源。
所以有
错误！未找到引用源。
，即
错误！未找到引用源。
为等比数列。
求出等比数列
错误！未找到引用源。
由以上可得：
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
变形得：
错误！未找到引用源。
。令
错误！未找到引
用源。
求数列
错误！未找到引用源。
进而得到
错误！未找到引用源。
设
错误！未找到引用源。
，解得
错误！未找到引用源。
。故数列
错误！未找到引用
源。
为等比数列
即
错误！未找到引用源。
。而
错误！未找到引用源。
，故有
4
又有
错误！未找到引用源。
和
错误！未找到引用源。
可得
错误！未找到引用源。
得出
错误！未找到引用源。
表达式
至此，我们就推导出了斐波那契数列的通项公式。
推导方法
3
大家都知道斐波那契数列的性质是从第三项开始，
后面每一项是前
面两项的和，即数列要满足式（
1
）的条件，而式（
1
）属于线性递归数列，此数
列有其一般的表
达式为：
式（
4
）变形为：
5
由于
错误！未找到引用源。
因此：
6