黄金分割与斐波那契数列
小酒窝吉他谱-
第八讲
黄金分割与斐波那契数列
一、
黄金分割
1.
黄金分割的概念
把一条线段分割为两
部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是
（√
5-1
）
：
2
，取其小数点后三位的近似值是
0.618
。由于按
此比例设计的造型十分美丽柔和，因
此称为
黄金分割
，也称为
中外比
。这是一个十分有趣的数字。
德国天文学家开普勒（
< br>）曾说“几何学有两大宝藏，其一为毕氏定理，其二为将一
线段分成外内比。前者
如黄金，后者如珍珠。
”
所谓将一线
段分成“中外比（或称中末比或外内比）
”
，这是欧几里得在《
几何原本》
（公元
前三世纪前后）里的说法：
< br>
A straight line is said to have
been cut in extreme and mean radio when, as the
whole line is to the
greater segment,
so is the greater to the less.
分一线段为二线段
，
当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，
则称此线段被分
为中外比。
关于黄金分割的历史，可以追溯到公元前
6
世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们已经研究过
正五边形和正十边形的作图，
因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至
掌握了黄
金分割。公元前
4
世纪，古希
腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理
论。而《几何原本》是
吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的
有关黄金分割的
论著。中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学帕乔利称之为神圣比
例，并专
门为此著书立说。德国天文学家开普勒称之为神圣分割。当时，人们都还是称之为“中
外
比”
，直到
19
世纪初，黄金分割这个
名称才出现。
黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧
洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为“金
法”
，
17
世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为“各种算法中最可宝贵的算法”
。这种算法在印度称
之为“三率法”或“三数法则”
，也就是我们常说的比例方法。
其实有关“黄金分割
”
，中国也有记载。虽然没有古希腊的早，但它是中国古代数学家独立
< br>创造的，
后来传入了印度。
经考证，
欧洲的比例算法是源于中国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，
而不是直接从古希腊传
入的。
2.
黄金分割的尺规作图
设线段为
AB
。作
BD
⊥
AB
，且
BD
AB
，
连
AD
。以
D
为圆心，
DB
为半径作圆弧，交
1
2
AC
5
1
。故
C
即为
AB
的
AD
于
E
。再以
A
为圆心，
AE
为半径作圆弧，交
AB
于
C
，则
黄金分割点，如图
8-1
所示。
AB
2
图
8-1
黄金分割点
3.
黄金三角形与正五边形
b
所谓黄金三角形是一个等腰三角形，其腰的与底的长度
比为黄金比。我们若以底边为一腰作一个等腰三角形，则此
<
/p>
三角形亦为一黄金三角形，如图
8-2
。
图中三种不同长度的
线段，其中最长的线段
< br>a
与次长的线段
b
比是黄金分割
，次长
的线段
b
与最短的线段
c
也是黄金比例。
古希腊时代有个毕达哥拉斯为首的哲学家与数学家组织，
图
8-2
黄金比例
他们以一个在外面围上正五边形的五角星作为他们毕氏学派
<
/p>
的标志。五角星是非常美丽的，我国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星。
不难
发现五角星内部又隐藏着一个正五边形，
画出这个五边形的
对角线，
就产生一个小的倒五角星形，
其内部也包含一个更小的
五边形，
再画出它的每条对角线又可得到一个小小的五角星形……这个
< br>过程可以不断地进行下去。但最令毕氏学派对五角星形着迷的并不是它能够自我复制的特性，而
< p>是隐藏在它线条之内的“黄金比例”
：所有线段之间的长度关系都是符合黄
金分割比的。
图
8-3
中任两条交叉的对角线，
都被对方切成两段不等长的线段，
而整段对角线与长段的比值，恰好就是
长段与短段的比值。这个比值
正是黄金比值
< br>。而图中的两条同顶点的对角线将另一条和他们相交
的对角线黄金分割于两交点。
图
8-3
五角星
再
仔细观察一下，不难发现在这五边星形中充满了大大小小的黄金三角形。其实正五边形对
角线连满后出现的所有三角形，都是黄金三角形。
a
c
黄金三角形还有一个特殊性，
所有的三角形都可以用四个与其本身全
等的三角形来生成与其
本身相似的三角形，
但黄金三角形是唯一
一种可以用
5
个而不是
4
个与其本身全等的三角形来生
成与其本身相似的三角形。
4.
黄金矩形
黄金矩形（
Golden
Rectangle
）是长宽之比为黄金分割率
的矩形。黄金矩形（
ABCD
）可以被分为一个正方
形及一个
小的黄金矩形
(
FDCE
)
如图
8-4<
/p>
所示。这个小的黄金矩形又可
A
F
D
B
E
C
以再分成一个正方形和一个更小的黄金矩形。
图
8-4
黄金矩形
5.
黄金分割在各领域中的应用
黄金分
割在建筑、文艺、工农业生产和科学实验等领域都有着广泛而重要的应用。
※
建筑艺术
黄金分割被认为是建筑和艺术中最理想的比例。建筑师们对数字
0.618
特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法<
/p>
国埃菲尔铁塔，都有与
0.618
有关的
数据。还有，日常生活中我们看到的大
多数门窗的宽长之比也是
0.618
。
如图
< br>8-5
：巴黎圣母院的正立面的宽度和高度之比为
0.6
18
。
图
8-5
巴林圣母院
※
绘画及雕塑作品
艺术家们发现，
按
0.618:1
来设计腿长与身高的比例
，
塑造出的人体身
材最优美，而现今的女性，腰身以下的长度平
均只占身高的
0.58
，因此古
希腊维
纳斯女神塑像及太阳神阿波罗的形象都通过故意延长双腿，
使之与身
高的比值为
0.618
，从而创造艺术美。
黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦。在很多艺术品中都能
图
8-6
维纳斯女神
找到它。达·芬奇的《维
特鲁威人》符合黄金矩形；
《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩
< br>形；
《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局。
※
人体美学
人体美学观察受到种族、社会、个人各方面因素的影响，牵涉到形体与精神、局部与整体
的
辩证统一，只有整体的和谐、比例协调，才能称得上一种完整的美。
< br>
0.618
，以严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏
着丰富的美学价值。为什么人们对这样的
比例，会本能地感到美的存在？其实这与人类的
演化和人体正常发育密切相关。据研究，从猿到
人的进化过程中，人体结构中有许多比例
关系接近
0.618
，从而使人体美在几十万年的历史积淀
中固定下来。人类最熟悉自己，势必将人体美作为最高的审美标准，凡是与人体相似的物体就
喜
欢它，就觉得美；于是黄金分割律作为一种重要形式美法则，成为世代相传的审美经典
规律，至
今不衰！在研究黄金分割与人体
关系时，发现了人体结
构中有
14
个
“黄金点”
（物体短段与长段之
比值为
0.618
）
，
12
个“黄金矩
形”
（宽与长比值为
0.618
的长
方形）
。
分析
（
1<
/p>
）黄金点：
①髋骨：头顶－足底之分割
点
②咽喉：头顶－肚脐之分割点
③膝关节：肚脐－足底之分割点
④肘关节：肩关节－中指尖之分割点
⑤乳头：躯干—乳头纵轴上之分割点
图
8-7
黄金比例
⑥眉间点：发际－颏底间距上
1/3
与中下
2/3
之分割点
⑦鼻下
点：发际－颏底间距下
1/3
与上中
2
/3
之分割点；⑾唇珠点：鼻底－颏底间距上
1/3
与中下
2/3
之分割点
⑧颏唇沟正路点：鼻底－颏底间距下
1/3
与上中
2/3
之分割点
⑨左口角点：口裂水平线左
1/3
与右
2/3
之分割点
⑩右
口角点：口裂水平线右
1/3
与左
2/
3
之分割点。面部黄金分割律面部三庭五眼
< br>（
2
）黄金矩形：
①躯体轮廓：肩宽与臀宽的平均数为宽，肩峰至臀底的高度为长
②面部轮廓：眼水平线的面宽为宽，发际至颏底间距为长
③鼻部轮廓：鼻翼为宽，鼻根至鼻底间距为长
④唇部轮廓：静止状态时上下唇峰间距为宽，口角间距为长
⑤、⑥手部轮廓：手的横径为宽，五指并拢时取平均数为长
<
/p>
⑦、⑧、⑨、⑩、⑾、⑿上颌切牙、侧切牙、尖牙（左右各三个）轮廓：最大的近远中径为
宽，齿龈径为长。
※
舞台表演
舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧。因为站在舞台长度的黄金
分
割点的位置最美观，声音传播的最好。
又如芭蕾舞演员在表演时不时地掂起脚尖。这是因为虽然芭蕾舞演员的身段是苗条的，但下
< br>半身与身高的比值也只有
0.58
左右，演员在表演时掂
起脚尖，身高就可以增加
6-8cm.
这时比值
就接近
0.618
了，给人以更为优美的艺术形象。这
也是为什么许多姑娘都愿意穿高跟鞋的秘密所
在。
※
音乐
<
/p>
音乐家发现，
二胡演奏中，
“千金
“分弦的比符合
0.618
∶
1
时，
奏出来
的音调最和谐、
最悦耳。又如：小提琴柄和琴身符合黃金比例
(
如图
8-8
）
；
等等。
※
植物界
有些植茎上，两张相邻叶柄的
夹角是
137
°
28'
，这恰好是把圆周分成
图
8-8
小提琴
1:0.618
的两条半径的夹角。据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。植物叶子，千
姿百态，生机盎然，给大自然带来了美丽的绿色世界。尽管叶子形态随种而异，但它在茎上的排
列顺序（称为叶序）
，却是极有规律的。有些植物的花瓣及主干上枝条的
生长，也是符合这个规
律的。你从植物茎的顶端向下看，经细心观察，发现上下层中相邻
的两片叶子之间约成
137.5
°
角。
如果每层叶子只画一片来代表，第一层和第二层的相邻两叶之间的角度差约是
137.5
°，以
后二到三层，三到四层，四到五层……两叶之间都成这个
角度。植物学家经过计算表明：这个角
度对叶子的采光、
通风都
是最佳的。
叶子的排布，
多么精巧！
叶
子间的
137.5
°角中，藏有什么“密码”呢？我们知道，一
周是
360
°，
360
°
-137.5
°
=222.
5
°，而
137.5
∶
222.5
≈
0.618
。瞧
，这就是“密码”
！
叶子的精巧而神奇的排布中，
竟然隐藏着
0.618
的比例。
并且叶子中主
叶脉与叶柄和主叶脉的长度之和比也约为
0.
618
。
图
8-10
叶子
※
动物界