数列相关知识
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数列相关知识
一、斐波那契数列
1
、斐波那契数列发明人
斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多
·
斐波那契（
Leonardo Fibonacci
，
生于公元
1170
年，
卒于
1240
年，
籍贯大概是比萨）
。
斐波那契数列又称黄金分割数列，
还
称兔子数列。
2
、斐波那契数列
斐波那契数列指的是这样一个数列
：
1
、
1
、<
/p>
2
、
3
、
5
、
8
、
13
、
21
、
34
、
55
、
89
……
3
、斐波那契数列特点
⑴从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
⑵从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多
1
，每个偶数项的平方都比前
后两项之积少
1
。
（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇
偶，比如第五项的平方比前后两项之积多
1
，第四项的平方比前后两项之积少
1
）
⑶随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值
0.6180339887
……
4
、斐波那契数列通项公式
1
1
5
< br>1
5
通项公式为：
a
n
2
2
5
有趣的是：这样
一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
5
、奇妙的属性
⑴斐波那契数与植物花瓣
3
………………………
百合和蝴蝶花
5
………………………
蓝花耧斗菜、金凤花、
飞燕草
8
………………………
翠雀花
13
……
…………………
金盏草
21
………………………
紫宛
34
、
55
、
89
……………
雏菊
在大自然中要找到一朵
4
个或者
7
个花瓣的花品种是很难的。
⑵斐波那契数与树木的生长
树木的生
长，由于新生的枝条，往往需要一
段
“
休息
”
时间，
供自身生长，
而后才能萌发新枝。
所以，
一株树苗在一段间隔，
例如一年，
以后长
出一条新枝；
第二年新枝
“
休息
”
，
老枝依旧萌发；
此后，
老枝与
“
休息
”
过一年的枝同时萌发，
当年
生的新枝则次年
“
休息
”
。
这样，
一株树木各个年
份的枝桠数，便构成斐波
那契数列。这个规律，
就是生物学上著名的
“
< br>鲁德维格定律
”
。
⑶斐波那契数列与兔子
假设一对兔子
每隔一个月生一对一雌一雄的
小兔子，
每对小兔子在两个月以后
也开始生一对
一雌一雄的小兔子，
每月一次，
< br>如此下去。
年初
时兔房里放一对大兔子，
问一年以后，
兔房内共
有多少对兔子？
n
n
13
8
5
3
2
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子
每个月能生出一对小兔子来。
如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？<
/p>
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：
第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对；
两个月后，生下一对小兔，总数共有两对；
三个月以后，老兔子又生下一对，
因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对；
－－－－－－
依次类推可以列出下表：
经过月数：
---1---2---
3---4---5---6---7---8---9---10---11---12
兔子对数：
---1---1---2---3---5---
8--13--21--34--55--89--144
表中数字
1
，
1
，
2
，
3<
/p>
，
5
，
8
－－－构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，
那是：前面相
邻两项之和，构成了后一项。
<
/p>
这个特点的证明：
每月的大兔子数为上月的兔子数，
每月的小兔子数为上月的大兔子数，
即上上月的兔子数，相加。
⑷斐波那契数列与台阶
有一段楼梯有
10
级台阶
,
规定每一步只能跨一级或两级
,
< br>要登上第
10
级台阶有几种不同
的走法
?
这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；
登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法
……
1
，
2
，
3
，
5
，
8
，
13
……
所以，登上十级，有
89
种走法。
6
、斐波那契数列的应用
一位魔术师拿着一块边长为
8
英尺的正方形地毯，
对他的地毯匠朋友说：
“
请您把这块地
毯分成四小块，
再
把它们缝成一块长
1
3
英尺，宽
5
英尺的长方形地毯。
”
这位匠师对魔术师算术之差深感惊异，因为商者之间面
积相差达一平方英尺呢！可是魔术师竟让匠师用图
2
和
图
3
的办法达到了他的目的！
这真是不可思议的事！
亲爱的读者，
你猜得到那神奇的一
平方英尺究竟跑到哪儿去呢？
为什么
64
＝
65
？
其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：
5
、
8
、
13
正是数列中相邻
的三项，事实上前后两块的面积确实差
1
，
只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人
不容易注意到。
二、国际象棋
国王为什么不能兑现他对国际象棋发明者的奖赏承诺？
印度的
舍罕王打算奖赏发明国际象棋的大臣西萨
•
班
< br>•
达依尔，
并问他想得到什么样的奖
赏，大臣说：
“
陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内赏给
我一粒麦子，在第二个小格内给
两粒，在第三个小格内给四粒，照这样下去，每一小格内
都比前一小格内的麦粒数加一倍，
直到把每一小格都摆上麦粒为止。并把这样摆满棋盘上
六十四格的麦粒赏给您的仆人。
”
国
王
认为这位大臣的要求不算多，就爽块地答应了。国王叫人抬来麦子并按这位大臣的要求，
在棋盘的小格内摆放麦粒：
在第一格内放一粒，
第二格内放两粒
，
第三格内放四粒
……
第十
格内放五百一十二粒，还没摆到第二十格，一袋麦子已经用光了。
国王这才
发现，
即使把全
国的麦子都拿来，
也兑
现不了他对这位大臣的奖赏承诺，
这位大臣所要求的麦粒数究竟是多
少呢？
这个问题可以分步探讨：
⑴这位大臣所要求的麦粒数大约是多少？