酒后血液中酒精含量分析模型
零件图-
酒后血液中酒精含量分析模型
摘要：
本文使用简单的微分方程组模型，对人们饮酒后人体血液中的酒精含量进行
了分析。
首先，针对酒精在消化系统和血液系统中的吸收、
分解和排除规律，建立了关
于消化系统和血液中的酒精含量的微分方程模型
（模型一）
，
求出了血液中酒精含量
k
1
m
的解析解
c
2
< br>(
t
)
(
e
k
1
t
e
k
2
t
)
，并利用题目给出的参考数据，针对不同的
V
(
k
2
k
1
)
啤酒瓶规格，使用非线性最小二乘法得
到模型中的参数
k
1
2
.
9129
和
k
2
0
< br>.
1380
；
然后，针对不同的饮酒方式建立了三个不同的描述消化系统和血液中的酒精含
量
的模型（模型二，模型三、模型四）
，
dx
1
dx
1
dt
k
1
x<
/p>
1
dt
J
k
1
x
1
dx
2
k
x
k
x
1
1
2
2
dt
dx
模型二
模型三
2
k
1
x
1
k
2
x
2
< br>x
1
(
T
)
m
2
m
1
e
k
1
T
dt
k
m
x
1
(
0
)
0
,
x
2
(
0
)
<
/p>
0
x
(
T
)
1
1
(
e
k
1
T
e
k
2
T
)
2
<
/p>
k
k
2
1
dx
1
J
k
1
x
< br>1
dt
dx
模型四
2
k
1
x
1
k
2
x
2
dt
x
1
(
T
)
x
1
T
,<
/p>
x
2
(
T
)
x
2
T
利用这些模型对大李的困惑，给出了合理、准
确的解释，并分别求出了快速和
慢速喝
3
瓶啤酒和半斤
38
度白酒后不能驾车的准确时间分别为
13.7,
16.2,14.8,17.3
小时；在模型应用
3
中详细分析了饮酒后血液中酒精含量的峰值
问题，得到了几个
十分重要的结论：
定理
1
：
摄入同样容量酒精的前提下，
瞬间喝酒比均匀喝酒酒精含量降到低水平的
时间更短。
定理
2
：
饮酒后人体
血液中的酒精含量曲线为单峰曲线，即只有一个极大值；
推论
1
：瞬间喝酒时，达到酒精含量最大值的时间与酒精摄入量无关
，只与比例
常数
k
< br>1
和
k
2
有关，且时间为
t
*
ln
k
1
ln
k
2
；
< br>
k
1
k
2
推论
2
：慢速喝酒时
,
达到酒精含量最大值的时间与酒精摄入量无关<
/p>
,
只与比例常数
ln
e
k
2
1
ln
e
k
1
1
；
k
1
和
k
2
及饮酒持续时间
有关
,<
/p>
且时间为
t
*
k
2
k
1
最后，我们分析了周期性喝酒的，通过分析，我们得到的结果是只
要适当控制
饮酒量和饮酒次数，完全可以还能开车。
作为结束，我们写了一篇短文，作为对想喝酒的司机的忠告。
关键字：
非线性拟合的最小二乘法、微分方程组、峰值、酒精含
量
1
酒后血
液中酒精含量分析模型
一、问题的重述
我国的汽车保有量只
有世界的
2
％，道路交通事故中死亡的人数却占全世
界的
15
％。
2003<
/p>
年全国道路交通事故死亡人数为
10.4372
< br>万，其中因饮酒驾车
造成的占有相当大的比例。不久前，中国交通部公路司司长张
剑飞在全国公路
安全保障座谈会上坦言：
“
我国如果不尽早采取行之有效的措施，
道路交通事故
可能会
呈爆炸式增长。
”
针对这种严重的道
路交通情况，国家质量监督检验检疫局
2004
年
5
月
31
日发布了新的《车
辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新
标准规定，
< br>车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于
20
毫克／百
毫升，
小于
80
毫克／百毫升为饮酒驾
车（原标准是小于
100
毫克／百毫升）
，血液中的酒
精含量大于或等于
80
毫克／百毫升为醉酒驾车
（原标准是大于或等于
100
毫克
／百毫升）
。
<
/p>
大李在中午
12
点喝了一瓶啤酒，
下午
6
点检查时符合新的驾车标准，
紧接
着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，到凌晨
2
点才驾车回家，再次遭遇检查时却
被定为饮酒驾车，这让他既懊
恼又困惑，不知道为什么喝同样多的酒，两次检
查结果却会不同。
如何建立数学模型进行解释下列问题？
1.
对大李碰到的情况做出解释；
2.
在喝了
3
瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标
准，及在以下情况下回答：
1)
酒是在很短时间内喝的；
2)
酒是在较长一段时间（比如
2
小时）内喝的。
3.
怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。
4.
根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？
5.
根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，
给想喝一点酒的司机
如何驾车提出忠告。
参考数据
1.
人的体液占人的体重的
65%
至
70
%
，
其中血液只占体重的
7%
左右；
而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样
的。
2.
体重约
70kg
的某人在短时间内喝下
2
瓶啤酒后，
隔一定时间测量他
的血液中酒精含量（毫克／百毫升
）
，得到数据如下：
表
1
时间
(
小时
)
0.25
0.5
0.75
1
酒精含量
酒精含量
30
38
68
7
35
75
8
28
时间
(
小时
)
6
9
1.5
2
10
2.5
3
3.5
4
4.5
5
41
82
82
25
18
77
68
11
12
15
12
68
58
13
14
10
7
51
50
15
16
7
4
二、模型分析和假设
白酒和啤酒中都
含有适量的酒精，人们在饮酒的同时也摄入了酒精，酒精在人
体内的分解主要靠体内的两
种酶：乙醇托氢酶和乙醛托氢酶，前者将乙醇分解为乙
醛，而后者则将乙醛分解为二氧化
碳和水。但分解是一个缓慢的过程，没有被分解
2
的乙醛就会影响人的中枢神经系统，使人产生恶心呕吐、神志不清、昏迷不适甚至
死亡等现象。血液中酒精的含量越高，分解出的乙醛也就越多，对人的影响也就越
大。根据问题给出的参考数据，人的体液占人的体重的
65%
至
70%
，其中血液只占
体重的
7%
左右，
而酒精在血液中的含量与在体液中
的含量大体是一样的，
因此我们
认为，酒精通过消化系统吸收后
在血液循环系统中是均匀分布的。一个体重约
70kg
的某人在
短时间内喝下
2
瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量
（毫克／
百毫升）
，画出图形如图
1<
/p>
：
图
1
样本数据酒精含量图
从图形
中可以发现，一个人在短时间内（可以认为是瞬间）喝下啤酒后，血液
中的酒精含量将在
较短时间内达到最高值，然后逐渐降低，如果在酒精没有分解完
之前再喝酒，酒精含量会
在短时间内升得更高！酒精在消化系统和血液系统中的含
量随时间变化，因此，我们决定
用微分方程模型来分析两个系统中的酒精含量。
根据本文的需要，我们对下列概念作简单说明：
酒精含量：消化系统或血液系统中的酒精总量（单位：毫克）
酒精浓度：单位体积血液中的酒精含量（单位：毫克
/
百毫升）
；
酒精度：酒精在酒中所占的百分比；
瞬间喝酒：在短时间内把酒喝完，喝酒时间忽略不计；
喝慢酒：在指定时间内均匀喝酒。
我们提出以下合理的假设：
1
．在短时间内喝下若干酒，将被认为酒精在瞬间进入消化系统；
2
．在较长时间内喝下若干酒，将被认为酒精在该时间段内均匀进入
消化系统；
3
．忽略人对酒精的敏感
度以及对酒精的分解能力存在的个性化差异；
4
．不考虑酒后人的活动对酒精分解产生的影响；
5
．在酒精摄入和分解的过程中，人的体重、消化系统的容量、体液和血液系
统的容量均不发生改变；
6
．不考虑血液系统到消化系统中血液的回流对酒精浓度的影响；
7
．人体中体液约占人体重量的
65%
至
70%
，
血液含量占人体重量的
7%
，
本文
使
用体液约占人体重量的
65%
，并不考虑个体的差异；
8
．酒精均匀地分布于体液和血液系统中；<
/p>
9
．酒精从消化系统向体液的转移速率
与消化系统中酒精含量成正比；
10.
酒精从血液系统中向体外排除以及分解的速率与血液系统中的酒精含量成
正比；
3
11.
啤酒瓶的容量只有
640
毫升和
500
毫升两种规格，
酒精度在
< br>3.5%
至
5%
之间，
其他规格不考虑；
12.
题目中的参考数据具有一定代表性
三、符号说明
；
t
：时间
（单位：小时）
：每次喝酒的持续时间，
0
为瞬间喝酒；
T
：两次喝酒的间隔时间；
；
：酒精
度（单位：体积
/
体积）
d
：酒精的比重，
d
0.
8
；
m
：每次喝酒时酒精的摄入量；
V
：人体内血液系统的容量（单位：
100
毫升）
；
M
：人的体重（单位：千克）
；
：人体内血液的比重，一般为
1.05~1.06
之间，本文选用
1.0
6
；
J
(<
/p>
t
)
：消化系统中的酒精摄入速率，由喝
酒方式和喝酒量决定；
x
1
(
t
)
：
t
时刻人的消化系统中的酒精含量（单位：毫克）
；
；
x
2
(
t
)
：
t
时刻人的血液系
统中的酒精含量（单位：毫克）
c
1
(
t
)
：
t
时刻人的消化系统中的酒精浓度（单位：毫克
/100
毫升）
；
；
c
2
(
t
)
：
t
时刻人的血液系统中的酒精浓度（单位：毫克
/100
毫升）
k
1
< br>：酒精从消化系统向体液转移的速率与消化系统中的酒精含量的比例系数；
k
2
：酒精从血液系统向体外排除的速率与
血液系统中酒精含量的比例系数
:
人体中血液与体液质量的比值。
四、模型建立及求解
酒精进入机体后
由消化系统扩散到体液和血液送入到全身，在这个过程中不断
地发生被吸收、分布、代谢
及排泄等一系列过程，最终排出体外。快速喝完后，浓
度立即上升；然后由于吸收和分解
逐渐下降。我们将人的机体分成三个部分，即消
化系统、体液和血液系统，其中血液均匀
地分布在体液中。酒精通过喝酒进入消化
系统，部分经过分解化为二氧化碳和水，其他部
分进入体液和血液，进入血液中的
7
%
酒精量与进入体液中的酒精量的比值与体液和血液容量比值相等，比值
，
65
< br>%
消化系统中酒精含量的变化率由饮酒速率和向体液的排放速率构成，血液系统中
酒
精含量的变化率由酒精进入体液速率
和酒精从血液系统向外的排除和分解速率
4
构成，如图
2
所示。
消化系统
k
1
k
1
血液系统
体液
k
2
图
2
酒精的吸收、排除与分解图
根据问题的叙述，本文中我们将讨论短时间喝酒、较长时间喝
酒、间隔一段时
间后再次喝酒的情形，建立关于酒精含量的四个模型。
< br>
模型一、瞬间喝酒（
0
）情形及
k<
/p>
1
,
k
2
的估计
设
t
0
时刻酒精摄入量为
m
毫克
,
消化系统的酒精含量
x
1
t
变化率与
x
1
t
成正
比，即
dx
1<
/p>
k
1
x
1
dt
（
1
）
初值为
x
1
(
0
)
m
，血液系统中的酒精含量
x
2
t
< br>的变化率与
k
1
x
1
t
< br>和
x
2
(
t
)
成正比，比
例系数分别为
和
k
2
，根据假设可得
dx
2
<
/p>
k
1
x
1
k
2
x
2
（
2
）
dt
其中
为血液
与体液重量的比值。显然
x
2
(
0
)
0
，联合（
1
）式和（
2<
/p>
）式，得微分
方程组
< br>
dx
1
k
1
x
1
dt
dx
2
<
/p>
k
1
x
1
k
2
x
2
（
3
）
dt
x
1
(
0
)
m
,
x
2
(
0
)
0
求出其解析解
< br>
k
1
t
x
t
m
e
1
（
4
）
x
(
t
)
k
1
m
(
< br>e
k
1
t
e
k
2
t
)
2
k
2
k
1
通过适当变化，
即可得到血液系统中酒精浓度的模型
c
2
(
t
)
k
1
m
V
(
k
2
k
1
)
(
e
< br>k
1
t
e
k
2
t
)
（
5
）
5
其中
m
为
一次摄入的酒精量，
V
为人体血液系统的容量，由人的体重
M
、血液占体
重的比例（
< br>7%
）及血液的比重
组成，即
V
M
7
%
10
单位为百毫升。
根据问题中体重约<
/p>
70kg
（
V
46
.
2264
百毫升）
的某人在短时间内喝下
2
瓶
啤酒
后得到的血液浓度数据，利用非线性最小二乘法，可以求出模型中的参数
k
1
,
k
2
。由
于瓶装啤酒的规格不一致，而问题中没有给出规
格，因此我们选择了两种最常见的
规格（国际标准
500
毫升
/
瓶和我国常见规格
640
毫升
/
瓶）作为参考数据，
根据非线
性拟合的最小二乘法，
使用
M
ATLAB
中的函数
leastsq()
得到式
（
3
）
~
（
5
）
中的
k
1
,
k
2
不同的估计值和平方误差，程序见附录，具体估计结果见表<
/p>
2
，拟合效果见图（
3
< br>）
~
图（
10
< br>）
。
表
2
各种
规格下
k
1
,
k
2
的估计值及平方误差
酒精度
(
V
/
V
)
3.5%
3.5%
4%
4%
4.5%
4.5%
5%
5%
啤酒瓶
规格
(ml)
640ml
500 ml
640 ml
500
ml
640 ml
500 ml
640 ml
500ml
每瓶啤酒酒精
含量
(
毫克
)
17920
14000
20480
16000
23040
18000
25600
20000
k
1
2.9129
4.2554
2.3278
3.4882
1.8934
2.8918
1.5649
2.4244
k
2
0.1380
0.0990
0.1651
0.1186
0.1943
0.1388
0.2256
0.1599
平方<
/p>
对应拟合
误差
效果图
239.7
图
3
3455.2
图
4
326.6
图
5
1870.9
图
6
927.5
图
7
898.5
图
8
455.0
图
9
392.91
图
10
图
3
3.5%
、
640ml
图
4
3.5%
、
500ml
6
图
5
4%
、
640ml
图
6
4%
、
500ml
图
7
4.5%
、
640ml
图
8
4.5%
、
500ml
图
9
5%
、
640ml
图
10
5%
、
500ml
参照表
2
与
图
3~
图
10
，可以看出酒精度
3.5%
容量
640
毫升规格的啤酒具有更
小的平方误差和更好的拟合度，根据我们
的调查，该种规格是我国啤酒最常使用的
包装规格，这也说明问题中所给的参考数据也符
合我国的国情，所以我们采用该规
格啤酒得到的
k
1
,
k
2
< br>的估计值作为我们模型中的酒精转移速率的比例参数，即
k
1
2
.
9129
,
k
2
0
.
13
80
，
注：本文以后如没有特别说明
每瓶啤酒都是酒精度为
3.5%
和容量为
640
毫升
。
模型二、瞬间喝酒且在间隔时间
T<
/p>
后再次瞬间喝酒情形（
0
，
T
< br>o
）
假设第一次短时间内喝完
啤酒，即瞬间摄入酒精量为
m
1
，间隔
时间
T
后，如果
7
再次瞬间喝酒，酒精摄入量为
m<
/p>
2
，酒精的变化机理与模型一仍然是一致的，只是第
二次瞬间喝酒时消化系统和血液系统中可能仍含有剩余的酒精，酒精含量的初值将
发生变化，因此可得
t
T
时的酒精含量满足微分方程组
dx
1
dt
k
1
x
1
dx
2
k
x
k
x
1
1
2
2
dt
（
6
）
x
1
(
T
)
m
2
m
< br>1
e
k
1
T
k
m
x
2
(
T
)
1
1
(
e
k
1
< br>T
e
k
2
T
)
k
2
k
1
注意模型中的初值为
< br>x
1
(
T
)
和
x
2
(
T
)
由模型一中的（
< br>4
）式求出，由模型一给出的
k
1
和
k
2
估计
值，
可以针对任意给定的酒精摄入量
m
1
和
m
2
及间
隔时间
T
，
结合模型一，
可由数值方法求出酒精含量和酒精浓度的变化规律。
模型三、喝慢酒情形（
0
）
假定某人在时间
内喝下一定的啤酒或白酒，摄入的酒
精量为
m
，根据模型假
设，酒精均匀地
进入消化系统，进入速率为
m
1
J
0
0
t
< br>
t
（
7
）
消化系统中酒精含量的变化率由喝酒时酒精进入消化系统的速率
J<
/p>
和酒精从消
化系统到血液系统的转移速率共同决定，从而可以得到
消化系统中酒精含量的变化
率方程：
dx
1
J
k
1
x
1
dt
血液系统中酒精含量的变化率由酒精从消化系统到血液系统的转
移速率和从血
液系统向体外排除的速率共同决定，从而可以得到消化系统中酒精含量的变
化率方
程：
：
dx
2
k
1
x
1
<
/p>
k
2
x
2
dt
t
0
时，
x
1
(
0
)
0
,
x
2
(
0
)
0
，从而得到微分方程组
dx
1<
/p>
dt
J
k
1
x
1
dx
2
k
1
x
1
k
2
x
2
（
8
）
dt
x
1
(
0
)
0
,
x
2
(
0
)
0
8
可以求得其解析解
m
k
1
t
(
1
e
)
0
t<
/p>
k
x
1
(
t
)
1
m
k
1
(
e
1
)<
/p>
e
k
1
t
t
k
1
（
9
）
m
m
(
k
1
e
< br>
k
2
t
k
2
e
k
1
t
)
0
t
k
(
k
< br>k
)
k
2
2
1
2
x
(
t
)
2
m
k
2
e
k
1
< br>
1
e
k
1
t
k
1
e
k
2
1
e
k
2
t
t
< br>
k
(
k
k
)
2
2
1
也可以
使用
MATLAB
软件求出其数值解。
模型四、喝慢酒（
0
）
，并且在间隔时间
T
后再次喝慢酒
假定某人在时刻
t
0
开始，在
时间内喝下一定量的啤酒或白酒，摄入的酒
精
<
/p>
量为
m
1
，并且在总间隔时间
T
< br>后，即
t
T
< br>时刻再次喝下一定量的啤酒或白酒，摄入
的酒精量为
m<
/p>
2
，由模型三中的（
9
< br>）式，可以求出
t
从时刻
0
~
T
消化系统和血液系统
< br>中的酒精含量，
t
T
时的酒精含量的变化仍然满足模型三
，只是初
始值改变，由
模型三中的（
9
）式解出
t
T
时刻的
酒精含量为
x
1
(
T
)
m
1
k
1
<
/p>
(
e
1
)
e
k
1
T
k
1
x
2
(
T
)
m
1
k<
/p>
2
(
k
2
k
e
k
)
2
1
k
1
1
e
k
1
T
k<
/p>
1
e
k
2
1
e
k
2
T
为简化模型，记
x
1
(
T
)
x
1
T
,
x
2
(
T
)
x
2<
/p>
T
得到酒精含量在时刻
t
T
以后的微分方程组
dx
1
J
k
1
x
1
dt
dx
2
（
10
）
<
/p>
k
1
x
1
k
2
x
2
dt
< br>x
1
(
T
)
x
1
T
,
x
2
(
T
)
x
2
T
其中喝酒时酒精
的摄入速率为
m
< br>2
J
0
T
t
T
T
t
2
T
< br>
（
11
）
9
五、模型应用
利用我们的四个模型，可以解决竞赛中给出的问题。
问题
1
：大李的困惑
我们假设大李的体重仍为
70kg
，并
且大李在中午
12
点是瞬间喝下一瓶啤酒，
由表
2
可知酒精摄入量为
m
1
17920
毫克
，根据模型一中的（
5
）式，可以得出时间
t
在
0
至
6
小时内（中午
12
点至下午
6
点）大李血液中酒精浓度的变化规律，具体
结
果见图
11
和表
3
。
下午
6
点检查时大李血液中的酒精浓度为
19.15
毫克
/
百毫升，小于
20
毫克
/
百
毫升的国家新标准，因此可以通过
检查。紧接着大李在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，
假设大李是在下午六点瞬间喝下一瓶啤酒
，由表
2
可知酒精摄入量为
m
2
17920
毫
克，根据模型二，利用
MATLAB
软件，
求出
t
在
6
至
14
小时内（下午
6
< br>点至晚上
2
点）大李血液中酒精浓度的变化规律，具体结
果见图
12
和表
3
，从表中可知，凌晨
2
点大李血液中的酒精浓度为
20.88
毫克
/
百毫
升，
大于
20
毫克
/
百毫升的国家新标准，
属于饮酒驾车，违反了交通法规，
应该给予处罚。
（相关
MATLAB
程序见附录）
图
11
大李从
12
时
~
下午
6
时的酒精浓度曲线
图
12
大李从
12
时
~
凌晨
4<
/p>
时的酒精浓度曲线
表
3
大李
从
12
时
~
凌
晨
4
时的酒精浓度
时间
中午
1
2
：
00
下午
1
：
00
下午
2
：
00
下午
3
：
00
下午
4
：
00
下午
5
：
00
下午
6
：
00
酒精浓度
(mg/100ml)
0
35.79
33.12
28.96
25.23
21.98
19.15
通过检查
时间
晚上
7
：
00
晚上
8
：
00
晚上
9
：
00
晚上
10
：
0
0
晚上
11
：
00
晚上
12
：
< br>00
凌晨
1
：
00
凌晨
2
：
00
酒精浓度
(mg/100ml)
52.47
47.65
41.62
36.26
31.58
27.51
23.97
20.88
饮酒驾车
问题
2<
/p>
：饮酒后多长时间内不准驾车
（
1
）如果一个人在较短时间内喝完
3
瓶啤酒或
半斤低度白酒（酒精度假定为
10