酒精含量
大喜-
酒后血液中酒精含量的数学模型
摘要
:
本文针对酒后驾车人员血液中酒精含量是否符合驾车标准这一问题，<
/p>
详细分析了
人体对酒精的吸收，以及吸收后的分解过程。并建立了
血液中酒精含量随时间变化的数
学模型，以便了解酒后不同时段，血液中的酒精含量有什
么规律。对于酒后不同时段，
根据数学模型来计算出血液中的酒精含量，针对《车辆驾驶
人员血液、呼吸酒精含量阈
值与检验》的国家标准，来给出酒后人员经过多长时间，才符
合驾车标准。
本文参考药物在体内的分解模型（房室模型）<
/p>
，把胃看成是酒精吸收的一个中间容
器（吸收室）
，考虑胃与体液（血液看成是体液的一部分）之间的酒精的渗透关系，主
要考虑
胃内酒精向体液的渗透，以及体液中酒精的分解，建立体液中酒精含量的微分方
程。
再通过体液中酒精含量与浓度之间的关系，
转换成关于体液中酒精浓
度的微分方程。
针对短时间内快速饮酒的情况（在很短的时间内所饮酒全部注入吸收室）
，如果我们记
吸收室（胃）内酒精量为
x
0
(
t
)<
/p>
，中心室（体液）内的酒精量为
x
1
(
t
)
，由吸收室
到中心
室的酒精转移率系数为
k
01<
/p>
，
而由吸收室分解排放的酒精转移系数为
k
。
则我们可以建立
微分方程如下：<
/p>
1
(
t
)
＝
k
01
x
0
(
t
)
－
< br>k
x
1
(
t
)
x
此微分方程说明：在一个很小的时间段内，中心室（体液）中酒精的改
变量可由两部分
来决定，一部分是由吸收室转移得到，一部分是分解排除。然后根据边界
条件，以及浓
度与酒精量和酒精体积的关系
x
1
＝
c
1
v
1
其中，
c
1
为中心室的酒精浓度，
v
1
为中心室的体积，解出微分方程的解析解，形式如：
c
1
(
t
)
＝
A
k
01
(
e
kt
e
k
01
t
)
，
A
与吸入酒精量及体重有关。用此解去拟和试验数据，
(<
/p>
k
01
k
)
得到参数
k
01
，
k
的值。这样就得到了快速饮酒时体
液酒精浓度与时间的函数关系。
接下来我们又根据此模型对长
时间饮酒的情况做了分析，把饮酒时间适当分割，每
个时间段看成是快速饮入一定量的酒
，用多个快速饮酒去模拟长时间饮酒的情况，进而
得到了长时间饮酒时血液酒精浓度随时
间变化的函数关系。
1
、
问
题的提出：
据报载，
2003
年全国交通事故死亡人数为
10.4372
万，
其中因饮酒驾车造成的占有
相当比例。
针对这种严重的交通情况，
国家质量监督检验检疫局
2004
年
5
月
31<
/p>
日发布了新的
《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国
家标准，新标准规定，车辆驾驶人
员血液中的酒精含量大于或等于
20
毫克
/
百毫升，小于
80
毫克
/
百毫升为饮酒
驾车（原
标准是小于
100
毫克
/
百毫升）
，
血液中
的酒精含量大于或等于
80
毫克
/
百毫升为醉酒驾
车（原标准是大于或等于
1
00
毫克
/
百毫升）
< br>。
1
大李在中午
12
点喝了一瓶啤酒，下午
6
点检查时符合新的驾车标准
，紧接着他在
吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨
2
点才驾车回家，又一次遭遇检查
时被定为饮酒驾车，这让他
既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一
样呢？
我们将参考下面给出的数据，建立饮酒后血液中酒
精含量的数学模型，并讨论以下
问题：
1
、对大李碰到的情况做出解释；
<
/p>
2
、在
3
瓶啤酒
或半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，分别对以下情
况进行分析：
1
）酒在很短时间内喝的；
2
）酒在较长一段时间（比如
2
小时）内喝的。
3
、怎样估
计血液中的酒精含量在什么时间最高。
4
、根据模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？
参考数据
1.
人的体液占人的体重的
65%
至
70
%
，其中血液只占体重的
7%
左右；而
药物（包括
酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。
2.
体重约
70kg
的某人在短时间内喝下
2
瓶啤酒后，隔一定时间测
量他的血液中的
酒精含量（毫克
/
百毫
升）
，数据如下：
时间
0.25
0.5
0.75
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
（小时）
酒精含量
30
68
75
82
82
77
68
68
58
51
50
41
时间
（小时）
酒精含量
6
38
7
35
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7
4
28
25
18
15
12
10
7
2
、
问
题的分析
考虑饮酒后酒精在人体内的变化情况，酒精被饮入体内首先是进入胃中，然后再随
着血液
循环进入体液，
然后再由体液分解排出体外。
所以我们可以对问
题进行如下化简：
在酒精吸收和分解的过程中，我们考虑酒精在进入胃的过程中没有损失
，而胃内的酒精
只是在向体液中渗透，并不考虑体液中的酒精反向渗透回胃内。因为酒精
在体液中的浓
度和酒精在血液中的浓度大体上是一样的，所以我们不把血液和体液分开来
考虑，而把
它们看成是一个整体。所以我们建立模型时就把胃看成了一个空间，把血液和
体液整体
看成了一个空间，而这两个空间的关系是酒精从胃渗透向体液，而体液中的酒精
只是通
过分解排出。
（
1
）对问题一的分析
首次饮酒后经过了六个小时后再次饮酒，这个时候血液中的酒精浓度计算应该是，
首次饮酒在血液中的残留继续分解，而第二次饮酒还要经过一个吸收和分解的过程，所
以再过八小时测出的血液中的酒精浓度和首次饮酒也有关系。
（
2
）对问题二的分析
在短时间喝一定量的酒，
经过模型可直接求解出各个时刻的血液
酒精浓度，
而对于
长时间饮酒，我们可以认为酒是匀速饮入，我
们对时间进行分割，然后在每个小时间段
内看成是快速饮入定量的酒。在每个小时间段内
用模型模拟。
（
3
< br>）对问题三的分析
2
无论是短时间饮酒，还是长时间饮酒，我们都可以根据模型很容易求出血液中酒
精的含量在何时最大。
3
、模型的假设
这个问题的本身尚有一些不确定的因素，比如说身体素质
就会影响人对酒精的吸收
与分解。为了使问题简化，我们给出了如下的假设：
（
1
）
酒精从胃部向体液的转移速率，及向外排除的速率分别与胃部和体液中的
酒精浓度成正比。
（
2
）
体液总体积保持不变。
（
3
）
酒精只是通过胃部进入体液。
（
4
）
酒精并不会从体液反向渗入到胃部。
（
5
）
血液和其它体液看成一个整体。
（
6
）
酒精只会通过体液排出体外。
4
、符号的说明：
< br>x
0
(
t
)
吸收室（胃）内酒精量
x
1
(
t
)
中心室（体液）内的酒精量
k
01
由吸收室到中心室的酒精转移率系数
k
由吸收室分解排放的酒精转移系数
c
1
(
t
)
体液中酒精的浓度
v
1
体液的体积
D
0
饮入酒精量
f
0
酒精由吸收室转移到中
心室的速率
5
、模型建立
基于上述对问题的讨论，对于短时间内饮入酒的情况我们可以建立下述模型
K
01
1
0
中心室
吸收室
k
我们
用吸收室代表胃，用中心室代表体液。首先我们对吸收室建立微分方程，考虑到酒
在短时
间内进入吸收室，可得，
x
(
t
)
x
(
t
)
0
(
t
)
=-
< br>k
01
x
0
(
t
)
< br>x
0
(
t
)
=
D
0
x
解此微分方程得，
x
0
(
t
)
=
D
0
e
k
01
t
（
1
）
，
所以可知，
f
0
(
t
)
=
k
01
D
0
e
k
01
t
。
对中心室创建微分方程，可得，
<
/p>
1
(
t
)
＝
k
01
x
0
(
t
)
－
k
x
< br>1
(
t
)
x
3
<
/p>
1
(
t
)
=
考虑到，
x
1
＝
c
1
v
1
及（
1
）
c
D
01
k<
/p>
01
k
01<
/p>
t
e
-
kc
1
(
t
)
c
1
(
0
)
v
1
=0
解此微分方程得
c
< br>1
(
t
)
=
D
0
k
0
1
(
e
kt
e
k
01
t
)
（
k
01
<
/p>
k
）
v
1
(
k
01
k
)
接下来，我们通
过题中所给实验数据来拟和求出两个系数，
k
01
，
k
每瓶啤酒的体积为<
/p>
640
毫升，
啤酒的酒精度约为
4%
，
酒精的密度为
8
00
毫克
/
毫升，
所以可以计算得到每瓶啤酒中含有酒精为
20480
毫克。
体液约占体重的
65%-70%
，体液
的密度约为
1.05
10
5
毫克
/
百毫升。可以计
算
70
公斤的人的体液约为
467
百毫升。所
以对于题中实验数据，可以确定
D
0
（代表饮入的酒精量，单位为毫克）等于
< br>40960
毫
克，
v
1
（人体的体液的体积，单位为百毫升）
467<
/p>
百毫升。又体液中酒精浓度和血液中
酒精浓度相同。
用函数
c
1
(
t
)
=
D
0
k
< br>01
(
e
kt
e
k
01
t
)
拟和题中实验数据得图形如下：
v<
/p>
1
(
k
01
k
)
k
01
=2.6853
k
=0.1474
所以得到拟和函数
：
c
1
(
t<
/p>
)
=
92.8
029
(
e
2
.
6853
t
e
0
.
1474
t
)
。
y
轴表示酒精血液浓度，
x
表示
时间。
6
、模型求解
下面对书中的问题用模型做出解答
4
（
1
）首
先给出快速饮酒一瓶时血液中酒精浓度的函数
c
1
(
t
)
=
< br>
46.4014
(
e
2
.
6853
t
e
0
.
1474
t
)
做出图象：
大李中午
12
点饮酒一瓶啤酒经过六小时，血液中酒精浓度
19.1620mg/dml
,
所以六小
时后大李通过了检查。
<
/p>
大李凌晨
2
点再一次检查时血液中的酒精
含量应为两部分组成，第一部分是中午
12
点
< br>喝的酒经过了
14
个小时后在血液中的残量，应为
5.8927
mg/dml
，它属于一直分
解后的
残量，第二部分是晚上
6
点又喝
了一瓶酒后经过吸收和分解的过程，在过了八小时后在
血液中的浓度为：
14.2695
mg/dml
，所以血液中的酒精总
浓度为
20.1622
mg/dml
，大于
20 mg/dm
l
，所以没通过检查。
（以上数据均为通过模型精确计算得到）
。
（
2
）
（
一
）
，
给
出
快
速
喝
进
3
< br>瓶
啤
酒
后
的
血
液
酒
精
浓
度
随
时
间
变
化
的
函
数
：
c
1
(
t
)
< br>=
139.2042
(
e
2
.
6853
t
e
0
.
1474
t
)
，图象为：
5