血液中酒精浓度的数学模型
fiercely-
2004
高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
C
题
饮酒驾车
据报载，
< br>2003
年全国道路交通事故死亡人数为
10.4372
万，其中因饮酒驾车造成的占
有相当的比例。
< br>
针对这种严重的道路交通情况，
国家质量监督检验检疫
局
2004
年
5
月
31
日发布了新的
《车辆驾驶人员
血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血
液中的酒精含
量大于或等于
20
毫克／百毫升，
小于
80
毫克／百毫升为饮酒驾车
（原标准
是
小于
100
毫克／百毫升）
，
血液中的酒精含量大于或等于
80
毫克／百毫升为醉酒驾车
（原标
准是大于或等于<
/p>
100
毫克／百毫升）
。
大李在中午
12
点喝了一瓶
啤酒，下午
6
点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚
饭时又喝了一瓶啤酒，
为了保险起见他呆到凌晨
2
点才驾车回家，
又一次遭遇检查时却被定
为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？
< br>
请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学
模型，
并讨论以下问题：
1.
对大李碰到的情况做出解释；
2.
在喝了
3
瓶啤酒或者半斤低度白酒后多
长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情
况下回答：
1
）
酒是在很短时间内喝的；
2
）
酒是在
较长一段时间（比如
2
小时）内喝的。
3.
怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。
4.
根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？
5.
根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝
一点酒的司机如何驾车提
出忠告。
参考数据
1.
人的体液占人的体重的
65%
至
7
0%
，
其中血液只占体重的
7%
左右；
而药物
（包括酒
精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。
2.
体重约
70kg
的某人在短时间内喝下
2
瓶啤酒后，
隔一定时间测量他的血液
中酒精含
量（毫克／百毫升）
，得到数据如下：
时间
(
小时
)
0.25
0.5
0.75
1
酒精含量
酒精含量
30
38
68
7
35
75
8
28
时间
(
小时
)
6
9
1.5
2
10
2.5
3
3.5
4
4.5
5
41
82
82
25
18
77
68
11
12
15
12
68
58
13
14
10
7
51
50
15
16
7
4
血液中酒精浓度的数学模型
摘要
：把人体对酒精的吸收、排放简化为一般的房室模型，提出了吸收因子、消除因子的概念。针
对短时
间饮酒、长时间饮酒以及间断饮酒等情况，分别建立了关于人体体液中酒精浓度的
微分方程模型，并且给
出了显式解。对于特殊的周期性间断饮酒的模型，给出了更便于计
算的叠加公式，并通过分析酒精浓度函
数的极限过程，证明了其有界性。对短时间饮酒和
长时间饮酒的情况分别计算了酒精浓度的最大值、取得
最大值的时间和禁止驾车的时间范
围，而且进行了比较，所得结论与实际吻合。
关键词
：吸收因子；消除因子；微分方程；时间药物动力学；酒精浓度
1
问题分析及必要的假设
饮酒驾车的危
害性
，
已受到交通部门
，
乃至全社会的高度重视
。
国家质量监督检验检疫
局
2004
年
5<
/p>
月
31
日发布了新的《车辆驾驶人员血液
、呼气酒精含量阀值与检验》国家标准
，
对驾驶人员血液中所允
许的酒精浓度作了具体规定
。
那么
，<
/p>
对于一个驾驶员
，
他能不能饮酒
?
饮酒后在多长时间内不能开车
?
对于一定量的酒
，
在短时饮完好还是在较长的时间内
饮完好
?
本文就是针对这些问题
，
分析酒精在人体内的扩散过程
，
在一定简化
、假设的基础上
，
寻找
酒精在人体中吸
收、消除的规律
，
建立体液
(
或血液
)
中酒精含量的数学模型
，
从数量上给予
解答
。
人喝了酒后
，
酒精
便通过胃肠的吸收扩散到人的体液
(
包括血液
< br>)
中去
，
同时体液中的酒
精又通过汗液、尿液等排除到体外
。
事实上<
/p>
，
根据时间药物动力学的研究
[1]
，
这种吸收、扩
散、消除过程
，
机理十分复杂
，
制约因素
很多
。
在本文中
，
我们把这种过程大大简化
，
把人
体
设想为一个含有两个室
(
胃肠道和体液
)
的房室模型
，
并作如下简化和假设<
/p>
:
首先我们假设酒精进入体液后
，
迅速扩散到全身各个部位
，
包括到血管当中
，
即血管中
酒精的浓度与其他体液中的
酒精浓度相一致
，
这样我们所描述的体液中的酒精浓度也就是血
液中的酒精浓度
；
另外我们假设体液的
总体积保持一个常数
V
不变
；
再假设酒精被正常吸收
和排出
，
排除呕吐等一些非正常的排出情况
。
我们进一步假设胃肠道中的酒精被吸收到体液中的速率与胃肠道中酒精的质量成正比，
< br>即若设在
t
时刻胃肠中的酒精质量为
y
(
t
)
，
那么此时的吸收速度为
k
1
y
(
t
)
，
其中
k
1
称为吸收
因子。在一般情况下，吸收因子
k
1
受诸如肠胃的蠕动、体液的
PH
值、肝肾血流量等多种因
素的影响，
且随它们的变化而
变化
[1]
。
在我们的讨论中，
假设
k
1
在一定的时
间段里为一定值。
同时
，
体液在排出体
外时的速率也是受到诸多因素的影响
，
比如气温的高低、
运动量的大小
以及每个人所处的环境和时间不同等
，
都会对体液排出体外的速率有直接影响
。
为了讨论问
题的方便
，
我们假
设体液的排出是以匀速进行的
，
并设单位时间内体液排出体外的
体积为
k
2
，
令
k
3
k<
/p>
2
，
称
k
3
为消除因子
，
它表
示单位体积的体液在单位时间内排出体外的量
。
V
体液中的酒精含量一方面是通过胃肠吸收而得
，<
/p>
另一方面
，
又得随着体液排出体外
。
很
显然
，
体液
(
或血液
)
中酒精含量与吸收因子
k
1
< br>、消除因子
k
3
及饮酒的酒量三
者有关
，
而且
随着时间的变化而变化<
/p>
。
这样
，
酒精在
人体体液中的吸收、消除就构成了一个“药物的动力
量”过程
。
当然
，
一定量的酒精进入胃肠道可能有
不同时间方式
，
比如
，
在很短的时间内进
入
(
称为短
时饮酒
)
、在较长的时间内进入
(
称为长时饮酒
)
或每隔一段时间分若干次进
入
(
称
为间断饮酒
)
等
。
我们的目的就是根据不同的
饮酒方式分别建立体液中酒精浓度随时间的变
化规律
。
其基本思想是通过
t
时刻吸收的酒精量和排出的
酒精量来建立变量间的数学关系
。
2
短时间饮酒模型
设人在很短时间内<
/p>
(
近似看作瞬时
)
喝下
M
毫升的酒
，
< br>则可根据酒的浓度计算出其中酒
精的质量
，
记为
m
(
单位
：
mg
)
，
再设喝酒后
t
时刻胃肠中的酒精质量为
y
(
t
)
，
由假设可得
初值问题
dy
k
1
y
(
t
)
(1)
dt
<
/p>
y
(
0
)
m
由分离变量法
[
2]
易得
引理
2
.
1
模
型
(1)
的解为：
y
< br>(
t
)
me
k
1
t
另外
，
在
t
时间内
，
吸收到体液中的酒精质量约为
k
1
y
(
t
)
t
，
再由假设知
y
(
t
)
是连续
函数
，
因此由微
元法可得从
0
到
t
时刻吸收到体液中的酒精质量为
k
1
y
(
t
)
dt
。
0<
/p>
t
现假设在
t
时
刻体液中的酒精的浓度为
p
(
t
)
(
单位
：
mg
/
100ml
)<
/p>
，
则又根据假设及元素法
k
2
t
p
(
< br>t
)
dt
，
从而在
t
时刻体液中酒精质量为
可得
，
从
0<
/p>
到
t
时刻排除体外的酒精质量为
0
100
t
k
t
k
1
y
(
t
< br>)
dt
2
p
(
t
)
dt
0
1
00
0
故在
t
时刻体液中酒精浓度为
k
1
y
(
t
)
dt
0
t
k
2
t
p
(
t
)
dt
0
100
100
0
V
从而有：
p
(
t
)
<
/p>
100
上式等号两端对
t
求导
，
得
< br>k
1
t
k
2
y
(
t
)
dt
V
<
/p>
0
V
p
(
t
)
dt
（
2
）
0
t
p
(
t
)
注意到
k
3
k
2
k
p
< br>(
t
)
100
1
y
(
t
)
V
V
k
2
100
，
再令
E
，<
/p>
结合
(2)
式便得到关于
p
(
t
)
的微分方程为
V
V
p
(
< br>t
)
k
3
p
(
t
)
Ek
1
me
k
1
t
（
3
）
p
(
0
)
0
这是一个一阶线性非齐次的初值问题
，
由常数变易法
[2]
容易得
引理
2
.
2
模型
(3)
的解为
p
(
t
)
Emk
1
(
e
k
1<
/p>
t
e
k
3
t
)
（
4
）
k
3
k
1
对于上述函数
(4)
，
不难得以下推论
：
推论
2
.
3
< br>
函数
(4)
在区间
[
0
,
ln
k
3
ln
k
1
ln
k
< br>
ln
k
1
]
内单调递增
，
在区间
[
3
,
]
内单调递减
，
k
3
k
1
k
3
k
1
且
p
(
t
)
Em
k
1
(
e
<
/p>
k
1
t
e
k
3
t
)
0
(
t
→∞
)
< br>。
k
3
k
1
上述推论表明开始时体液中的
酒精浓度以较快的速度增加
，
在
t
0
ln
k
3
ln
k
1
时刻浓
k
3
k
1
度最大
，
之后又逐渐降低
，
而
且随着时间的无限推移
，
体液中酒精的浓度越来越低
，
直到完
全消除
。
为了检验上述模型合理性
，
我们取以下一组测量数据根据上述模型对
k
1
和
k
3
进行拟合
：
m
=53000(mg)(
相当于
2
瓶酒精度为
4.2g
/
100ml
的啤酒中酒精的含量
[3]
)
，
V
=49000(ml)(
大概相当于
一个体
重为
70kg
的人的体液含量
)
，
t
与
p
(
t
)
的值见下表
(
来自
2004
年全
国大学生数学建模竞
赛
C
题
):
表
1
时间
(
小时
)
酒精含量
时间
(
小时
)
酒精含量
0.25
30
6
38
0.5
68
7
35
0.75
75
8
28
1
82
9
25
1.5
82
10
18
2
77
11
15
2.5
68
12
12
3
68
13
10
3.5
58
14
7
4
51
15
7
4.5
50
16
4
5
41
我们利
用表
1
中的数据在
Excel
数据表中进行初步的曲线拟合得出初值后
，
借助
Matlab
软
件中的非线性回归命令
进行循环拟合
，
得出对应于这一组数据的吸收因子和消除因子分
别
为：
k
1
=
1.98
，
k
3
=0.199
。
Excel
系统拟合
曲线
(
细
)
及
由
(4)
式拟合的曲线
(
粗
)
如图
1
所示
。
图
1
两种类型的数据拟合曲线
由图
1
我们看到
，
通过模型
(1)
，
(3)
所建立的酒精浓度函数
p
(
t
)
，
基本符合实
际人体体液
中酒精浓度随时间的变化规律
，
这验证了我们所建立的基本模型
(1)
，
< br>(3)
的合理性
。
当然
，
显
然这里的
p
(
t
)
更加光滑
，
这显示了我们的所建立的模型具有理想化的特点
< br>。
下面我们的重
点是在上述模型的基础上讨论两类更为特
殊的饮酒模型
。
3
长时间饮酒模型
设某人在较长时间<
/p>
T
0
内
，
摄入酒精的质量为
m
，
我们可以简单假设这种摄入是匀速进行
的
，
< br>即在
T
0
时间内酒精以
m/T
0
的速度进入胃肠道
。
设当
t
T
0
时胃肠道中酒精质量为
y
1
(
t
)
，
体液中酒精浓度为
p
1
(
t
)
，
则
y
1
(
t
)
的变化率
为
m
k
1
y
(
t
)
，
从而由假设可得下述初值问题
：
T
0
dy
1
(
t
)
m
k
1
y
1
(
t
)
t
T
0
T
0
dt
y
1
(
0
)
0
解之得：
y
< br>1
(
t
)
m
1
(
1
e
k
1
t
)
(5)
T
0
k
1
从而
，
类似地可得当
t
T
0
时
，
关于
p
1<
/p>
(
t
)
的微分方
程为
m
k
t
p
1
(
t
)
k
3
p
1
(
t
< br>)
1
(
1
e
1
)
T
0
k
1
p
1
(
0
)
0
解之得
p
1
(
< br>t
)
A
1
[
其中
A
1
=
Em/T
0
。
1
1
A
1
A
]
e
k
3
t
e
k
1
t
< br>1
(6)
k
3
k
1
k
3
k
3
k
1
k
3
当
t
< br>
T
0
时
，
设胃肠道中酒精的质量为
y
2
(
t
)
，
体液中的酒精浓度为
p
2
(
t
)
，
则
y
2
(
t
)
，
p
2
(
t
)
的动力系统模型
类似于
(1)
和
(3)
，
只是初值不同
，
即
(
t
)
k
< br>1
y
2
(
t
)
y
2
(
t
)
k
3
p
2
(
t
)
Ek
1
y
2
(
t
)
(7)
p
2
y
(
T
)
y
(
T
),
p
(
T
)
p
(
T
)
1
0
2
0
1
0
<
/p>
2
0
该动力系统也为一阶线性系统
，
易得
p
2
(
t
)
(
p
1
< br>(
T
0
)
B
1
)
e
k
3
(
t
T
0
)
B
1
e
k
1
< br>(
t
T
0
)
(8)
其
中
B
1
Ek
1
y
1
(
T
0
)
k
3
k
1
这样在整个过程中
，
体液
中酒精浓度
p
(
t
)
的方程为
< br>p
(
t
),
t
T
0
p
(
t
)
<
/p>
1
(9)
p
(
t
),
t
T
0
2
根据长时间饮酒模型
(5)
，
(6)
，
(8)
，
我们选取参数
k
1
=1
.98
，
k
3
=0.199
，
T
0
< br>=2(H)
，
m
=79500(
mg)
，
V
=49000(ml)
，
计算出的不能驾车的时间范围
，
时间长短
，
最高浓度以及最高浓度时间等值见<
/p>
表
2
。
为了比较
起见
，
表
2
中
也列出了通过短时饮酒模型计算出的相应数据
。
表
2
短时饮酒
长时饮酒
最大浓度
125.51
118.44
最大浓度时间
1.2901
2.6145
禁止时间范围
[0.07
，
10.95]
[0.57
，
11.97]
禁止时间长度
10.88
11.40
利用
< br>Maple
软件
[4]
画出短时
饮酒和长时间饮酒时酒精浓度的函数图象如图
2
所示
。
由图
2
及表
2
可大概看出
，
短时饮酒
时酒精浓度的最大值比长时间饮酒时大
。
另外
< br>，
对于短时饮酒
来讲
，
在很短的时间内
(
大约为
1.3
小时
)
，
其血液中酒精浓度值达到最大
，
之后则其浓度以比
较快的速度下降
。
但是
，
对于长时间喝酒的情况来说
，
其浓度
峰值达到的时间较晚
(
大约需