立体图形的体积-(带完整答案)五年级奥数
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第四讲
立体图形的体积
内容概述
★★★
正方体：我们也可以称其为立方体，它是一种特殊的长方体，
它的六个面都
是正方形．如果它的棱长为
a
，那么可得：
正方体的表面积：
S
正方体
=6a
2
；
正方体的体积：
V
正方体
=a
3
．
★★★
长
方体：若长方体的长、宽、高分别为
a
、
b
、
c
，那么可得：
长方体的表面积：
S
长方体
＝
2
（
ab<
/p>
＋
bc
＋
ac<
/p>
）
；
长方体的
体积：
V
长方体
＝
abc
．
★★★
圆
柱体：如右图，圆柱体的底面是圆，
其半径为
r
；圆柱体的侧面展开图是一个长
方形，长方形的宽相当于圆柱体的高，长相当于
圆柱体的底面周长；
圆柱体的表面积：
S
圆柱体
＝侧面积
+2
个底面积
=2
π
r
h+
2
π
r
圆柱体的体积：
V
圆柱
体
＝底面积×高
=
π
< br>r
2
2
h
★★★
圆
锥体：如右图，圆锥体的底面是圆，其半径为
r
；圆锥体的侧面
展开图是一个
扇形；
圆锥体的体积：
V
圆锥体
＝
★★★
球
体：
V
球体
＝
1
2
π
r
h
3
r
4
3
π
r
3
例题精讲
类型Ⅰ：
< br>进行立体图形的体积计算时，
许多时候我们是可以通过分析直接利用公式求得结果
。
【例
1
】
<
/p>
一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水（如下图所示）
，请你根
据图中标明的数据，计算瓶子的容积是
_
________cm
³。
/?userid=1787958560
1
分析：由已知条件知，第二个图
上部空白部分的高为
7
－
5=2cm<
/p>
，从而水与空着的部分的比为
4:2=2:1
，由
图
1
知水的体积为
10
×
4=40
，所以总
的容积为
40
÷
2
×（
2+1
）
=60
立方厘米。
【例
2
】
<
/p>
一个木盒从外面量长
10
厘米，宽
8
厘米，高
5
厘米，
木板厚度
1
厘米，那么这个盒子的容积是
多少立方厘米？
分析：
（
10-2
）×（
8-
2
）×（
5-2
）
=144
（立方厘米）
。
【例
3
】
<
/p>
（第五届华杯赛初赛）有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是
10
厘米、
20
厘米，杯中盛
有适量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了
2
厘米；然后将铁块沉没于乙
杯，且乙杯中的水未外溢．问
：这时乙杯中的水位上升了多少厘米
?
分析：两个圆柱直径的比是
l
：
2
，所以底面面积的比是
l
：
4
．铁块在两个杯中排开的水的体积相同，所
1
以乙杯中水升高的高度应当是甲杯中下降的高度的
4
（注意此条件：
乙杯中的水未外溢，
如果溢出
我们就
不能这样计算了）
，即：2×
4
=0
．
5(
厘
米
)
．注意运用比例解决问题。
1
【例
4
】
<
/p>
（第五届华杯赛复赛）一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为
5
厘米，深
20
厘米，水深
15
厘
米．今将一个底面半径为
2
厘米，高为
17
厘米的铁圆柱垂
直放人容器中．求这时容器的水深是多少厘米
?
5
2
15
分析：法
1
：若圆柱体部分浸入水中，则水深为：
17.8
6
，
17.86
大于铁圆柱得高度
17
，
2
2
5
2
这与我们得假设不
符，所以圆柱体完全浸入水中，那么参看法
2
的解法即得答案。
法
2
：若圆柱体能完全
浸入水中，则水
深与容器底面面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在水中体积之和，因而水深为：
5
2
15
2
2
17
=17.72(
厘米
)
．它比圆柱体的高度要大，可见圆柱体可以完全浸入水中，而且小于
< br>20
5
2
厘米，显然水也未溢出．于是所求的水深便是
17
．
72
厘米．在这个题目中存在一个判断圆柱
体是被水完
全浸没，还是部分被浸没，以及水是否溢出的过程，请教师注意引导学生。<
/p>
【例
5
】
<
/p>
（第七届华杯赛复赛）如图，在一个立方体的两对侧面的中心各打通一个长方
体的洞在上下侧面的中心打通一个圆柱形的洞，
已知立方体边长为
10
厘米，
侧面上的洞
口
是边长为
4
厘米的正方形，
上下侧面的
洞口是直径为
4
厘米的圆，
求该立方体
的体积
(
取
=3)
．
)
×（
10-4
）
=672(
立方厘米
)
．
分析：体积为：
10
3
一
2×
4
2
×
10+
4
3
-
×
(
4
2<
/p>
【例
6
】
<
/p>
在底面是边长为
60
厘米的正方形的一个
长方体容器里，直立着一个高
100
厘米，底面为边长
15
厘米的正方形的四棱柱铁棍，这时容器里的水深
50
厘米。现在把铁棍轻轻地向正上方提起
24
厘米，露出
水面的四棱柱铁棍浸湿部分长多少厘米？
/?userid=1787958560
1
2
分析
：
容器里的水共有
（
6
0
×
60-
15
×
15
）
×
50
，
当把铁棍提起
24
厘米时，
铁棍仍浸湿在水中的部分长是：
[
（
6
0
×
60-
15
×<
/p>
15
）
×
50-
6
0
×
60<
/p>
×
24]
÷
（<
/p>
6
0
×
60-<
/p>
15
×
15
）<
/p>
=24.4
（厘米）
，
< br>所以露出水面的浸湿部分长是：
50-24.4=25.6
（厘米）
。
类型Ⅱ：在进行立体图形的体积计算时，我们还可以结合棱长
、表面积的特性等求得结果。
【例
7
】
<
/p>
（第六届华杯赛决赛口试）某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装
箱，并用尼龙编织条
(
如图所示
)
在三个方向上的加固．所用尼龙编织条分别为
365
厘米，
405
厘米，
48
5
厘米．若每个尼龙加固时接头重叠都是
5
厘米．问这个长方
体包装箱的体积是多少立方米
?
分析：从图可使长＞宽＞高，所以长方体中有：
(1)
高
+
宽
=
2
(365-5)=180
，
<
/p>
1
1
(2)
高<
/p>
+
长
=
2
(405
—
5)=200
，
(3)
长
+
宽
=
2
(
485
—
5)=240
，解得长
=130
，宽
=110
，高
=70
；
1
长方体体积为：70×110×130=1001000(立方厘米
)=1.001(
立方米
)
。
【例
8
】
<
/p>
（第五届小数报数学竞赛决赛）
一个长方体的宽和高相等，
并且都等于长的一
半
(
如图
)
．将这个长方体切成
12
个小长方体，这些小长方体的表面之和为
600
平方分
米．求这个大长方体的体积．
分析：设大长方体的宽
(
高
)
为
a
分米，则长为
2a
，右
(
左
)
面积为
a
2
，其余面的面积为
2
a
2
，根据题意，
2×2
a
2
+8
a
2
+6×2
a
2
=600
，所以
a<
/p>
2
=
600
=2
5
，
a=5
，大长方体的体积=2×5
×
5
×
5=250(
立方分米
)
．
24
【例
9
】
<
/p>
一个长方体，前面和上面的面积之和是
209
平方厘米，这个长方体的长、宽、高是以厘米为单位
的数，且都是质数。问这个长方
体的体积是多少？
分析：我们不妨设正对我们的那个面的面积是
长×高，那么有长×宽
+
长×高
=
长×（宽
+
高）
< br>=209
，
209=11
×
19
，
19=2
+17
，
所以长方体的长、
宽、
高为
11
、
2
、
17
或
11
、
17
、
2
，
由此可得体积为
11
×
2
×
17=374
< br>（立方厘米）
。
类型Ⅲ：进行立体图形的体积计算时，题目中没有直接给出立
体图形，需要我们自己构造而
后计算。
【例
10
】
如右图中的长方形
ABCD
，以
BC
为轴，旋转一周得到一个几何体，试求这个几
何体的体积。
（π取
3
）
分析：旋转一周得到圆柱体，其高为
8
，底面积为：π×
4
，那么体积等于
384
。我们还可以
联想到以一个直角三角形的
一条直角边为轴旋转一周可以得到圆锥，
以斜边为轴旋转一周可以
得到两个圆锥的叠加（类似陀螺）
；以一个半圆的直径为轴旋转一周可以得到一个球体
。教师可在此添加
几个题目巩固联系基本公式。
【例
11
】
（
第五届华杯赛口试）张大爷去年用
长
2
米、宽
1
米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形
/?userid=1787958560
1
2