数学公式大全word版
抗美援朝纪录片-
高等数学公式
导数公式：
(
tgx
)
sec
x
(
ctgx
)
csc
2
x
(sec
x
)
< br>sec
x
tgx
(csc
x
)
csc
x
ctgx
(
a
x
)
a
x
ln
a
(log
a
x
)
基本积分表：
2
(arcsin
x
)
1
1<
/p>
x
ln
a
1
x
2
1
(arccos
x
)
1
x
2
1
(
arctgx
)
<
/p>
1
x
2
1
(
arcctgx
)
1<
/p>
x
2
tgxdx
ln
cos
x
C
ctgxdx
ln
sin
x
< br>C
sec
xdx
ln
sec
x
tgx
C
csc
xdx
ln
csc
x
ctgx
C
dx
1
x
arc
tg
C
a
2
x
2
a
a
dx
1
x
a
ln
x
2
a
2
2
< br>a
x
a
C
dx
1
a
x
<
/p>
a
2
x
2
2
a
ln
a
x
C
dx
x
arcsin
C
a
2
x
2
a
2
< br>n
dx
2
sec
cos
2
x
xdx
tgx
C
dx
2
csc
sin
2
x
xdx
ctgx
C
sec
x
tgx
dx
sec
x
C
csc
x
ctgxdx
csc
x
C
a
x
a<
/p>
dx
ln
a<
/p>
C
x
shxdx
chx
C
chxdx
shx
C
dx
x
2
a
2
l
n(
x
x
2
a
2
)
C
2
I
n
sin
xdx
cos
n
xdx
0
0
n
1
I
n
2
n
< br>
x
2
a
2
2
x
a
dx
x
<
/p>
a
ln(
x<
/p>
x
2
a
2
)
C
2
2
x
2
a
2
2
2
2
x
a
dx
x
a
ln
x<
/p>
x
2
a
2
C
2
2
x
2
a
2
x
2
2
2
a
x
dx
a
x
arcsin
C
2
2
a
2
2
三角函数的有理式积分：
2
u
1
u
2
x
2
du
sin
x
，
cos
x
，
u
tg
，
dx
2
2
2
2
1
u
1
u
1
u
1
/
47
一些初等函数：
两个重要极限：
e
< br>x
e
x
双曲正弦
:
shx
2
e
x
e
x
双曲余弦
:
chx
< br>2
shx
e
x
< br>
e
x
双曲正切
:
thx
x
chx
e
e
x
arshx
ln(
x
x
2
1
）
archx
ln(
x
x
2
1
)
1
1
x
arthx
ln
2
1
x
< br>三角函数公式：
·诱导公式：
函数
角
A
-
α
90°
-
α
90°
+
α
180°
-
α
180°
+
α
270°
-
α
270°
+
α
360°
-
α
360°
+
α
sin
sin
x
l
im
1
x
0
x
1
lim
(
1
)
x
e
2
.
7182818284
59045
...
x
x
cos
tg
-
tgα
ctgα
ctg
-
ctgα
tgα
-
ctgα
ctgα
tgα
-
ctgα
ctgα
-
sinα
cosα
cosα
cosα
sinα
sinα
-
sinα
-
ctgα
-
tgα
-
cosα
-tg
α
-
sinα
-
cosα
tgα
-
cosα
-
sinα
ctgα
-
cosα
sinα
-
sinα
cosα
sinα
cosα
-
tgα
tgα
-
ctgα
-
tgα
·和差角公式：
·和差化积公式：
sin(
)
sin
cos
cos
sin
cos(
<
/p>
)
cos
cos
<
/p>
sin
si
n
tg
tg
tg
(
)
1
tg
tg
ctg
ctg
1
ctg
(
)
ctg
ctg
sin
sin
2
sin
2
2
sin
sin
2
cos
sin
2
2
< br>cos
cos
2
cos
cos
2
2
< br>
cos
< br>cos
2
< br>sin
sin
2
2
cos
2
/
47
·倍角公式：
sin
2
2
sin
cos
cos
2
2
cos
2
1
1
2
sin
2
cos
2
sin
2
ctg
2
1
ctg
2
2
ctg
2
tg
tg
2
1
tg
2
·半角公式：
sin
3
3
sin
4
sin
3
cos
3
4
cos
3
3
cos
3
tg
tg
3
tg
3
1
3
tg
2
<
/p>
sin
tg
2
1
cos
1
cos
cos
2
2
2
1
< br>cos
1
< br>cos
sin
1
cos
1
cos
sin
ctg
1
cos
sin
1
cos
2
1
cos
sin
1
cos
a
b
c
2
R
·余弦定理：
c
2
a
2
b
2
2
ab
cos
C
sin
A
sin
B
sin
C
2
·正弦定理：
·反三角函数性质：
arcsin
x
< br>
2
arccos
x
arctgx
2
arcctgx
高阶导数公式——莱布尼兹（
Leibniz
）公式：
(
uv
)
(
n
)
k
(
n
k
< br>)
(
k
)
C
n
u
v
k
0
n
u
(
n
)
v
nu
(
n
1
)
v
n
(
n
1
)
(
n<
/p>
2
)
n
(
n
1
)
(
n
k
1
)
(
n
k
)
(
k
)<
/p>
u
v
u
v
uv
(
n
)
< br>2
!
k
!
中值定理与导数应用：
拉格朗日
中值定理：
f
(
b
)
f
(
a
)
f
<
/p>
(
)(
b
a
)
f
(
b
)
f
(
a
)
< br>f
(
)
柯西中值定理：
F
(
b
)
< br>F
(
a
)
F
(
)
曲率：
当
F
(
x
)
x
时，柯西中值定理就是
拉格朗日中值定理。
弧微分公式：
ds
1
y
2
dx
,
其中
y
tg
平均曲率：
K
< br>
.
:
从
M
点到
M
点，
切线斜率的倾角变
化量；
s
：
M
M
弧长。
s
y
< br>d
M
点的曲率：
K
lim
.
2
< br>3
s
0
s
ds
(
1
y
<
/p>
)
直线：
K
<
/p>
0
;
1
半径为<
/p>
a
的圆：
K
<
/p>
.
a
定积分的近似计算：
3
/
47
b
矩形法：
f
(
x
)
a
b
b
< br>a
(
y
0
y
1
y
n
1
)
n
b
a
1
[
(
y
0
< br>y
n
)
y
1
y
n
1
]
n
2
b
a
[(
y
0
y
n
)
2
(
y
2
y
4
y<
/p>
n
2
)
4
(
y
1
y
3
y
n
1
)]
3
n
梯形法：
f
(
x
)
a
b
抛物
线法：
f
(
x
)
a
定积
分应用相关公式：
功：
W
F
s
水压力：
F
p
A
m
m
< br>引力：
F
k
< br>1
2
2
,
k
为引力系数
r
< br>b
1
函数的平均值：
y
f
(
x
)
dx
b
a
a
1
2
均方根：
f
(
< br>t
)
dt
b
a
a
空间解析几何和向量代数：
b
空间<
/p>
2
点的距离：
d
M
1
M
2<
/p>
(
x
2
x
1
)
2
(
y
2
y
1
)
2
(
z
2
z
1<
/p>
)
2
向量在轴上的投影：
Pr
j
u
AB
AB
cos
,
是
< br>AB
与
u
轴的夹角。
Pr
j
u
(
< br>a
1
a
2
)
Pr
j
a
1
Pr
j
a
2
a
b
a
b
cos
a
x
b
< br>x
a
y
b
y
a
z
b
z
,
是一个
数量
,
两向量之间的夹角：
cos
i
c
a
b
< br>a
x
b
x
j
a
y
b
y
a
x
b
x
a
y
b
y
a
z
b
z
a
x
< br>
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
2
2
2
2
2
2
k
< br>
a
z
,
c
a
b
sin
.
例：线速度：
v
w
r
.
b
z
a
y<
/p>
b
y
c
y
a
z
b
z
a
b
c
cos
,
为锐角时，
c
z
a
x
向量的混合积：
[
a
b
c
]
(
a
b
)
c
b<
/p>
x
c
x
代表平行
六面体的体积
。
4
/
47
1
、
点法式：
A
(
x
x
0
)
B
(
y
y
0
)
C
(
z
z
0
)
< br>0
，其中
n
< br>{
A
,
B
,
C
},
M
0
(
x
0
,<
/p>
y
0
,
z
0
)
2
、一般方程：
Ax
By
Cz
D
<
/p>
0
x
y
z
3
、截距世方程：
1
a
b<
/p>
c
平面外任意一点到该平
面的距离：
d
Ax
0
By
0
Cz
0
D
A
2
B
2
C
2
平面的方程：
x
x
0
mt
x
x
0
y
y
0
z
z
0
<
/p>
空间直线的方程：
< br>
t
,
其中
s
{
m
,
n
,
p<
/p>
};
参数方程：
y
y
0
nt
m
n
p<
/p>
z
z
pt
0
二次曲面：
x
2
y
2
z
2
1
、椭球面：
2
2
2
1
a
b
c
x
2
y
2
2
< br>、抛物面：
z
（
,
p
,
< br>q
同号）
2
p
< br>2
q
3
、双曲面：
x
2
y
2
< br>z
2
单叶双曲面：
2
2
2
1
a
b
c
x
2
y
2
z
2
双叶双曲面：
< br>2
2
2
（马鞍面）
1
< br>a
b
c
多元函数微分法及应用
全微分：
dz
z
z
u
u
u
dx
dy
du
dx
dy
dz
x
y
x
y
z
全微分的近似计算：
z
dz
f
x
(
x
,
y
)
< br>x
f
y
(
x
,
y
)
y
多元复合函数的求导法
：
dz
z
u
z
< br>
v
z
f
[
u
(
t
),
v
(
t<
/p>
)]
dt<
/p>
u
t
v
t
z
z
u
z
v
z
f
[
u
(
x<
/p>
,
y
),
v
(
x
,
y
)]
x
u
x
v
x
当
u
u
(
x
,
y<
/p>
)
，
v
v
(
x
,
y
)
时，
u
u
< br>v
v
du
dx
dy
dv
dx
dy
< br>x
y
x
y
隐函数的求导公式：
F
x
F
F
dy
dy
d
2
y
隐函数
F
(
x
,
< br>y
)
0
，
，
< br>2
(
x
)
＋
(
x
)
dx<
/p>
F
y
x
F
y
y
F
y
dx
dx
F
y
F
z
z
隐函数
F
(
x
,
y
,
z
)
0
，
x
，
x
F
z
y
F
z
5
/
47
F
F
(
x
,
y
,
u
,
v
< br>)
0
(
F
,
G
)
u
隐函数方程组：
< br>
J
< br>
G
(
u
,
v
)
G
(
x
,
y
,
u
,
v
)
0
u
< br>u
1
(
F
,
G
)
v
1
(
F
,
G
)
x
J
(
x
,
v
)
x
J
(
u
,
x
)<
/p>
u
1
(
F
,
G
)
v
1
(
F
,
G
)
y
J
(
y
,
v
)
y
J
(
u
,
y
)
微分法在几何上的应用：
F
v
F
u
G
G
u
v
F
v
G
v
x
< br>
(
t
)
x
x
y
y
0
z
z
0
空间曲线
y
(
t
)
在点
M
(
x
0
,
y
0
< br>,
z
0
)
处的切线方程：
0
(
< br>t
)
(
t
)
(
t
0
)
0
0
z
(
t
)
在点
M
处的法平面方程：
(
t
0
)(
x
x
0
)
(
t
0
)(
y
< br>y
0
)
(
t
0
)(
z
z<
/p>
0
)
0
F
y
F
z
F
z
F
x
F
x
F
(
x
,
y
,
z
)<
/p>
0
若空间曲线方程为：
,
则切向量
T
{
,
,
< br>G
G
G
x
G
x
y
z
G
z
G
(
x
,
y
,
z
)
0
曲面
F
(
x
,
y
,
z
)
0
上一点
M
(
x
0
,
y
0
,<
/p>
z
0
)
，则：<
/p>
1
、过此点的法向量：
n
{
F
x
(
x
0
,
y
0
,
z<
/p>
0
),
F
y
(
x
0
,
y
0
,
z
0
),
F
z
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)}
x
x
0
y
y
0
z
z
0
3
、过此点的法线方程：
F
x
(
x
0
,
y<
/p>
0
,
z
0
)
F
y
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
F
z
(
x
0
,
y
0<
/p>
,
z
0
)
方向导数与梯度：
F
y
G
y
}
2
、过此点的切平面方程
：
F
x
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)(
x
x
0
)
F
y
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)(
y
y
0
)
F
z
(
x
0
,
y
0
,
z
0<
/p>
)(
z
z
0
)
0
f
f
f
函数
z
f
(
x
,
y
)
在一点
p
(
x
,
y
)
沿任一方向
l
的方向导数为：
cos
sin
l
x
y
其中
为
x
轴到方向
l
的转角。
f
f
i
j
x
< br>y
f
它
与方向导数的关系是
：
grad
f
(
x
,
y
)
e
，其中
e
cos
i
sin
j
，为
l
方向上的
l
单位向量。
f
是
grad
f<
/p>
(
x
,
y
)
在
l
上的投影。<
/p>
l
函数
z
f
(
x
,
y
)
在一点
p
(
x
,
y
)
的梯度：
grad
f
(
x
,
y
)
多元函数的极值
及其求法：
设
f
x
(
x
0
,
y
0
)
<
/p>
f
y
(
x
0
,
y
0
)
0
，令：
f
xx
(
x
0
,
y
0
< br>)
A
,
f
xy
(
x
0
,
y
0<
/p>
)
B
,
f
yy
(
x
0
,
y
0
)
C
< br>
A
0
,
(
x
0
,
y
0
)
为极大值
2
AC
B
0
时，<
/p>
A
0
,
(
x
0
,
y
0
)
为极小值
2
则：
值
AC
B
< br>
0
时， 无极
<
/p>
AC
B
2
0
时
,
不确定
重积分及其应用：
6
/
47
f
(
x
,
y
)
dxdy
f
(
r
cos
,
r
sin
)
r
drd
D
D
曲面
z
f
(
x
,
y
)
的面积
A
D
z
z
1
dxdy
< br>
x
y
2
2
平面薄片的重心：
x
M
x
M
x
(
x
,
y
)
d
D
<
/p>
(
x
,
y
)
d
D
D
,
y
M
y
< br>M
y
(
x
,
y
)
d
D<
/p>
(
x
,
y
)
d
D
D
平面薄片的转动惯量：
对于
x
轴
I
x
y
2
(<
/p>
x
,
y
)
d
,
对于
y
轴
I
y
x
2
(
x
,
y
)
d
平面薄片（位于
xoy
平面）对
z
轴上质点
M
(
0
,
0
,
a<
/p>
),
(
a
0
)
的引力：
F<
/p>
{
F
x
,
F
y
,
F
z
}
，其中：
F
x
f
D
(
x
,
y
)
xd
(
x
y
a
)
2
2
2
2
，
F
y
f
3
D
(
x
,
y
)
yd
(
x
y
< br>
a
)
2
2
2
2
，
F
z
f
a
3
D
(
x
,
y
)
xd
(
x
y
a
)
2
2
3
2
2
柱面坐标和球面坐标：
x
r
cos
柱面坐标：
f
(
x
,
y
,
z
)
dxdydz
F
(
r
,
,
z
)<
/p>
rdrd
dz
,
y
r<
/p>
sin
,
z
z
<
/p>
其中：
F
(
r<
/p>
,
,
z
)
f
(
r
cos
,
r
sin
,
z
)
x
r
sin
cos
2
球面坐标：
y
r
sin
sin
，
dv
rd
r
sin
d
dr
r
sin
drd
d
z
r
cos
2
r
(
< br>
,
)
2
F
(
r
,
,
)
r
sin
dr<
/p>
0
<
/p>
f
(
x
,
y
,
z
)
dxdydz
F
(
r
,
,
)
r
sin
drd
d
d
d
0
0
< br>2
重心：
x
< br>1
M
x
< br>
dv
,
< br>y
1
M
y
dv
,
z
1
M
z
dv
， 其中
M
x
dv
转动惯量：
I
x
< br>
(
y
< br>2
z
2
)
dv
，
I
y
(
x
2
z
2
)
dv
，
I
z
(
x
2
y
2
)
dv
曲线积分：
第一类曲线积分（对弧
长的曲线积分）：
x
(
t
)
设
f
(
x
,
y
)
在
L
上连续，
L
的参数方程为：
,
(
t
),
则：
y
(
t
)
L
x
t
f
(
< br>x
,
y
)
ds
f
[
(
t
),
(
t
)]<
/p>
2
(
t
)
2
(
t
)
dt
(
)
特殊情况：
y
(
t
)
7
/
47
第二类曲线积分（对坐
标的曲线积分）：
x
(
t
)
设
L
的参数方程为
< br>，则：
y
< br>
(
t
)
P
(
x
,
y
)
dx
Q
(
x
,
y
)
dy
{
P
[
< br>(
t
),
(
t
)]
(
t
)
Q
[
(
t
),
(
t
)]
(
t
)}
dt
L
两类曲线积分之间的关
系：
< br>
Pdx
Qdy
(
P
< br>cos
Q
< br>cos
)
ds
，其中
和
分别为
L
L
L
上积分起止点处切向量
的方向角。
< br>Q
P
Q
P
格林公式：
< br>(
)
dxdy
Pdx
Qdy
格林公式：
(
)
dxdy
Pdx
Qdy
x
y
x
y
D
L
D
L
Q
P
1
当
P
< br>
y
,
Q
x
，即：
2
时，得到
D
的面积：
A
< br>
dxdy
xdy
ydx
x
y
2
L
D
·
平面上曲线积分与路
径
无关的条件：
1
、
< br>G
是一个单连通区域；
2
、
P
(
x
,
y
)
，
Q
(
x
,
y
< br>)
在
G
内具有一阶连续偏导数<
/p>
，且
减去对此奇点的积分，
注意方向相反
！
·
二元函数的全微分求积
：
Q
P
在
＝
时，
Pdx
Qdy
才是二元函数
u
(
x
,
y
)
的全微分，其中：
x
y
(
x
,
y
)
<
/p>
Q
P
＝
。注意奇点，如
(
0
,
0
)
，应
x
y
u
(
x
,
y
)
(
x
0
,
y
< br>0
)
P
(
x
,
y
)
dx
Q
(<
/p>
x
,
y
)
dy
，通常设
x
0<
/p>
y
0
0
。
曲面积分：
<
/p>
2
2
对面积的曲面积分：
f
(
x
< br>,
y
,
z
)
ds
f
[
x
,
y
,
z
(
x
,
y
)]
1
z
x
(
x
,
y
)
z
y
(
x
,
y
)
dxdy
D
xy
对坐标的曲面积分：
P
(
x
,
y
,
z
)
dydz
Q
(
x
,
y
,
z
)
dzdx
R
(
x
,
y
,
< br>z
)
dxdy
，其中：
号；
R
(
x
,
y
,
z
)
dxdy
R
[
x
,
y
< br>,
z
(
x
,
y
)]
dxdy
< br>，取曲面的上侧时取正
D
xy
号；
P
(
x
,
y
,
z
)
dydz
<
/p>
P
[
x
(
y
,
z
),
y
,
z
]
dydz
，取曲面的
前侧时取正
D
yz
< br>
Q
(
x
,
y
,
z
)
dzdx
Q
[
x
,
y
(
z<
/p>
,
x
),
z
]
dzdx
，取曲面的右侧时取正
号。
D
zx
两类曲面积分之间的关
系：
Pdydz
Qdzdx
<
/p>
Rdxdy
(
P
cos
Q
cos
R
cos
)
ds
高斯公式：
8
/
47
(
P
Q
R
)
dv
Pdydz
Q
dzdx
Rdxdy
(
P
cos
Q
cos
R
cos
)
ds
x
y
< br>z
高斯公式的物理意义
—
—通量与散度：
P
Q
R
散度：
d
iv
,
即：单位体积内所产生
的流体质量，
若
div
0
,
则为消失
...
< br>
x
y
z
通
量：
A
n
ds
A
n
ds
(
P
cos
Q
cos
R
cos
)
ds
，
因此，高斯公式又可写
成：
div
A
dv
<
/p>
A
n
ds<
/p>
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
(
R
Q
P
R
Q
P
)
dydz
(
)
dzdx
(
)
dxdy<
/p>
Pdx
<
/p>
Qdy
Rdz
y
z
<
/p>
z
x
x
y
cos
y
Q
cos
z
R
dydz
dzdx
dxdy
cos
上式左端又可写成：
x
y
< br>z
x
P
Q
R
P
R
Q
P
R
Q
P
空间曲线积分与路径无
关的条件：
，
，
y
z
z
x
x
y
i<
/p>
j
k
旋度：
rot<
/p>
A
x
y
z
P
Q
R
向量场
A
沿有向闭曲线
的环流量：
P
dx
Qdy
Rdz
A
t
ds
常数项级数：
< br>1
q
n
等比数列：
1
q
< br>
q
q
1
q
(
n
1
)
n
等差数列：
1
2
3
n
2
1
1
1
调和级数：
1
是发散的
2
3
n
2
n
1
级数审敛法：
9
/
47
1
、正项级数的审敛法
—
—根植审敛
法（柯西判
别法）：
1
时，级数收敛
设：
lim
n
u
n
，则
1
时，级数发散
n
1
时，不确定
2
、比值
审敛法：
1
时，级数收敛
U
设：
lim
n
1
，则
1
时，级数发散
n
U
n
< br>
1
时，不确定
3
、定义法：
s
n
u
1
u
2
< br>
u
n
;
lim
s
n
存在，则收敛；否则发<
/p>
散。
n
交错级数
u
1<
/p>
u
2
u
3
u
4
(
或
u
1
u
2
u
3
,<
/p>
u
n
0
)
的审敛法
—
—莱布
尼兹定理：
u
n
u
n
1
如果交错级数满足
，那么级数收敛且其和
s
u
,
其余项
r
的绝对值
r
u
。
lim
u
0
1
n
n
n
1
n
n
绝对收敛与条件收敛：
(
1
)
u
1
u
2
<
/p>
u
n
，其中
u
n
为任意实数；
(
2
)
u
1
u
2
u
3
u
n
< br>如果
(
2
)
收敛，则
(
1
)
< br>肯定收敛，且称为绝对
收敛级数；
如果
< br>(
2
)
发散，而
(
1
)
收敛，则称
(
1
)
为条件收敛级数。
1
(
1
)
n
调和级数：
n
发散，而
n
收敛；
1
级数：
n
2
收敛；
ｐ
１时发散
1
p
级数：
n
p
p
1
时收敛
幂级数：
1
x
1
时，收敛于
1
x
1
x
x
2
x
3
x
n
x
1
时，发散
对于级数
< br>(
3
)
a
0
a
1
x
a
2
x
2
a
n
x
n
，如果它不是仅在原
点
收敛，也不是在全
x
R
时收敛
数轴上都收敛，则必存
在
R
，使
x
R
时发散
，其中
< br>R
称为收敛半径。
x
R
时不定
1
0
时，
R
求收敛半径的方法：设
lim
a
n
1
，其中
a
n
，
a
n
1
是
(
3
)
的系数，则
0
时，
R<
/p>
n
a
n
时，
R
0
10
/
47
函数展开成幂级数：
f
(
x
< br>0
)
f
(
n
)
(
x
0
)
2
函数展开成泰勒级数：
f
(
x
)
f
(
x
0
)(
x
x
0
)
(
x
x
0
)
(
x
x
0
)
n
< br>
2
!
n
!
f
(
n
1
)
(
)
余项：
R
n
(
x
x
0
)
n
1
,
f
< br>(
x
)
可以展开成泰勒级数的<
/p>
充要条件是：
lim
R
< br>n
0
n
(
n
1
)!
f<
/p>
(
0
)
2
f
(
n
)
(
0
)
n
x
0
0
时即为麦克劳林公式：
f
(
x
)
f
(
0
)
f
(
< br>0
)
x
x
x
2
!
n
!
一些函数展开成幂级数：
m
(
m
< br>
1
)
2
m
(
m
1
)
(
m
n
1
)
n
x
x
< br>
(
< br>1
x
1
)
2
!
n
!
3
5
2
n
1
x
x
x
sin
x
x
< br>(
1
)
n
1
(
x
)
3
!
5
!
(
2
n
1
)!
(
1
x
)
m
1
mx
< br>
欧拉公式：
e
ix
e
ix
cos
x
2
< br>ix
e
cos
x
i
sin
x
或
ix
ix
sin
x
e
e
2
< br>
三角级数：
a
0
f
(
< br>t
)
A
0
A
n
sin(
n
t
n
)<
/p>
(
a
n
cos
nx
b
n
sin
nx
)
2
n
1
n
1
其中，
a
0
aA
0
，
a
n
A
< br>n
sin
n
< br>，
b
n
A
n
cos
n
，
t
x
。
正交性：
1
,
sin
x
,
cos
x
,
sin
2
x
,
cos
2
x
sin
nx
,
cos
< br>nx
任意两个不同项的乘积
在
[
,
]
上的积分＝
0
。
傅立叶级数：
a
0
f
(
x
)
(
a
n
cos
nx
b
n
sin
nx
)
，周期
2
2
n
1
< br>
1
(
n
0
,
1
,
2
)
a
n
f
(
x
)
cos
nxdx
<
/p>
其中
b
1
f
(
x
)
sin
nxdx
(
n
1
,
2
,
3
)
n
1
1
2
1
2<
/p>
2
8
3
5
1
1
1
2
2
2
2
24
2
4
6
正弦级数：
a
n
0
，
b
n
余弦级数：
b
n
0
，
a
n
1
1
1
2
1
2
2
2
< br>
（相加）
6
2
3
4
1
1
1
2
1
2
<
/p>
2
2
（相减）
12<
/p>
2
3
4
f
(
x
)
sin
n
xdx
n
1
,
2
,
3
f
(
x
)
< br>
b
0
2
n
sin
nx
是奇函数
< br>2
0
f
(
x
)
cos
nxdx
< br>n
0
,
1
,
2
f
(
x
)
a
0
a
n
cos
nx
是偶函数
2
11
/
47
周期为
2
l
的周期函数的傅立叶级数：
12
/
47
a
0
n
x
n
x<
/p>
f
(
x
)
(
a
n
cos
b
n
sin
)
，周期
2
l
2
n
1
l
l
l
1
n
x
a
f
(
x<
/p>
)
cos
dx
(
n
0
,
1
,
2
)
n
l
l
l
其中
l
b
1
f
(
x
)
sin
n
x
dx
(
n
1
,
2
,
3
)
n
l
l
l
微分方程的相关概念：
一阶微分方程：
y
f
(
x
,
y
)
或
P
(
x
,
y
)
dx
Q
(
x
,
y
)
dy
0
可分离变
量的微分方程
：一阶微分方程可以化
为
g
(
y
)
dy
f
(
x
)
dx
的形式，解法：
g
(
y
)
dy
f
(
x
)
dx<
/p>
得：
G
(
y
)
F
(
x
)
C
称为隐式通解。
dy
y
f
(
x
,<
/p>
y
)
(
x
,
y
)
，即写成
的函数，解法：
dx
x
y
dy
du
du
dx
du
y
设
u
，则
u
x
，
u
<
/p>
(
u
)
，
分离变量，积分后将
代替
u
，
x
dx
dx
dx
x
(
u
)
u
x<
/p>
齐次方程：一阶微分方
程可以写成
即得齐
次方程通解。
一阶线性微分方程：
d
y
1
、一阶线性微分方程：
P
(
x
)
y
Q
(
< br>x
)
dx
P
(
x
)
dx
当
Q
(
x
)
0
时
,
为齐次方程，
y
Ce
当
Q
(
x
)
0
时，为非齐次方程，
y
< br>
(
Q
(
x
)
e
dy
2
、贝努力方程：
P
(
x
)
y
Q
(
x
)
y
n<
/p>
，
(
n
0
,
1
)
dx
全微分方程：
P<
/p>
(
x
)
dx
dx
C
)
e
P
(
x
)
dx
如果
P
(
x
,
y
)
dx
Q
(
x
,
y
)
d
y
0
中左端是某函数的全微
分方程，即：
u
<
/p>
u
du
(
x
,
y
)
P
(
x
,
y
)
dx
Q
(
x
,
y
)
dy
0
，其中：
P
(
x
,
y
)
，
Q
(<
/p>
x
,
y
)
x
y
u
(
x
,
y
)
C
应该是该全微分方程的
通解。
二阶微分方程：
f
< br>(
x
)
0
时为齐次
d
2
y
dy
P
(
x
)
Q
(
x
)
y
f
(
x
)
，
2
dx
dx
f
(
x
)
0
< br>时为非齐次
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
<
/p>
(*)
y
<
/p>
p
y
qy
0
，其中
p
,
q
为常数；
求解步骤：
1
、写出特征方程：
(
)
r
2
pr
q
0
，其中
r
2
，
r
的系数及常数项恰好是
(*)
式
中
y
,<
/p>
y
,
y
的系数；
2
、求出
(
)
式的两个根
r
1
,
r
2
3
、根据
r
1
,
r
2
的不同
情况，按下表写
出
(*)
式的通解：<
/p>
13
/
47
r
1
，
r
2
的形式
两个不相等实根
(
p
< br>
4
q
0
)
两个相等实根
(
p
4
q
0
)
一对共轭复根
(
p
4
q
0
)
2
2<
/p>
2
(*)
式的通解
y
c
1
e
r
1
x
c
2
e
r
2
x
y
(
c
< br>1
c
2
x
)
e
r
1
x
y
e
x
(
c
1
cos
x
c
2
sin
x
)
r
1
< br>
i
，
r
2
i
4
q
p
2
p
，
< br>2
2
二阶常系数非齐次线性微分方程
y
p
y
<
/p>
qy
f
(
x
)
，
p
,
q
为常数
f
(
x
)
e
x
P
< br>m
(
x
)
型，
为常数；
f
< br>(
x
)
e
x
[
P
l
(
x
)
cos
x
P
n
(
x
)
sin
x
]
型
概率公式整理
1
．随机事件及其概率
A
< br>
吸收律：
A
A
A
A
A
A
(
AB
)
A
A
(
A
B
)
A
A
B
<
/p>
A
B
A
(
AB
)
反演律：
A
B
A
B
AB
A
< br>B
A
i
i
1
n
n
A
i
i
1
n
i
1
A
i
A
< br>i
i
1
n
2
．概率的定义及其计算
P
(
A
)
1
P
(
A
)
若
A
< br>
B
P
(
B
A
)
P
(
B
)
P
(
A
)
对任意两个事件
A
,
B
,
有
<
/p>
P
(
B
A
)
P
(
B
)
P
(
AB
)
< br>
14
/
47
加法公式：对任意两个事件
A
,
B
,
有
P
(
A
B
)
P
(
A
)
P
(
B
< br>)
P
(
AB
)
P
(
A
B
)<
/p>
P
(
A
)
P
(
B
)
P
(
A
i
)
P
(
A
i
)
<
/p>
i
1
i
1
n
n
1
i
j
n
P
(
A
A
)
i
j
1<
/p>
i
j
k
n
P
(
A
A
A
)
(
1
)
i
j
k<
/p>
n
n
1
P
(
A
1
A
2
A
n
)
3
．条件概率
P
B
A
乘法公式
P
(
AB
)
P
(
A
)
P
(
AB
)
P
(
A
)
P
B
A
(
P<
/p>
(
A
)
0
)
P
(
A
1
A
2
A
n
)
P
(
A
1
)
P
<
/p>
A
2
A
1
P
A
n
A
1
A
2
A
n
1
(
P
(
A
1<
/p>
A
2
A
n
1
)
0
)
全概率公式
P
(
A
)
P
(
AB<
/p>
i
)
P
(
B
i
)
P
(
A
B
i
)
i
1
i
1
n<
/p>
n
Bayes
公式
P
(
B
k
)
P
(
A
B<
/p>
k
)
P
(
AB
k
)
n
P
(
B
k
A
)
P
(
A
)
P
< br>(
B
i
)
P
(
A
B
i
)
i
1
4
．随机变量及其分布
分布函数计算
P
(
a
X
b
)
<
/p>
P
(
X
b
)
P
(
X
a
)
F
(
b
)
F
(
a
)
5
．离散型随机变量
(1)
0
–
1
分布
P
(<
/p>
X
k
)
p
k
(
1
p
)
1
k
,
k
0
,
1
15
/
47
(2)
二项分布
B
(
n
,
p
)<
/p>
若
P
(
A
) =
p
k
k
P
(
X
k
)
C
n
p
(
1
< br>p
)
n
k
,
k
0
,
1
,
,
n
*Possion
定理
lim
n
np
n
0
k
k
n
k
有
lim
n
C
n<
/p>
p
n
(
1
p
n
)
e
k
k
!
k
0
,
1
,
2
,<
/p>
(3)
Poisson
分布
P
(
)
P
(
X
k
)
e
< br>
k
k
!
,
k
0
,
1
,
2
,
6
．连续型随机变量
(1)
均匀分布
U
(
a
,
b<
/p>
)
1
f
(
x
)
b
a
,
a
x
b
0
,
其他
0
,
F
(
x
)
x
a
b
a
,
1
(2)
指数分布
E
(
)
f
(
x
)
< br>
e
x
,
x
0
0
,
其他<
/p>
F
(
x
)
0
,
x
0
1
e
x
,
x
0
(3)
正态分布
N
(
,
2 )
/
47
16
1
f
(
x
)
e
2<
/p>
(
x
)
2
2
2
x
F
(
x
)
1
2
x
e
(
t
)
2
2
< br>2
d
t
*
N
(0,1)
—
标准正态分布
1
(
x
)
e
2<
/p>
x
2
2
x
t
2
2
< br>
(
x
)
1
2
x
e
d
t
x
7.
多维随机变量及其分布
二维随机变量
(
X ,Y
)
的分布函数
F
(
x
,
y
)
x
y
f
(
u
,
v
)
< br>dvdu
边缘分布函数与边缘密度函数
F
X
(
x
)
f
X
(
x
)
< br>
F
Y
(
y
)
f
Y
(
y
)
x
f
(
u
,
v
)
< br>dvdu
y
f
(
x
,
v
)
dv
f
(
u
,
v
)
dudv
<
/p>
f
(
u
,
y
)
du
8.
连续型二维随机变量
(1)
区域
G
上的均匀分布，
U
(
G
)
1
,
(
x
,
y
)
G
f
(
x
,
y
)
< br>
A
其他
0
,
(2)
二维正态分布
f
(
x
,
y
)
1
2
1
2
1
2
e
(
x
1
)
2
(
< br>x
1
)(
y
2
)
(
y
<
/p>
2
)
2
2
2
1
2
2
(
1
2
)
<
/p>
2
2
1
1
x
,
< br>
y
17
/
47
9.
二维随机变量的
条件分布
f
(
x
,
y
)<
/p>
f
X
(
x
)
f
Y
X
(
y
x
)
f
Y
(
y
)
f
X
Y
(
x
y
)
f
< br>X
(
x
)
0
f
Y
(
y
)
0
f
X
(
x
)
f
Y
(
y
)
f
(
x
,
y
)
dy
f
(
x
,
y
)
dx
f
X
Y
(
x
y
< br>)
f
Y
(
y
)
dy
f
Y
X
(
y<
/p>
x
)
f
X
(
x
)
dx
f
Y
X
< br>(
y
x
)
f
X
(
x
)
f
(
x
,
y
)
f
X
Y
(
x
y
)
f
Y
(
y
)
< br>f
Y
(
y
)
f
X
Y
(
x
y
)
f
Y
(
y
)
f
(
x
,
y
)
f
Y
X
(
y
x
)
f
X
(
x
)
< br>f
X
(
x
)
10.
随机变量的数字特征
数学期望
E
(
X
)
<
/p>
x
k
p
k
k
1
E
(
X
)
< br>xf
(
x
)
dx
随机变量函数的数学期望
X
的
k
阶原点矩
E
(
X
k
)
X
的
k
阶绝对原点矩
E
(|
X
|
k
)
X
的
k
阶中心矩
E
((
X
E
(
X
))
k
)<
/p>
X
的
方差
<
/p>
E
((
X
E
(
X
))
2
)
D
(
X
)
18
/
47
X ,Y
的
k +
l
阶混合原点矩
< br>E
(
X
k
Y
l
)
X ,Y
的
k + l
阶混合中心矩
E
(
X
E
(
X
))
k
(
Y
E
(
Y
))
l
X ,Y
的
二阶混合原点矩
< br>
E
(
XY
)
X ,Y
的二阶混合中心矩
X ,Y
的协方差
E
(
X
E<
/p>
(
X
))(
Y<
/p>
E
(
Y
))
X ,Y
的相关系数
(
X
< br>E
(
X
))(
< br>Y
E
(
Y
))
XY
E
D
(
X
)
D
(
Y
)
X
的方差
D
(
X
) =
E
((
X -
E
(
X
))2)
D
(
X
)
E
(
X
2
)
E
2
(
X
< br>)
协方差
cov(
X
,
Y
)
E
(
X<
/p>
E
(
X
))(
Y
E
(
Y
))
E
(
XY
)
E
(
X
)
E
(
Y
)
1
D
(
X
Y<
/p>
)
D
(
X
)
D
(
Y
)
2
相关系数
XY
<
/p>
cov(
X
,
Y
)
D
(
X
)
D
(
Y
)
线性代数部分
梳理：条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。
沟通：突出各部分内容间的联系。
充实提
高：围绕考试要求，介绍一些一般教材上没有的结果，教给大家常见问题的实用而简捷
的
方法。
大家要有这样的思想准备：发现我的讲解在体系上和你以前学
习的有所不同，有的方法是你不
19
/
47
知道的。但是我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会
提高你的解题能力的。
基本运算
< br>①
A
B
B
A
②
A
B
<
/p>
C
A
B
C
③
c
A
B
cA
cB
c
d
A
cA
dA
④
< br>c
dA
cd
A
⑤
cA
0
c
0
或
A
0
。
A
T
T
A<
/p>
A
B
T
A
T
B
T
cA
T
c
A
T
。
AB<
/p>
T
B
T
A
T
n
n
1
21
C
2
n
1
n
n
2
D
a
21
A
21
a
22
A
22
a
2
n
< br>A
2
n
转置值不变
A
T
< br>A
逆值变
A
< br>
1
1
A
cA
c
n
A
<
/p>
,
1
2
,
,
1
,
,
2
,
A
1
,
2
,
3
，
3
阶矩阵
B
1
,
2
,
3
A
B
A
B
A
B
1
1
,
2
< br>
2
,
3
3
A
B
1
1
,
2
2
,
< br>
3
3
A
0
B
A
0
B
A
B
20
/
47
E
i
,
j
c
1
有关乘法的基本运算
C
ij
a
i
1
b
1
j
a
i
2
b
2
j
a
in
b
nj
线性性质
A
1
A
2
B
A
1
B
A
2
< br>B
，
A
B
1
B
2
AB
1
AB
2
cA<
/p>
B
c
AB
A
cB
结合律
AB<
/p>
C
A
BC
T
T
AB<
/p>
B
A
T
AB
A
B
A
A
A
A
k
k
l
k
l
l
A
< br>kl
k
k
k
AB
A
B
不一定成立！
A
E
A
，
EA
A
A
kE
kA
，
kE
A
kA
AB
E
BA
E
与数的乘法的不同之处
k
k
AB<
/p>
A
B
不一定成立！
k
无交换律
因式分解障碍是交换性
一个矩
阵
A
的每个多项式可以因式分解，例如
A
2
A
3
E
A
3
< br>E
A
E
2
无消去
律（
矩阵和矩阵相乘
）
当
AB<
/p>
0
时
A
0
或
B
0
由
A
0
和
AB
0
B
0
由
A
0
时
AB
AC
B
C
（无左消去律）
特别的
设
A
可逆，则
A
有消去律
。
左消去
律：
AB
AC
B
C
。
右消去律：
BA
CA
B
C
。
如果
A
列满秩，则
A
有左消去律，即
①
AB
0
B
0
②
AB
AC
B
C
可逆矩阵的性质
21
/
47
i
）当<
/p>
A
可逆时，
A
T
也可逆，且
A
T
1
A
1
。
A
1
。
< br>
1
T
A
k
也可逆，且
A
k
1
k
数
c
0
，
cA
也可逆，
cA
<
/p>
1
1
A
。
c
1
ii
）
A
，
B
是两个
n
阶可逆矩阵
AB
也可逆，且
AB
B
1
A
1
。
推论：设
A
，
B<
/p>
是两个
n
阶矩阵，则
AB
E
BA
E
命题：初等矩阵都可逆，且
E
i
,
j
1
E
< br>i
,
j
E
i
c
1
< br>
1
E
i
c
1
< br>
E
i
,
j
c
E
i
,
j
c
命题：准对角矩阵
A
11
0
A
< br>
0
0
伴随矩阵的基本性质：
0
0
0
1
A
11
0
< br>1
A
22
0
0
0
0
0
0
1
A<
/p>
kk
A
22<
/p>
0
0
0
0
0
0
可逆
每个
A
ii
都可逆，记
A
1
0
0
A
kk
0
0
0
AA
*
A
*
A
A
E
当
A
可逆时，
A
A
*
A
*
E
得
A
1
，
（求逆矩阵的伴随矩阵法）
A
A
1
且得：
A
*
伴随矩阵的其他性质
①
A
*
A
n
1
A
A
< br>1
A
1
A
*
A
1
A
< br>1
1
A
A
,
A
*
A
A
T
1
T
< br>②
A
*
A
*
,
22
/
47
③
cA
*
c
n
1
A
*
,
④
AB<
/p>
*
B
*
A
*,
k
⑤
A
*
A
*
，
k
⑥
A
*
*
A
n
2
a
b
< br>
A
。
n
2
时，
A
*
*
A
A
*
c
d
关于矩阵右上肩记号
：
T
，
k
，
< br>
1
，
*
i)
任何两个的次序可交换，
T
如
A
*
A
*
，
T
< br>
1
T
A
*
A
1
*
等
< br>1
T
T
ii)
AB
B
A
,
AB
<
/p>
B
1
A
1
，
AB
*
B
*
A
*
k
k
但
AB
B
A
不一定成立！
k
线性表示
0
1
,
<
/p>
2
,
,
s
i
1
,
2
,
,
s
< br>
1
,
2
,
,
s
< br>x
1
1
x
2
2
x
s
s
有解
1
,
2
,
,
s
x
< br>
有解
x
x
1
,
,
x
s<
/p>
Ax
<
/p>
有解，即
可用
A
的列向量组表示
AB
<
/p>
C
r
1
,
r
2
,
,
r
s
，
A
1
,
2
,
<
/p>
,
n
，
则
r
1
,
r
2
,
,
r
s
1
< br>,
2
,
,
n
。
1
,
2
,
,
t
< br>1
,
2
,
,
s
，
则存在矩阵
C
，使得
1
,
2
,
,
t
1
,
2
,
,
< br>s
C
线性表示关系有传递性
当
1
,
2
,
,
t
1
,
< br>
2
,
,
s
r
1
,
r
2
,
,
r
p
，
则
1
,
2
,
,
t
r
1
< br>,
r
2
,
,
r
p
。
T
23
/
47