微积分公式大全
派出所几点上班-
导数公式：
(tan
x
)
se
c
2
x
(cot
x
)
csc
2
x
(
sec
x
)
sec
x
tan
x
(csc
x
< br>)
csc
x
cot
< br>x
(
a
x
)
a
x
ln
a
(
x<
/p>
x
)
x
x
(ln
x
1)
(log
a<
/p>
x
)
1
x
ln
a
(arcsin
x
)
1
1
x
2
1
(arcc
os
x
)
1
x
2
1
(arctan
x
)
1
x
2
1
(arc
cot
x
)
1<
/p>
x
2
1
(
thx
)
ch
2
tan
xdx
ln
cos
x
<
/p>
C
cot
xd
x
ln
sin
x
C
s
ec
xdx
ln
sec
x
tan
x
C
csc
xdx
ln
csc
x
cot
x
C
dx
1
x
arctan
C
a
2
x
2
a
a
dx
1
x
a
ln
x
2
a
2
2
a
x
a
C
dx
1
a
x
a
2
x
2
2
a
ln
< br>a
x
C
dx
x
arcsin
C
< br>a
2
x
2
a
2
n
dx
2
co
s
2
x
<
/p>
sec
xdx
tan
x
C
dx
2
sin
2
x
c
sc
xdx
cot
x
C
sec
x
tan
xdx
sec
x
C
< br>csc
x
cot
xdx
csc
x
C
a
x
a
dx
ln
a
< br>C
x
shxdx
chx
C
chxdx
shx
C
dx
x
2
a
2
ln(
x
x
2
a
2
)
C
2
I
n
sin
xdx
cos
n
xdx
0
0
n
1
I
n
2
n<
/p>
基本积分
表：
x
2
a
2
2
x
a
dx
x
a
ln(
x
x
2
a
2
)
C
2
2
x
2
a
2
2
2
2
x
<
/p>
a
dx
x
a
ln
x
x
2
a
2
C
2
2
x
2
a
2
x
2
2
2
a
<
/p>
x
dx
a
x
arcsi
n
C
2
2<
/p>
a
2
2
三角函数
的有理式积分：
2
u
1
u
2
x
2
du
sin
< br>x
，
cos
x
，
u
< br>
tg
，
dx
1
u
2
1
u
2
2
1
u<
/p>
2
一些初等函数：
两个重要极限：
< br>e
x
e
x
双曲正弦
:
shx
2
e
x
e
x
双曲余弦
:
chx
< br>
2
shx
e
< br>x
e
x
双曲正切
:
thx
x
chx
e
e
x
arshx
ln(
x
x
1
）
archx
ln(
x
x
2
1
)
1
1
x
arthx
ln
2
1
x
< br>三角函数公式：
2
lim
sin
x
1
x
0
x
1
lim
(
1
)
x
e
2
< br>.
7182818284
59045
...
x
x
sin
sin
2sin
cos
2
2
<
/p>
sin
si
n
2
co
s
sin
2
2
<
/p>
cos
<
/p>
cos
2<
/p>
cos
cos
2
2
<
/p>
cos
<
/p>
cos
<
/p>
2sin
sin
2
2
1
sin(
<
/p>
)
sin(
)
2
1
cos
sin
sin(
<
/p>
)
sin(
)
2
1
cos
cos
cos(
<
/p>
)
cos(
)
2
1
sin
sin
cos(
<
/p>
)
cos(
)
2
sin
cos
·和差化积公式：
·积化和差公式：
sin(
)
sin
cos
cos
sin
cos(<
/p>
)
cos
cos<
/p>
m
sin
<
/p>
sin
tan
tan
tan(
)
1
m
t
an
tan
cot
cot
m
1
cot(
)
cot
cot
x
x
1
tan
2
2
，
cos
x
2
sin
x
x
x
1
tan
2
1
tan
2
2
2
1
ta
n
2
x
2
2<
/p>
cos
x
，<
/p>
sin
x
<
/p>
2
1
tan<
/p>
x
1
tan<
/p>
2
x
tan
2<
/p>
x
sec
2<
/p>
x
1
，
cot
2
x
csc
2
x
1
|
sin
x
|
|
x
|
|
tan
x
|
2
tan
·和差角公式：
·万能公式、正切代换、其他公式：
·倍角公式：
sin
2
2sin
cos
cos
2
2cos
2
1
1
2sin
2
cos
2
sin
2
cot
2
cot
1
2cot
2
tan
tan<
/p>
2
1
tan
2
2
sin
3
3sin
4sin
3
co
s3
4cos
3
3cos
< br>
3tan
tan
3
tan
3
1
3tan
2
·半角公式：
sin<
/p>
tan
2
<
/p>
1
cos
1
cos
cos
2
2
2
1
cos
1
cos
sin
1
cos
1
cos
sin
cot
1
cos
sin
1
cos
2
1
cos
sin
1
cos
2
a
b
c
< br>
2
R
2
2
2
s
in
C
·正弦定理：
sin
A
sin
B
<
/p>
·余弦定理：
c
a
b
2
ab
cos
C
arcsin
x
·反三角函数性质：
2
arccos
x
arctan
x
2
arccot
x
高阶导数公式——莱布尼兹（
Leibniz
）公式
：
k
(
n<
/p>
k
)
(
k
)
C
n
u
v
k
0
n
(
uv
)
(
n
)
u
(
n
)
v
nu
(
n
1
)
v
n
(
n
1
)
(
n
2
)
n
(
n
1<
/p>
)
(
n
k
1
)
(
n
k
)
(
k
)
u
v
u<
/p>
v
uv
(
n
)
2
!
k
!
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：
f
(
b
)
f
(
a
)
f
(
)(
b
a
)
f
(
b
)
f
(
a
)
f
(
)
柯西中值定理：
F
(
b
)
F
(
a
)
F
(
< br>)
当
F
(
x
)
x
时
，柯西中值定理就是
拉格朗日中值定理。
曲率：
弧微分公式：
ds
1
< br>y
2
dx
,
其中
y
tg
平均曲率：
K
.
:
从
M
点到
M
点，切线斜率的倾角变
化量；
s
：
M
M
弧长。
s
y
d
M
点的曲率：
K
lim
.
2
3
s
0
s
ds
(
1
y
)
直线：
K
0
;
1
半径为
a
的圆：
K
.
a
定积分的近似计算：
b
矩形法：
f
(
x
)
a
b
b
a
(
y
0
y
1<
/p>
y
n
1
)
n
b
a
1
[
(
y
0
y
n
)
y
1
<
/p>
y
n
1
]
n
2
b
a
[(
y
0
< br>y
n
)
2
(
y
2
y
4
y
n
2
)
4
(
y
1
< br>y
3
y
n
1
)]
3
n
梯形
法：
f
(
x
)
a
b
抛物线法：
f
(
x
)
a
定积分应用相关公式：
功：
W
F
s
水压力：
F
p
A
m
m
引力：
F
k
1
2
2
,
k
为引力系数
r
b
1
函数的平均值：
y
f
(
x
)
dx
b
a
a
1
< br>2
均方根：
f
(
t
)
dt
< br>b
a
a
空间解析几何和向量代数：
b
空间
2<
/p>
点的距离：
d
M
1
M
2
<
/p>
(
x
2
x
1
)
2
(
y
2
y
1
)
2
(
z
2
z
1
)<
/p>
2
向量在轴上的投影：
Pr
j
u
AB
AB
cos
,
是
AB
与
u
轴的夹角。
Pr
j
u
(
a
< br>1
a
2
)
Pr
j
a
1
Pr
j
a
2
a
b
a
b
cos
a
x
b
x
< br>
a
y
b
y
a
z
b
z
,
是一个数量
,
两向量之间的夹角：
cos
i
c
a
b
a
< br>x
b
x
j
a
y
b
y
a
x
b
x
a
y
b
y
a
z
b
z
a
x
< br>a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
2
2
2
2
2
2
k
< br>
a
z
,
c
a
b
sin
.
例：线速度：
v
w
r
.
b
z
a
y
b<
/p>
y
c
y
a
z
b
z
a
b
c
cos
,
为锐角时，
c
z
a
x
向量的混合积：
[
a
b
c
]
(
a
b
)
c
b
x
c<
/p>
x
代表平行六面体的体积
。
1
、点法式：
A
(
x
x
0
)
< br>B
(
y
y
0
)
C
(
z
z
0
)
0
，其中
n
{
A
,
B
,
C
},
M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
2
、一般方程：
< br>Ax
By
< br>Cz
D
0
x
y
z
3
、截距世方程：
1
a
b
c
平面外任意一点到该平
面的距离：
d
Ax
0
By
0
C
z
0
D
A<
/p>
2
B
2
C
2
平面的方程：
x
x
0
mt
x
x
y
y
0
z
z
0
空间直线的方程：
0
t
,
其中
s
{
m
,
n
,
p
};
参数方程：
y
y
0
< br>nt
m
n
p
z
z
pt
0
二
次曲面：
1
、椭球面：
x
2
y
2
z
< br>2
a
2
b
2
c
2
1
2
、抛物
面：
x
2
2
p
y
2
2
q
z
（
,
p
,
q
同号）
3
、双曲面：
x
2
y
2
a
z
2
单叶双曲面：<
/p>
2
b
2
c
2
1
x
2
y
2
z
2
双叶双曲面：
a
2
b
2
c
2
< br>（马鞍面）
1
多元函数微分法及应用：
全微分：<
/p>
dz
z
z
u
x
dx
y
dy
du
u
u
x
dx
y
< br>dy
z
dz
全微分的近似计算：
z
dz
f
x
(
x
,
y
)
x
f
y
(
x
,
y
)
y
多元复合函数的求导法
：
z
f
[
u
(
t
),
v
(
t
)]
< br>
dz
z
u
z
v
dt
u
t
v
t
z
f
[
u
(
x
,
y
< br>),
v
(
x
,
y
)]
< br>
z
z
u
z
v
x
u
x
v
x
< br>当
u
u
(
x
,
y
)
，
v
v
(
x
,
y
)
时，
du
u
x
dx
u
y
dy
dv
v
v
x
dx
y
dy
隐函数的求导公式：
隐函数<
/p>
F
(
x
,
y
)
0
，
dy
F
x
，
d
2
y
F
x
F
dy
dx
2
< br>x
(
F
)
＋
(
x
dx
F
)
<
/p>
y
y
y
F
y
dx
隐函数
F
(
x
,
y
,
z
)
0
，
z
F
z
F
y
x
x
F
，
z
<
/p>
y
F
z
F
F
(
x
,
y
,
u
,
v
)
0
< br>
(
F
,
G
)
u
隐
函数方程组：
J
G
< br>
(
u
,
v
)
G
(
x
,
y
,
u
,
v
)
0
u
u
1
< br>(
F
,
G
)
v
1
(
F
,
G
)
x
J
(
x
,
v
)
x
J
(
u
,
x
)
u
1<
/p>
(
F
,
G
)
v
1
(
F
,
G
)
< br>
y
J
(
y
,
v
)
y
J
(
u
,
y
)
微分法在几何上的应用：
F
v
F
u
G
< br>G
u
v
F
v
G
v
x
(
t
)
x
x
y
y
0
z
< br>z
0
空间曲线
y
(
t
)
在点
M
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
处的切线方程：
0
(
t
0
)
(
t
0
)
(
t
0
)
< br>
z
(
t
)
在
点
M
处的法平面方程：
(
t
0
< br>)(
x
x
0
)
(
t
0
)(
y
y
0
)
(
t
0
)(
z
z
0
)
0
F
y
F
z
F
z
F
x<
/p>
F
x
F
(
x
,
y
,
z
)
0
若空间曲线方程为：
,
则切
向量
T
{
,
,
G
G
G
x
G
G
G
(
x
,
y
,
z
)
< br>
0
y
z
z
x
曲
面
F
(
x
,<
/p>
y
,
z
)
0
上一点
M
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
，则：
1
、过此点的法向量：
n
<
/p>
{
F
x
(
x
0
,
y
0
,
z
0
),
F
y
(
< br>x
0
,
y
0
,
z
0
)
,
F
z
(
x<
/p>
0
,
y
0
,
z
0
)}
x
x
0
y
y
0
< br>z
z
0
3
、过此点的法线方程：
F
x
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
F
y
(
x
0
,
y
0
,<
/p>
z
0
)
F
z
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
梯度：
F
y
G
y
}
2
、过此点的切平面方程
：
F
x
(
x
0
,
y
0
,
z
0
< br>)(
x
x
0
)
F
y
(
x
0
,<
/p>
y
0
,
z
0
)(
y
y
0
)
F
z
(
x
< br>0
,
y
0
,
z
0
)(
z
z
0
)<
/p>
0
方向导数与
f
f
<
/p>
f
函数
z
f
(
x
,
y
)
在一点
p
(
x
,
y
)
沿任一方向
l
的方向导数
为：
cos
sin
l
x
y
其中
为
x<
/p>
轴到方向
l
的转角。
f
f
i
j<
/p>
x
y
f
它与方向导数的关系是
：
grad
f
(
x
,
y
)
e
，其中
e
cos
i
sin
j
，为
l
方向上的
l
单位向量。
f
是
grad
f
(
< br>x
,
y
)
在
l
上的投影。
< br>l
函数
z
f
(
x
,
y
)
在一点
p
(
x
,
y<
/p>
)
的梯度：
grad
f
(
x
,
y
)
多元函数的极值及其求法：
设
f
x
(
x
0
,
y
0
)
f
y
(
x
0
,
y
0
)
0<
/p>
，令：
f
xx
(
x
0
,
y
0
)
A
,
f
xy
(
x
0
,
y
0
)
B
,
f
yy
(
x
0
,
y
0
)
C
A
0
,
(
x
0
,
y
< br>0
)
为极大值
2
AC
B
< br>0
时，
A
0
,
(
x
0
,<
/p>
y
0
)
为极小值
2
则：<
/p>
值
AC
B
0
时，
无极
AC
< br>B
2
0
时
,
不确定
重积分及其应用：
f
(
x
,
< br>y
)
dxdy
f
(
r
< br>cos
,
r
< br>sin
)
rdrd
D
D
曲面
z
f
< br>(
x
,
y
)
的面积
A
D
z
z<
/p>
1
dxdy
x
y
2
< br>2
平面薄片的重心：
x
M
x
M
x
(
x
,
y
)
< br>d
D
(
x
,
y
)
d
D<
/p>
D
,
y
M
y
M
y
(
x
,
y
)
d
D
(
x
,
y
)
d
D
D
平面薄片的转动惯量：
对于
x
轴
I
x
y
2
(
x
,
y
)
d
,
对于
y
轴
I
y
x
2
(<
/p>
x
,
y
)
d
平面薄片（位于
xoy
平面）对
z
轴上质点
M
(
0
,
0
,
a
),
< br>(
a
0
)
的引力：
F
{
F
x
,
F
y
,
F
z<
/p>
}
，其中：
F
x
f
D<
/p>
(
x
,
y
)
xd
(
x
y
a
)
2
< br>2
2
2
，
< br>F
y
f
3
D
(
x
,
y
)<
/p>
yd
(
x
y
a
)
2
2
2
2
，
F
z
fa
3
D
(
< br>x
,
y
)
xd
(
x
y
a
)<
/p>
2
2
3
2
2
柱面坐标和球面坐标：
x
r
cos
柱面坐标：
f
(
x
,
y
,
z
)
dxdydz
F
(
r
,
,
z
)
rdrd
dz
,
y
r
sin
,
z
z
其中：
F
(
r
,
,
z
)
< br>f
(
r
cos
< br>
,
r
sin
< br>
,
z
)
x
r
s
in
cos
2
球面坐标：
< br>y
r
sin
< br>
sin
，
dv
rd
r
sin
d
< br>dr
r
sin
drd
d
z
r
cos
2
r
(
,
)<
/p>
2
F
(
r
,
,
)
r
sin
dr
0
f
(
x
,
y
,
z
< br>)
dxdydz
F
(
r
,
,
)
r
sin
drd
d
d
d
0
0
2
重心：
x
1
M
x
dv
,
y
<
/p>
1
M
y<
/p>
dv
,
<
/p>
z
1
M
z
dv
， 其中
M
x
dv
<
/p>
转动惯量：
I
x
(
y
2
z
2<
/p>
)
dv
，
I
y
(
x
2
z
2
)
dv
，
I
z
(
x
2
y
2
)
dv
曲线积分：
第一类曲线积分（对弧
长的曲线积分）：
< br>x
(
t
)
设
f
(
x
,
y
)
在
L
上连续，
L<
/p>
的参数方程为：
,
< br>(
t
),
则：
y
(
t
)
L
x
t
f
(
x
,
y
)
ds
f
[
(
t
),
(
t
)]
2
(
t<
/p>
)
2
(
t
)
dt
(
)
特殊情况：<
/p>
y
(
t
)