(完整版)圆的知识点概念公式大全
唳-
圆的知识点概念公式大全
一．
圆的定义
1
．在一个平面内，线段
OA
绕它固定的一个端点
O
旋转一周，另一个端点
A
所
形成的
图形叫
圆
．这个固定的端点
O
叫做圆心，线段
OA
叫做半径．以
O
点为圆心的圆记
作
⊙
O
，读作圆
O
．
2
．圆是在一个平面内，所有到
一个定点的距离等于定长的点组成的图形．
3
．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．
二．
同圆、同心圆、等圆
1
．圆心相同且半径相等的圆叫做
同圆
；
2
．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做
同心圆
；
3
．半径相等的圆叫做
等圆
．
< br>
三．弦和弧
1
．连结圆上任意两点的线段叫做
弦
．经过圆心的弦叫做
直径
，并且直径是同一圆中最<
/p>
长的弦，直径等于半径的
2
倍．
2
．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称<
/p>
弧
．以
A
AB<
/p>
，读作弧
、
B
为
端点的弧记作
»
AB
．
在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做
等弧
．
3
．圆的任意一条
直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做
半圆
．在一个
圆中
大于半圆的弧叫做
优弧
，小于半圆
的弧叫做
劣弧
．
4
．从圆心到弦的距离叫做
弦心距
．
5
．由弦及其所对的弧组成的图
形叫做
弓形
．
四．与圆有关的角及相关定理
1
．
顶点在圆心的角叫做
< br>圆心角
．
将整个圆分为
360<
/p>
等份，
每一份的弧对应
1
的圆心角，
我们也称这样的弧为
1
的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．
2
．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做
圆周角
．
圆周角定理
：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对
的圆
心角的一半．
推论
1
：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．<
/p>
推论
2
：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，
90
的圆周角所对的弦是直径．
（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）
3
．顶点在圆内，两边与圆相交的角叫
圆内
角
．
圆内角定理
：圆内角的度数等于圆内角所对的两条弧的度数和的一半．
< br>
4
．顶点在圆外，两边与圆相交的角叫圆外角．
圆外角定理
：圆外角的度数等于圆外角所对
的长弧的度数与短弧的度数的差的一
半．
5
．
圆内接四边形
< br>的对角互补，一个外角等于其内对角．
6
．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
7
．
圆心角、弧、弦、弦心距
之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的
弧相等，所对的
弦相等，所对的弦的弦心距相等．
< br>推论
：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有
一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．
五．垂径定理
1
．
垂径定理
：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对
的两条弧．
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2
．其它正确结论：
⑴
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
⑵
平分
弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
⑶
圆的两条平行弦所夹的弧相等．
3
．
知二推
三：
⑴直径或半径；⑵垂直弦；⑶平分弦；⑷平分劣弧；⑸平
分优弧．
以上五个条件知二推三
．注意：在由⑴⑶推⑵⑷⑸时，要注意平分的弦非直径．
4<
/p>
．
常见辅助线做法：
⑴过圆心，作垂线，连半径，造
R
T
△
，用勾股，求长度；
⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．
相关题目：
1
．平面内有一点到圆上的最大距离是
6
，最小距离是
2
，求该圆的半径
2
．
（
08
郴州
）已知在
⊙
O
中，半径
r
5
，
AB
，
CD
6
，
CD
是两条平行弦，且
AB
8
，
5
2
，
7
2
．
则弦
AC
的长为
__________
．
解：
2
，
六．点与圆的位置关系
1
．
点与圆的位置
有三种：
⑴点在圆外
d
r
；⑵点在圆上
d
r
；⑶点在圆内<
/p>
d
r
.
如下表所示：
位置关系
图形
P
O
定义
性质及判定
点在圆外
r
点在圆的外部
d
r
点
P
在
⊙
O<
/p>
的外部
.
r
O
点在圆上
P
点在圆周上
d
r
点
P
在
⊙
O
的圆周上
.
点在圆内
2
．
过已知点作圆
r
O
P
点在圆的内部
d
< br>
r
点
P
在
⊙
O
的
内部
.
⑴经过点
A
< br>的圆：以点
A
以外的任意一点
O
为圆心，以
OA
的长为半径，即可作出
过点
A
的圆，这样的圆有无数个．
⑵经过两点
A
、
B
的圆：
以线段
AB
中垂线上任意一点
O
作为圆心，
以
OA<
/p>
的长为半
径，即可作出过点
A
、
B
的圆，这样的圆也有无数个．
⑶过三点的圆：若这三点
A
、
B
、
C
共线
时，过三点的圆不存在；若
A
、
B
、
C
三点
不共线时
，
圆心是线段
AB
与
< br>BC
的中垂线的交点，
而这个交点
O
是唯一存在的，
这样的圆有唯一一个．
⑷过
n
n
≥
4
个
点的圆：只可以作
0
个或
1
个，当只可作一个时，其圆心是其中不
共线三点确定的圆的圆心．
3
．
定理：
不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意
：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三
< br>点不能作圆；
⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．
<
/p>
4
．
三角形的外接圆
⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的
外接圆
，外接圆的圆心是三角形三条边垂
直平分线的交点，叫做三角形的
外心
，这个三角形叫做这个圆的
内接三角形<
/p>
．
⑵三角形外心的性质：
①三角形的外
心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三
角形各顶点的距离相等
；
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其
外心是唯一的，但一
个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合
.
⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部<
/p>
（如图
1
）
；<
/p>
直角三角形外接圆的圆心在斜边
中点
<
/p>
处
（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图
2
）
；钝角三角形外接圆的圆
心在
它的外部（如图
3
）
.