所向披靡-

2021年2月18日发(作者：顶管施工)

一元二次方程应用题经典题型汇总

同学们知道，学习了一元二次方程的解法以后，就会经常遇到解决与一元二次方程有

关的生活中的应用问题，即列一元二次方程解应用题，不少同学遇到这类问题总是左右为

难，难以下笔，事实上，同学们只要能认真地阅读题目，分析题意，并能学会分解题目，

各个击破，从而找到已知的条件和未知问题，必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我

们理顺已知与未知之间的关系，找到一个或几个相等的式子，从而列出方程求解，同时还

要及时地检验答案的正确性并作答

.

现就列一元二次 方程解应用题中遇到的常见的十大典

型题目，举例说明

.

一、增长率问题

例

1

恒利商 厦九月份的销售额为

200

万元，十月份的销售额下降了

20%

，商厦从十

一月份起加强管理，

改善经营，

使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了

193.6

万元，

求这两个月的平均增长率

.

解

设这两个月的 平均增长率是

x

.

，则根据题意，得< /p>

200(1

－

20%)(1+

< p>
x

)

2

＝

193.6

，

即

< p>
(1+

x

)

2

< p>
＝

1.21

，解这个方程，得

x

1

＝

0.1

，

x

2

＝－

2.1

（舍去）

.

答

这两个月的平均增长率是

10%.

说明

这是一道正增长率问题，对于正 的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中

每一个数据的意义，即可利用公式

m

(1+

x

)

2

＝

n

求解，其中

m

＜

n

.

对于负的增长率问题，若

经过两次相等下降后，则有公式

m

(1

－

x

< br>)

2

＝

n

即可求解，其中

m

＞

n

.

二、商品定价

例

2

益群精 品店以每件

21

元的价格购进一批商品，

该商品可以自行定价，

若每件商

品售价

a

元，则可卖出（

350

－

10

a

）件，但物价局限定每件商品的利润不得 超过

20%

，

商店计划要盈利

400

元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？

解

根据题意，得

(

a

－

21)(350

－

10

a

)

＝

400

，整理，得

a

2

－

56

a

+775

＝

0

，

解这个 方程，得

a

1

＝

25

，

a

2

＝

31.

因为

21×(1+20%)

＝

25.2

，所以

a

2

=31

不合题意，舍去

.

所以

350

－< /p>

10

a

＝

350

－

10×25

＝

100

（件）

.

答

需要进货

100

件，每件商品应定价

25

元

.

说明

商品的 定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点

.

三、储蓄问题

例

3

王红梅 同学将

1000

元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行 ”，到期

后将本金和利息取出，并将其中的

500

元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存

入，这时存款的年利率已下 调到第一次存款时年利率的

90%

，这样到期后，可得本金和利

息共

530

元，求第一次存款时的年利 率

.

（假设不计利息税）

解

设第一次存款时的年利率为

x

.

则根据题意，得

[1000(1+

x

)

－

500](1+0.9

< br>x

)

＝

530.

整理，得

90

x

2

< p>
+145

x

－

3

＝

0.

解这个方程，得

x

1

≈

0.0204

＝

2.04%

，

x

< p>
2

≈－

1.63.

由于存 款利率不能为负数，所以将

x

2

≈－< /p>

1.63

舍去

.

答

第一次存款的年利率约是

2.04%.

说明

这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税

.

四、趣味问题

例

4

一个醉 汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽

4

米，

旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高

2

米，

< /p>

二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多< /p>

不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？

解

设渠道的深度为

< br>x

m

，那么渠底宽为

(

x

+0.1)m

，上口宽为

(

x

+0.1+1.4)m.

则 根据题意，得

1

(

x

< br>+0.1+

x

+1.4+0.1)·

x

＝

1.8

，整理，得

< p>
x

2

+0.8

x

－

1.8

＝

0.

2

解这个方程，得

x

1

＝－

1.8

（舍去），

< p>
x

2

＝

1.

< p>
所以

x

+1.4+0.1

＝

1+1.4+0.1

＝

2.5.

答

渠道的上口宽

2.5m

，渠深

1m.

说明

求解本题开始时好象无从下笔， 但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等

量关系，列出方程求解

.

五、古诗问题

例

5

读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）

.

大江东去浪淘尽，千古风流数人物；

而立之年督东吴，早逝英年两位数；

十位恰小个位三，个位平方与寿符；

哪位学子算得快，多少年华属周瑜？

解

设周瑜逝世时的年龄的个位数字为

x

，则十位数字为

x

< br>－

3.

则根据题意，得

x

2

＝

10(

x

－

3)+

x

，即< /p>

x

2

-11x+30

＝

0

，解这个方程，得

x

＝

5

或

x

＝

6.

当

x

＝

5

时，周瑜的年龄

25< /p>

岁，非而立之年，不合题意，舍去；

当

x

＝

6

时，周 瑜年龄为

36

岁，完全符合题意

.

答

周瑜去世的年龄为

36

岁

< br>.

说明

本题虽然是一道古诗 问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学们应从

中认真口味

.

六、象棋比赛

例

6

象棋比 赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记

2

分， 输者记

0

分

.

如果平局，两个选手各记

1

分，领司有四个同学统计了中全部选

手的得分总数，分

别是

1979

，

1980

，

1984

，

1985.

经核实，有一位同学统计无误

.

试计算这次比赛共有多少< /p>

个选手参加

.

解

设共有

n

个选手参加比赛，每个选手都要与

(

n

－

1)

个选手比赛一局，共计

n

(

n

－

1)

局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛 总局数应为

1

n

(

n

－

1)

局

.

由于每局共计

2

分，

所以全部选手得分总共为

n

(

n

－

1)

分

.

显然

(

n

－

1)

与

n

为相

2

邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是

0

，

2

，

6

，故总分不可能是

1979

，

1984

，

1985

，

因此总分只能是

1980

，

于是由

n

(

n

－

1)

＝

< br>1980

，

得

n

2

－

n

－

1980

＝

0

，

< br>解得

n

1

＝

45

，

n

2

＝－

44

（舍去）

.

答

参加比赛的选手共有

45

人

.

说明

类似于本题中的象棋比赛的其它 体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些

方法求解

.

七、情景对话

例

7

春秋旅 行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图

1

对话中 收费标

准

.

某单位组织员工去天水湾 风景区旅游，

共支付给春秋旅行社旅游费用

27000

元

.

请问该单位

这次共 有多少员工去天水湾风景区旅游？

解

设该单位这次共有

x

名员工去天水湾风景区旅游

.

因为

1000×25

＝

25000< /p>

＜

27000

，

所以员工人数一定超过

25

人

.

则根据题意，得

[1000

－

20(

x

－

25)]

x

＝

27000.

整理，得

x

2

－

75

x

+1350

＝

0

，解这个方程，得

x

1

＝

45

，

x

2

＝

30.

当

x

＝

45

时，

1000

－

20(

x

－

25)

＝

600

＜

700

，故舍去

x

1

；

< br>当

x

2

＝

30

时，

1000

－

20(

x

－

25)

< p>
＝

900

＞

700

，符合题意

.

答：该单位这次共有

30

名员工去天水湾风景区旅游

.

说明

求解本题要时刻注意对话框中的 数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中

找出符合题意的结论

.

如果人数不超过

25

人，

八、等积变形

例

8

将一块 长

18

米，宽

15

米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积

为原来荒地面积的三分之二< /p>

.

（精确到

0.1m

）

图

1

人均旅游费用为

1000

元

.

如果人数超过

25

人，每增加

1

人，人均旅游费用降低

20

元，

但人均旅游费用不得低于

700

（

1

）设计 方案

1

（如图

2

）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路

.

（

< p>
2

）设计方案

2

（如图< /p>

3

）花园中每个角的扇形都相同

.

以上两种方案是否都能符合条件

?

若能，请 计算出图

2

中的小路的宽和图

3

中扇形的

半径；若不能符合条件，请说明理由

.

解

都能

.

（

1

）设小路宽为

< br>x

，则

18

x

< br>+16

x

－

x

< br>2

＝

2

×18×15

< p>
，即

x

2

－

34

x

+180

＝

0

，

3

解这个方程，得

x

＝

34< /p>



436

，即

x

≈

6.6.

2

（

2

）设扇形半径为

r

，则

3.14

r

2

＝

2

×18×15

，即

r

2

≈

57. 32

，所以

r

≈

7.6.

3

说明

等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，

面积公式；

其原则是形变积不变；

B

或形变积也变，但重量不变，等等< /p>

.

Q

A

C

P

图

4

图

2

九、动态几何问题

图

3

例

9

如图< /p>

4

所示，在△

ABC

中，∠

C

＝

90°

，

AC

＝

6cm

，

BC

＝

8cm

< p>
，点

P

从点

A

< p>
出发

沿边

AC

向点

C

以

1cm/s

的速 度移动，点

Q

从

C

点出发沿

CB

边向点

B

< p>
以

2cm/s

的速度移

动

.

（

1

）如 果

P

、

Q

同时 出发，几秒钟后，可使△

PCQ

的面积为

8

平方厘米？

（

2

）点< /p>

P

、

Q

在移动过 程中，是否存在某一时刻，使得△

PCQ

的面积等于△

ABC

的面

积的一半

.

若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由

.

解

因为∠

C

＝

90°

，所以

AB

＝

AC

2



BC

2

＝

6

2



8

2< /p>

＝

10

（

cm< /p>

）

.

（

1

）

设

x

s

后，

可使△

PCQ

的面 积为

8cm

2

，

所以

AP

＝

x

cm

，

PC

＝

(6

－

x

)cm

，

CQ

＝

2

x

cm.

则根据题意，得

＝

4.

1

·

(6

－

x

)·

2

x

< br>＝

8.

整理，得

x

2

－

6

x

< br>+8

＝

0

，解这个方程，得

x

1

＝

2

，

x

2

2

所以

P

、

Q

同时出发，

2s

或

4s

后可使△

PCQ

的面积为

8cm

2

.

（

< br>2

）设点

P

出发

x

秒后，△

PCQ

的面积等于 △

ABC

面积的一半

.

则根据题意，得

1

1

1

(6

－

x

)·

2

x

＝

×

×6×8.

整理，得

x

2

－

6

x

+1 2

＝

0.

2

2

2

由于此方程没有实数根，所以不存在使△

< br>PCQ

的面积等于

ABC

面积一 半的时刻

.

说明

< br>本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据

路程 ＝速度×时间

.

十、梯子问题

例

10

一个 长为

10m

的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角

6m.

（

1

）若梯子的顶 端下滑

1m

，求梯子的底端水平滑动多少米？

< br>

（

2

）若梯子的底端水平向外 滑动

1m

，梯子的顶端滑动多少米？

（

3

）如果梯子顶端向下滑动的距离等 于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多

少米？

解

依题意，梯子的顶端距墙角

10

2



6

2

＝

8

（

m

）

.

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