五年级奥数春季班第3讲 带余除法进阶
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第三讲带余除法进阶
模块一、化除为乘
一般地，如果
a
是整数，
b
是整
数（
b
≠
0
）
，若有
a
÷
b
=
q
……
r<
/p>
，或者
a
=
b<
/p>
×
q
+
r
，
0≤
r
<
b
；
当
r
=0
时，我们称
a
能被
b
整除；
当
r
≠
0
时，我们称
a
不能被
b
整除，
r
为
a
除以
b
的余数，
q
为
a
除以
b
的商。
在带余除法的算式中，已知三个量，就可以求出第四个量。
<
/p>
特别注意：
0≤
r
<
b
.
例
1
．完成下列填空：
17÷
5=
……；
÷
6=13
……
4
；<
/p>
79÷
=9
…
…
7
；
113÷
=12
……；
解：
17÷
5=3
……
2
；
82÷
6=13
……
4<
/p>
；
79÷
8=
9
……
7
；
113÷
9=12
……
5
；
例
2
．两个自然数相除，商是
7
，余数是
5
，如果两个数相加，和是
69
，那么这
两个数分别是和。
解：设这两个自然数分别为
a
、
b
，且
< br>a
=7
b
+5
< br>，
a
+
b
=69
，
则
7
b
+5+
b
=69
，解得
b
=8
，
a
=61.
所以这两个数
分别是
61
和
8
。
模块二、余数的特征
余数特征：
1
．末位法——被
4
、
25
、
8
、
125
、
16
、
625
除的余数特征；
2
．
数位和法——被
3
、
9
、
99
除的余数特征；
3
．数位差法——被
11
< br>除的余数特征；
4
．三位截断
法——被
7
、
11
、
13
除的余数特征；
例
3
．
34567
除以
3
、
4
、
5
、<
/p>
7
、
9
、
11
、
13
、
99
、
999
的余数
分别为；
；
；
；
；
；
；
；
。
解：
34
567
除以
3
、
4
、
5
、
7
、
9
、
11<
/p>
、
13
、
99<
/p>
、
999
的余数分别为
< br>1
；
3
；
2
；
1
；
7
；
5
；
0
；
16
；
601
。
例
4
．
（
1
）
23456789+3456789
的结果除以
9
的余数为；
（
2
）
2
3456789×
3456789
的结果除以
< br>9
的余数为；
（
3
）
36×
37×
38+39×
40×
41
的结果除以
7
的余数为；
解：
（
1
）
23456789+3456789
≡
8+6
≡
5 (mod 9)
，所以余数是
5
；
（
2
）
23456789+3456789
≡
8×
6
≡
48≡3
(mod 9)
，所以余数是
3
；
（
3
）
36×
37×
38+39×
40×
41
≡
1×
2×
3+4×
< br>5×
6
≡
126
≡
0 (mod
7)
，所以余数是
0.
模块三、
1
．
a
与
b
的差
除以
c
的余数，等于
a
、
b
分别除以
c
的余数之差（或
a
的余数加一个除数减
b
的余数）
；
2
．
a
与
b
的和除以
c
的余数，等于<
/p>
a
、
b
分别除以
c
的余数之和（或这个加除以
c
的余数）
；
3
．
a
与
b
的乘积除以
c
的余数，等于
a
、
b
分别除以
< br>c
的余数之积（或这个积除以
c
的余数）
；