【趣味数学】骰子模型揭开概率统计之谜
-
骰子模型
揭开概率统计之谜
——抽象形象与数形思想
●
骰子坦然
设局不公
一赌场庄主正在大声吆喝：恭喜发财，骰子可爱，输
1
元钱，赢
100
块！这种吆喝还真
有效果，围上
赌席的赌客还真的不少
.
一位中学数学教师对这种赌局也产生
了“兴趣”
，钻上前去想看个究竟
.
原
来，赌具是三
粒骰子：
赌局设
计如下：如果同时出现
3
个
6
点（即下图）
：
则赌客可以赢得庄家的
100
元！如果不同
时出现
3
个
6
点（下图为其一种）
：
则赌客输给庄家的只是
1
元钱！
难怪有这么多人参赌的，原来输赢之比竟为
1<
/p>
：
100
！
这位数学教师稍微一想，差点笑了出来
!
此时也正好与一个赌客回头相见：
“你站在这
儿干啥，还不
快点押，输一赢百，天下哪有这种便宜事！
”
说也奇怪，赌场上还真的有赢
100
元的人，当然他不
一定是押的
3
个
6
，也可能押的是
3
个
5
，或
3
个
4
的，总之都是输一赢百
.
数学教师摇了摇头，小声
对那位赌客说：
“假如我手中现在有
216
元钱，按这种赌局，
在未投下骰子之前，我事先就输子
11
6
元！
”
那位赌客听不懂这位教师的话，回头又赌去了
.
这数学教师对满场的赌客感到遗憾，但又无法说服他们
.
回家之后，赶紧挥笔，写下这
篇奇文——抛掷骰子，揭开概率统计之谜！
●
一掷骰子
敲开概率之门
投掷一枚骰子后，不论
哪一面朝上，都是一个
“
事件
”.
不同的人去投掷这枚骰子，或同一个人多次投掷这枚骰子，结果会
不尽相同
.
所以每次
投掷，都是
“
随机事件
”.
<
/p>
投掷一枚骰子的结果，不看也知道：出现的点数必定是
1
，
2
，
3
，
4
，
5
< br>，
6
之一，所以
出现
1-6
点是
“
必然事件<
/p>
”.
不论什么人投掷这枚骰子，决不会
出现
1
—
6
以
外的点
.
所以出现这些点都是
“
不可能事
件
”.
<
/p>
投掷一枚骰子，
有
6
种不同的结果，
每种结果出现的可能性相同，
所以又称这样
的事件
为
“
等可能事件
”.
投掷一枚骰子，
既然是
等可能事件，
所以出现
1
—
6
的任何一点，
可能性都是
出现
1
—
6
的任何一点，概率都是
1
.
或者说，<
/p>
6
1
.
6
1
1
，而且这
6<
/p>
个
之和是
1
，所
6
6
投掷一枚骰子，既然出现
1
—
6
的任何一点，概
率都是
以必然事件发生的概率是
1
；出
现
1
—
6
以外
的任何一点都不可能，所以不可能事件发生的
概率是
0
；而随机事件是既可能发生，也可能不发生，所以随机事件发生的概率总界于
0
与
1
之间
.
概率学就是研究事物发生的可能性的
.
< br>我们在今后的社会实践中一定会碰到大量的
“
事
件
”
，通过
“
骰子模型
”
学好了概率论，掌握其基本规律，就
能最大限度地避免有害事件，促
成有益事件，有应对各种不同事件的强大能力
.
●
再掷骰子
认知概率初步
【例
1
】
将骰子先后抛掷
2
次，计算：
（
1
）一共有多少种不同的结果？
（
2
）其中向上的点数之和是
< br>5
的结果有多少种？
（
3
）向上的数之和是
5
的概率是多少？
【
解析
】
<
/p>
（
1
）一枚骰子抛掷一次，骰子向上的点
数可以是
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6.
共<
/p>
6
种
不同的结果
.
先后抛掷两次，属于重复排列，故有
6
36
种不同的结果
.
（
2
）用数对
x
,
y
表示先后两次抛掷骰子出现的点数，那么向上的点数之和是
5
的情
况有（
1
，
4
）
；
（
< br>2
，
3
）
；
（
3
，
2
）
；
（
4
，
1
）共
4
种
.
（
3
）由（
1
）知将骰子先后抛掷
< br>2
次的基本事件总数为
n
36
，由（
2
）知
事件
A
：其
中向上的点数之和是
5
的事件
A
的种数<
/p>
m
4
.
故向上的点数之和是
5
的概率是：
P
A
2
m
1
< br>
.
n
9
【
说明
】
本例提供了求等可能事件概率的基本方法：
< br>如果一次试验中可能出现的结果有
card
（
I
）
=
n
个，其中某个特殊事件
A
出现的结果
< br>有
card
（
A
）
=
m
个，则事件
A
发生的概率
P
（
A
）
=
m
n
1
.
公式（
1
）就是古典概率的基本公式
.
链接：
一个骰子连续投
2
次，点数和为
4
的概率是
．
【
答案
】
1
12
●
三掷骰子
找到加法公式
【例
2
】
<
/p>
抛掷骰子一次，
（
1
）出现
2
点或
3
< br>点的概率是多少？（
2
）不出现
2
点或
3
点
的
概率是多少？
【
解析
1
】
（
1
）
设抛掷骰子一次，
出现
2
点或
3
点的事件为
A
，
因为基本事件总数
n
=6
，
而事件
A
的种数
m
=2.
由公式（
1
）
：
p
A
2
1
6
3
（
2
）
设抛掷骰子一次，不出现<
/p>
2
点或
3
点的事
件为
B
，
则
B
有
1
，
4
，
5
，
6
共四种可能
.
即这时
n
=6
，
m
=4
.
由公式（
1
）
：
p
B
4
2
<
/p>
.
6
3
【
解析
2
】
（
1
）设抛掷骰子
一次，出现
2
点的事件为
A
，出现
3
点的事件为
B<
/p>
，那么：
1
1
1
1
p
A
p
B
,
故出现
2
点或
3
点的概率
p
A
B
p
A
< br>
p
B
.
6
6
6
3
（
2
）设抛掷骰子一次，不出现
2
点或
3
点的事件为
C
，则
1
2
p
C
1
p
A
B
1
.
3
3<
/p>
在本例中，抛掷骰子一次，出现
2
点与出
现
3
点不能同时发生
.
这种不可能同时发生的
两个事件叫做互斥事件
.
互斥事件适合概率的加法，即
若事件
A
与
B
互斥，那么
<
/p>
P
（
A
+
B
）
=
P
（
A
）
+
P
（
B
）
（
2
）
. <
/p>
若事件
A
，
B<
/p>
，
C
，…
X
互斥，那么
P
（
A
+
B
+
C
+
…
+
X
）
=
P
（
A
）
+
< br>P
（
B
）
+
P
（
C
）
+
…
+
P
（
X
）
（
2′
）
.
抛掷骰子一次，出现
2
或
3
点与不出现
2
或
3
点也不能同时发生
.
所以这两个事件也是
互斥事件
.
但抛掷骰子一次，出现
2
或
3
点与不出现
2
或
< br>3
点又必定有一个发生
.
这种<
/p>
其中必
定有一个发生的事件称为对立事件
.
故若记事件
A
的对立事件为
A
，那么
P
A
P
A
1
3
.
互斥事件与对立事件的关系：两事件互斥时不一定对
立，但两事件对立则一定互斥
.
也
就是
说：
两事件互斥是它们对立的必要不充分条件
.
反过来，两事件对立则是它们互斥的充
分不必要条件
.
链接：
从
2
0
名男同学，
10
名女同学中任选
3
名参加体能测试，则选到的
3
名同学中既
有男同学又有女同学的概率为（
）
A
．
9
10
19
20<
/p>
B
．
C
．
D
．
29<
/p>
29
29
29
【
分析
】
本题
不属于
“
骰子模型
”
< br>，
但很容易将其改造成为
“
骰子
模型
”
：
投掷
30
枚骰子，
其中有
20
枚出现奇数点，
10
枚出现偶数点
< br>.
从中任取
3
枚既有奇数点又有
偶数点的概率是
多少？
【
解析
1
】
（利用互斥事件）不受限制的选法有
C
30
3
1
30
29
28
4060
种，选
6
1
2
出的
3
名同学中既有男生又有女生有两种情况，
1
男
2
女的选法有
C
20
C
10
20
45
900
2
1
种，
2
男
1
女的选法有
C
20
< br>
C
10
190
10
< br>1900
种
.
这两种情况互斥，
故选出的
3
名同学中
< br>既有男生又有女生的选法共有
1900+900=2800
种，其概率为
P
【
解析
2
】
< br>
（利用对立事件）不受限制的选法有
C
30
3
2800
20
.
选
D.
4060
29
1
30
29
28
4060
种，选
6
3
出
的
3
名同学中全为男生的选法有
C
3
20
19
18
1140
种，全为女生的选法有
C
10
20
1
6
1260
9
1
.
10
9
8
120
种
.
故不合条件的选法有
11
40+120=1260
种，其概率为
P
4060
29
6
< br>20
于是选出的
3
名同学中既有
男生又有女生的选法，其概率为
P
1
P
，选<
/p>
D.
29
●
四用骰子
弄明乘法规律
【例
3
】
<
/p>
回到文首的问题上来，某一家赌场开出的参赌条件是：
每人每次出
资
1
元掷
骰子
3
枚，如出现
3
个
6
点则奖
100
元，否则付出的<
/p>
1
元归赌主所有
.
你认为这条规则公平吗？试简述理由
.
【
解析
】
<
/p>
不妨将投出的
3
枚骰子编号为
1
，
2
，
3.
显然第
1
枚骰子出现<
/p>
6
点的概率是
出现
6
点的概率也是
1
；在第
1
枚骰子出现
6
点的条件
下，第
2
枚骰子
6
1
；在
1
，
2
号骰子都出现
6
点的条件下，第<
/p>
3
枚骰子再出现
6
点的概
6
1
1
1
1
1
率还是
.
根据分步计数原理，
3
枚骰子同时
出现
6
点的概率是
< br>
.
6
6
6
6
216
这就是说，这家赌场所设置的参赌规则
1
：
100
是不公平的，只有将规则定为
1
：
216
才算公平
.
事实上，一切赌场都是赢利机构，它们所制定的参赌规则都不可能公平
.
在本例中掷骰子
3
枚，
每枚是否出现
6
点互相没有影响，这种事件就是相
互独立事件
.
一般地：相互独立事件
A
与
B
同时发
生的概率是
P
（
A
·
B
）
=
P
（
A
）<
/p>
·
P
（
B
）
.
（
4
）
如果事件
A
，
B<
/p>
，…
X
都互相独立，那么它们同时发生的
概率是
P
（
A
·
B
·
…<
/p>
·
X
）
=
P
（
A
）
·
P
（
B
）
·
…
·
P
（
X
）
.
（
4′
）
链接：
某人射击一次击中的概率是<
/p>
0.6
，经过
3
次射击，此人至少有两次击中目标的概
率为（
）
81<
/p>
54
36
27
B.
C.
D.
125
125
125
125
【
解析
】
设此人在
3
次射击中，至少有两次击中目标的事件为
A
，则
A
有两种情况
.
A
．
27
3
一是
3
次全击中，其概率为
；
< br>5
125
另一是
3
次射击恰有两次击中，这又有
C
< br>3
种情况，每种情况都是
2
中<
/p>
1
不中，故其概
2
3
3
率
为：
C
5
2
3
2
3
54
.
1
5
< br>125
27
54
81
，选
A.
125
125
125
2
）
27
这两
种情况互斥，根据公式
2
，所求概率为
p
A
<
/p>
【
说明
】
1.
本题虽然不是骰子模型，却很容易改造成为骰子模型：
掷骰子
3
枚，其中
至少
出现
2
个
6
点
的概率是多少？
读者不妨解之
.
（参考
答案：
2.
本例的题型属于
“
独立重复试验
”.
一般地，
如果在
1
次试验中某事件发生的概率是
P
，
那么在
n
次独立重复试验中该事件恰好发生
k
次的概率
k
k
P
< br>n
k
C
n
P
1
P
n
k
5
.
●
五看骰子
见到概率
“
期望
”
抛掷一枚骰子，设得到的点数为
ξ
，则
ξ
可能取的值有
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
共
6<
/p>
种不同
的结果，每种结果出现的概率都是
ξ
P
1
2
1
，写成分布列就是：
6
4
5
6
3
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
这样，抛掷一枚骰子，得到点数的期望是：
E
ξ
P
1<
/p>
1
2
3
4
5
6
3.5
6
x
1
p
1
x
2
p
2
…
…
一般地说，如果离散型随机变量
ξ
的分布列
是：
x
n
p
n
…
…
则
ξ
的数学期望是：
E
x
1
p
1
x
2
p
2
L
x
n
p
n
< br>L
需要说明的是：
6
. <
/p>
1
．
ξ
是随机试
验过程中的自变量，
而
P
则是
ξ
的函数
.
在本质上它
与函数
y
f
x
中的
变
量
x
与
y
的关
系是一样的
.
不同的是，一般地说，
x
表示连续型的变量，它是不可数的；而
ξ
则是离散型的随机变量，它是可数的，只能在正整数范围内取值；
< br>2
．写出离散型随机变量的分布列，实质上是写出某种试验过程中所有不同的试验
结果
及其发生的概率；
3
．任一离散型随机变量的分布列都具有如下的两个性质：
（
1
）
P
i
0,
i
1,
2,
L
；
（
2
）
P
1
P
2
L
1
.
这两个性质是检测分布列是否写得正确的主要标准
.
4
．所谓
ξ
的数学期望
就是
ξ
各种取值的平均数
.
如果
ξ
的不同值出现的概率都相等，它
就是简单平均数；如果
ξ
的不同值出现的概率不全
相等，它就是加权平均数
.
例如：同时投掷
< br>10
枚骰子，出现
3
个
1
点，
4
个
2
点，
2
个
5
点和
1
个
6
点，那么这次
投掷中平均点数是多少？
显然，用
1
1
2
5
6
3.5
计算是不妥的，正确的算法是：
< br>
4
1
1
3
2
4
5
2
6
1
2.7
10
1
.
这里所掷相同点的次数
3
，
4
，
2
，
1
便称为权
.
如果利用期望公式
6
，那么应该先写出点数
ξ
的分布列
.
∵
p
1
ξ
P
3
4<
/p>
2
1
,
p
2
,
p
5
,
p
6
<
/p>
，故有：
1
0
10
10
10
1
2
5
6
3
10
4
10
2
10
2
1
10
ξ<
/p>
的期望
E
<
/p>
1
3
4
2
1
2
5
6
2.7
10
10
10
10
比较
1
,
2
两种算法，可见它们的实质是一样的
.
而且在多种情况下，第
1
种算法更
为简便
.
因此我们说，求期望就是求平均数
.
【例
4
】
<
/p>
掷骰子
3
枚，如果出现
< br>6
点就能获奖，写出离散型随机变量
ξ
< br>的分布列和获
奖的数学期望
.
【
解析
】
<
/p>
掷骰子
3
枚，随机变量
< br>ξ
=0
，
1
，
2
，或
3.
< br>
5
125
< br>ξ
=0
表示
3
< br>枚骰子中没有一个出现
6
点，∴
P
（
ξ
=0
）
=
；
6
216
1
5
75
ξ
=1
表示
3
枚骰子中恰有
一个出现
6
点，∴
P
< br>（
ξ
=1
）
=
C
1
；
3
6
6
216
1
5
15
ξ
=2
表示
3
枚骰子中恰有
2
个出现
6
点，∴
P
（
ξ
=2
）
=
C<
/p>
；
6
6
216
2
3
2
2
3
1
1
ξ
=3
表示
3
枚骰子都出现
6
点，
，∴
P
（
ξ
=3
）
=
.
6
< br>216
于是
ξ
的分布列是：
ξ
P
ξ
的数学期望是：
0
1
2
3
3
125
216
75
216
15
216
1
2
16
1
125
75
15
1
E
0×
+1×
+2×
+3×
=
.
216
216
216
216
2