格点问题
-
格点问题
（
problem on
lattice point
）
又称整点问题
,
格点又称整点
,
指坐标都是整数的点，
格点问题就是研究一
些特殊区域甚至一
般区域中的格点的个数的问题。
一、起源
格点问题起源于以下两个问题的研究：
（
1
）狄利克雷除数问题，即求
x
＞
1
时
D2
（
x
）＝区域
{1≤u≤x
，
l≤v≤x
，
uv≤x}
上的格点数。
1849
年，狄利克雷证明了
D2
（
x
）＝
xlnx
＋（
2ν
一<
/p>
1
）
x
＋
△
（
x
）
，这里
ν
为欧拉常数，
△
（
x
）＝
O(
x^1/2
）
，这一问题的目的是要求出使余项估计
△
（
x
）＝
O
（
x
）成立的又的下确界
θ0
。
（
2
）圆内
格点问题：设
x
＞
1
< br>，
A2
（
x
）＝圆内
μ
+ν≤x
上的格点数
。高斯证明了
A2
（
x
）＝
πx
＋
R
（
x
）
，这里
R
（
x
）＝
< br>O
（
x^1/2
）
，求使余项估计
R
（
x
）＝
O
（
x
）成立的
λ
的下确界
α
的问题，称之为圆内格点问题或高斯圆问题。
1903
年，
Г
．
Ф
．
沃罗诺伊
证明了
θ≤1/3
；
1906
年，谢尔品斯基证明了
α≤1/3
；
20
世纪
30<
/p>
年代，
J
．
G<
/p>
．科普特证明了
α≤37/112
，
θ≤27/82
；
1934
－
1935
年，
E
．
C
．蒂奇马什证明了
α
≤15/46
；
1942
年，华罗庚证
明了
α≤13/40
；
1963
年陈景润、
尹文霖证明了
α≤12/37
；
1950
年迟宗
陶证明了
θ≤15/46
，
1953<
/p>
年
H
．里歇证明了同样的结果；
1963
年，尹文霖证明了
θ≤12/37
，
1985
年，
Г
．
A
．科列斯
尼克证明了
θ≤139/429
；
19
85
年，
W
．
G
．诺瓦克证明了
α≤139/429
。在下限方面，
1916
年，
哈代已证
明
α≥1/4
；
1940
年，
A
．
E
．英厄姆证明了
θ≥1/4
。人们还猜测
θ
＝
α
＝
< br>1/4
，但至今
未能证明。
由此
直接推广出
k
维除数问题，
球内格点问
题以及
k
维椭球内的格点问题等。
<
/p>
格
点问题所涉及到的知识点通常与抽屉原理和图论知识结合在一起
，一般来说与整数的奇偶
性、整除性等联系十分紧密。
二、其他相关信息
或称整点问题，
< br>研究一些特殊区域甚至一般区域中的格点的个数。
格点又称整点，
是指
坐标均为整数的点。格点问题是数论中的一类重要问题，起源于以下两个著
名问题的研究：
①
狄利克雷除数问题。
设
x
>1
，
D
2(
x
)
表区
域
1≤
u
≤
x
，
1≤
v
≤<
/p>
x
，
uv
≤
x
上的格点个数。
1849
年，
P.G
.L.
狄利克雷证
明了
D
2(
x
)=
x
ln
x
+(2у
-1)
x
< br>+Δ(
x
)
，这里
у
是欧拉常数。这一问题的目的是要
求出使余项估计
成立的
λ
的下确界
θ
。因为
其中
d<
/p>
(
n
)
是除数函
数
,
所以把这一格点问题称为狄利克雷除数问题。
②
圆内格点问题
设
x
>1,
A
2(
x
)<
/p>
表圆
上的格点数。
C.F.
高斯证明了
A
2(
x
)=
π
x
+
R
(
x
)
,
这里
求使余项估计算