第23讲最大公因数,和最小公倍数
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实用标准文案
第
23
讲
最大公因数和最小公倍数
【
探究必备
】
几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，
其中最大的一个叫做
这几个数的
最大公因数。
求几个数的最大公因数通常用短除法，
即用几个数公有质因数连续
去除，一直除到商里没有共同的质因
数为止。
几个数公有的倍数叫做它们的公倍数，
其中最小的一个叫做这几个数的最小
公倍数。
求最小公倍数，
可以从小到大一次列举，
也
可以用短除法。
短除法的一般步
骤：
1.
找出两个数的最小公因数（除
1
外）
，列短除式，用最小公因数去除这两
个数，得到两个商。
2.
找出两
个商的最小公因数，用最小公因数去除两个商，得到新一级的两
个商。
< br>
3.
以此类推，直到二商为互质数为止。
4.
把所有的公因数和最后的商乘起来，所得的积就是这两个
数的最小公倍
数。
【王牌例题】
例
1
、一根铁丝长
42
厘米，一根铜
丝长
56
厘米，现在要把它们截成同样长的
小段，并且没有剩余，每段最长多少厘米？一共可以截成几段？
< br>分析与解答：
要把它们截成同样长的小段并且没有剩余，
说明每段的长度既能整
除
42
，又能整
除
56
，也就是说是这两个数的公因数，要使每段最长，就是公
因
数中最大的一个，即这两个数的最大公因数，
42
和
56
的最大公因数是
1
4
，所
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以每段最长是
14
厘米，
那么铁丝可截
42
÷
14=3
（段）
，
铜丝可截
56
÷
14=4
（段）
，
因此
一共可以截成
3+4=7
（段）
。
例
2
、一个新建
的教室长
9.6
米，宽
7.8
米，现在要用一种地板方砖铺地面，不
用切割，刚好用整数块。铺这个教
室至少要用多少块地板方砖？
分析与解答：先把
9.6
米和
7.8
米化成以
分米做单位的数，即
9.6
米
=96<
/p>
分米，
7.8
米
=78
分米。要使铺的地板方砖最少，那么方砖的面积要最大，也就是说方
砖的边长要最大，根据用一种地板方砖铺地面，不用切割，刚好用整数块，可知
方砖的边长既能整除
96
，
又能整除
78
，
即是这两个数的公因数，
要使边长最大，
就是这两个数的最大公因数，因为
96
和
78
的最大公因数是
6
，所以这种方砖
的边长是
< br>6
（分米）
，那么方砖的面积为
6
×
6=36
（平方分米）
，因此铺这个教室
至少要用
96
< br>×
78
÷
36=208
（块）地板方砖。
例
3
、学期末，端木老师买了
18
支铅笔
和
25
本硬皮抄作为奖品，平均奖给班
级“三好学生”
。结果铅笔剩下
2<
/p>
支，硬皮抄剩下
1
本，这个班“三好学生
”
最多有多少名？
分析与解答：根据
铅笔剩下
2
支，硬皮抄剩下
1
本，可知给这个班的“三好学
生”分了铅笔
18
-2=16
（支）
，硬皮抄
25-1=
24
（本）
，平均奖给班级“三好学
生
”说明每个“三好学生”得到的铅笔数相同，得到的硬皮抄的本数也相同，即
该班“三好
学生”既是
16
的因数，又是
24
的因数，也就是说是这两个数的公
因数，要使这个班“三好学生”最
多，就是这两个数的最大公因数，因为
16
和
< br>24
的最大公因数是
8
，所以这
个班“三好学生”最多有
8
名。
例
4
、
盘子里有一
些圣女果，
不论是
8
人平均分，
还是
10
人平均分都刚好分完。
盘子里最小有多少个圣女果？
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分析与解答：根据“不
论是
8
人平均分，还是
10
人平均分都刚好分完。
”可知，
盘子里的圣女果的
个数既能被
8
整除，
又能被
10
整除，
即是
8
和
10
的公倍数，
问
盘子里最小有多少个圣女果，是求
8
和
10
的最小公倍数，由于
8
和
10
的最
小公倍数是
4
0
，因此盘子里最小有
40
个圣女果。
例
5
、暑假
时，王米、张咪和李一三位同学每人隔不同的天数到三联书店看书，
王米隔
2
天去一次，张咪隔
3
天去
一次，李一隔
4
天去一次。某日他们三人一
起到书店，至少再隔几天，他们三人又在三联书店相遇？
分析与解答：由王米隔
2
天去一次，张咪隔
3
天去一次，李一隔
4
天去一次，
某日他们三人一起到书店，
至少再隔几天，
他们三人又在三联书店相遇，
可知他
们三人去的天数既能被
2
整除，也能被
3
整除，还能被
4
整除，也就是说他们
去的天数既是
2
的倍数，也是
3
的倍数，还是
4
的倍数，即是
2
、
3
、
< br>4
的公倍
数，要至少多少天，就是求
2
、
3
、
4
的最小公倍数，因为
2
、
3
、
4
的最小公倍
数是
12
，所以至少再隔
12
天他们三人又在三联书店相遇。
例
6
、小米的妈妈买了一箱柚子，小米
3
个
3
个数余下
< br>1
个，
4
个
4
个数余下
1
个，
5
个
5
个数还是余下
1
个，这箱柚子最少有几个？
分析与解答：根据题意可知，如果从箱子里取出
1
个，
那么这箱柚子
3
个
3
< br>个
数，
4
个
4
个数，
5
个
5
个数都刚好数完，也就是说能同时被
3
< br>、
4
、
5
整除，即
是
3
、
4
、
5
公倍数，要使这箱柚子最少
，那么就是
3
、
4
、
5
的最小公倍数，由
于
3
、
4
、
5
的最小公倍数
60
，所以
这箱柚子最少有
60+1=61
（个）
。
【同步练习】
1.
一个数既能整除
45
，
又能整除
60
，
这个数可能是多少？其中最大的是多少？
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2.
六年级
72
名女生，
96
名男生站队做操，
每
队中男生与女生的人数分别相等。
最多站多少队？
3.
一
根铁丝长
42
厘米，另一根铁丝长
63
厘米，现在要把它们都截成同样长的
小段，并且没有剩余，每段
最长多少厘米？一共可以截成几段？
4.
两根木料，分别长
6
米和
7.2
米。现在用
一根木尺分别去量，恰好量完，没
有剩余。这根木尺最长有多少米？
5.
手工课上，
司马老师要求学生们将一张长
36
厘米，
宽
24
厘米的长方形
彩纸，
剪成若干个小正方形，
每个小正方形的边长最长是多少厘
米？这张彩纸至少可以
剪多少个小正方形？
6.
水
果店挑选了
105
个火龙果、
84
个橙子、
63
个猕猴桃装配果篮，每蓝各种
水果的数量分别相等，
这些水果刚好装完。
最多可以装多少蓝？每蓝中三种水果
各装几个？
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7.
社会实践结束了，欧阳老师买了
18
支铅笔和
25
本硬面抄作为奖品，平均奖
给班级“三好学
生”
，结果铅笔缺
2
支，硬面抄剩下
1
本，这个班“三好学生”
最多有多少名？
8.
寒假少年宫各种兴趣班招生，奥数班招了
96
人，剑桥英语班招了
128
人，
跆拳道班招了
64
人。现在少年
宫要将这些学员编班，每班人数相等，奥数班比
泰拳道班多几人？
9.
把
121
朵百合、
70
朵康乃馨分扎成一样的花束，
要求每束花的构成一样，
结
果百合剩下
1
朵，康乃馨还少
2
朵，这些花最多扎成多少束？每束花里百合和
康乃馨各有几朵？
10.
动物园的饲养员把一些香蕉平均分给
< br>4
只猴子或
8
只猴子，
都正好分完。
这
些香蕉至少有多少个？
11.
一个电动机上有两个互相咬合的齿轮，大齿轮有
52
< br>个齿，小齿轮有
28
个
齿。当其
中某一对齿再次相遇时，这两个齿轮至少转了几圈？
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