【数学】数学平行四边形的专项培优 易错 难题练习题及答案
-
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1
．
如图
1
，正方形
ABCD
的一边
AB
在直尺一边所在直线
MN
上，点
O
是对角线
AC
、
BD
的交点，过点
O
作
OE
⊥
MN
于点
E
．
（
1
）如图
1
，线段
AB
与
OE
之间的数量关系为
．（请直接填结论）
（
2
）保证点
A
始终在直线<
/p>
MN
上，正方形
ABCD
绕点
A
旋转
θ
（
0
＜
θ
＜
90°
），过点
B
作
BF
⊥
MN
于点
F
．
①
如图
2
，当点
O
、
B
两点均在直线
MN
右侧时，试猜想线段
AF
、
BF
与
OE
之间存在怎样
的数量关系？请说明理由．
②
如图
3
，当点
O
、
B
两点
分别在直线
MN
两侧时，此时
< br>①
中结论是否依然成立呢？若成
立，请直接写出结论；若
不成立，请写出变化后的结论并证明．
③
当正方形
ABCD
绕点
A
旋转到如图
4
的位置时，线段
< br>AF
、
BF
与
< br>OE
之间的数量关系
为
．（请直接填结论）
【答案】（
1
）
AB=2OE
；（
2
）
①AF+BF=2OE,
证明见解析
;②AF
﹣
BF=2OE
证明见解析
;③BF
﹣
AF=2OE
，
【解析】
试题分析：（
1
）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；
（
2
）
< br>①
过点
B
作
BH
⊥
OE
于
H
，可得四边形
BHEF
是矩形，
根据矩形的对边相等可得
EF=BH
，
BF=HE
，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得
OA
=OB
，
∠
AOB=90°
，再根
据同角的余角相等求出
∠
< br>AOE=
∠
OBH
，然后利用<
/p>
“
角角边
”
证明
△
AOE
和
△
OBH
全等，根据
全等三角形对应边相
等可得
OH=AE
，
OE=BH
，再根据
AF-
EF=AE
，整理即可得证；
②
过点
B
作
BH
⊥
OE
交
OE
的延长线于
H
，可得四边形
BHEF
是矩形，根据矩形的对边相等
可得
EF=BH
，
BF=HE
，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得
OA=OB
，<
/p>
∠
AOB=90°
，
再根据同角的余角相等求出
∠
AOE=
∠
OBH
，然后利用
“
角角边
”
证明
△
AOE
和
△
OBH
全等，
根据全等三角形对应边相等可得
OH
=AE
，
OE=BH
，再根据
AF-EF=AE
，整理即可得证；
③
同
②
的方法可证．<
/p>
试题解析：（
1
）
∵
AC
，
BD
是正方形的对角线，
∴
OA=OC=OB
，
∠
BAD=
∠
ABC=90°
，
∵
OE
⊥
AB
，
1
AB
，
<
/p>
2
∴
AB=2OE
，
∴
OE=
（
2
）
①AF+BF=2OE
证明：如图
2
，过
点
B
作
BH
⊥
OE
于点
H
∴
∠
BHE
=
∠
BHO=90°
∵
OE
⊥
MN
，
BF
⊥
MN
∴
∠
BFE=
∠
OEF=90°
∴
四边形
EFBH
为矩形
∴
BF=EH
，
EF=BH
∵
四边形
ABCD
为正方形
∴
OA=OB
，
∠
AOB=90°
∴
∠
AOE+
∠
HOB=
∠<
/p>
OBH+
∠
HOB=90°
∴
∠
AOE=
∠
OBH
∴
△
AEO
≌
△
OHB
（
AAS
）
∴
AE=OH
，<
/p>
OE=BH
∴
AF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OE
．
②AF
﹣
BF=2OE
证明：如图
3
，延长
OE
，过点
B
作
BH
⊥
OE
于点
H
< br>∴
∠
EHB=90°
∵
OE
⊥
MN
，
BF
⊥
MN
∴
∠
AEO=
∠
HEF=
∠
BFE
=90°
∴
四边形
< br>HBFE
为矩形
∴
BF=HE
，
EF=BH
∵
四边形
ABCD
是正方形
∴
OA=OB
，
∠
AOB=90°
∴
∠
AOE+
∠
BOH=
∠
OBH+
∠
BOH
∴
∠
AOE=
∠
OBH
∴
△
AOE
≌
△
OBH
（
AAS
）
∴
AE=OH
，
OE=BH
，
∴
AF
﹣
BF
=AE+EF
﹣
HE=OH
﹣
HE+OE=
OE+OE=2OE
③BF
﹣
AF=2OE
，
如
图
4
，作
OG
⊥
BF
于
G
，
则四边形
EFGO
是矩形，
∴
EF=GO
，
GF=EO
，
∠
< br>GOE=90°
，
∴
∠
AOE+
∠
AOG=
90°
．
在正方形
< br>ABCD
中，
OA=OB
，
∠
AOB=90°
，
∴
∠
AOG+
∠
BOG=90°
，
∴
∠
AOE=
∠
BOG
．
∵
OG
⊥
BF
，
OE
⊥
AE
，
∴
∠
AEO=
∠
BGO=90°
．
∴
△
AOE
≌
△
BOG
（
A
AS
），
∴
OE=OG
，
AE=BG
，
∵
AE
﹣
EF=AF
，
EF=OG=OE
，
AE=BG=AF+EF=OE+AF
，
∴
BF
﹣
< br>AF=BG+GF
﹣（
AE
﹣<
/p>
EF
）
=AE+OE
﹣
AE+EF=OE+OE=2OE
，
∴
BF
﹣
AF=2OE
．
2
．
已知：如图，在平行四边形
ABCD
中，
O
为对角线
BD
的中点，过点
O
的直
线
EF
分别交
AD
，
BC
于
E
，
F
两点，连结
BE
，
DF
．
< br>（
1
）求证：
△
DOE
≌
△
BOF
．
（
2
）当
∠
DOE
等于多少度时，
四边形
BFDE
为菱形？请说明理由．
【答案】（
1
）证明见解析；（
2
）当
∠
DOE
=90°
时，四边形
BFED
为菱形，理由见解析
.
【解析】
试题分析：（
1
）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出
< br>△
DOE
≌
△
< br>BOF
（
ASA
）；
（
2
）首先利用一组对
边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形
EBFD
是平行
四边
形，进而利用垂直平分线的性质得出
BE=ED
，即可得出答案．
试题解析：（
1
）
∵
在
▱
ABCD
中，
O
为对角线
BD
的中点，
∴
BO=DO
，
∠
EDB=
∠
FBO
，
在
△
EOD
和
△
FOB
中
，
∴
△
DOE
≌
△
BOF
（
ASA
）；
（
2
）当
∠
DOE=90°
时，四边形<
/p>
BFDE
为菱形，
理由：
∵
△
DOE
≌
△
BOF
，
∴
OE=OF
，又
∵
OB=OD
，
∴
四边形
EBFD
是平行四边形，
∵
∠
EOD=90°
，<
/p>
∴
EF
⊥
BD<
/p>
，
∴
四边形
BF
DE
为菱形．
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．
3
．
已知矩形纸片
OBCD
的边
OB
在
x
轴上，
OD
在
y
轴上，点
C
在第一象限，且
OB
8
，
OD
6
.
现将纸片折叠，折痕为
EF
（点
E
，
F
是折痕与矩形的边的交点），点
P
为点
D
的对应点，再将纸片还原。
< br>
（
I
）若点
< br>P
落在矩形
OBCD
的边
OB
上，
①
如图
①
，当点
E
与点
O
重合时，求点
F
的坐标；
②
如图
②
，当点
E
< br>在
OB
上，点
F
在
DC
上时，
EF
与
DP
交于点
G
，若
OP
7
，求点
F
的
坐标：
（
Ⅱ
）若点
P
落在矩形
OBCD
的内部，且点
E
，
F
分别在边
OD
，边
DC
上，当
OP
取最小值
时，求点
P
的坐标（直接写出结果即可）。
【答案】（
I
）
①
点
F
的坐标为
(6,6)
；<
/p>
②
点
F
的坐标为
【解析】
【分析】
85
8
6
,6
；（
II
）
P
<
/p>
,
14
5
5
（
I
）
①
根据折叠的性质可得
DOF
POF
45
,
再由矩形的性质，即可求出
F
的坐
标
;
②
由折叠
的性质及矩形的特点，易得
DGF
PGE
，得到
DF
PE
，再加上平行，
可以得到四边形
DEPF
是平行四边形，在由对
角线垂直，得出
DEPF
是菱形，设
菱形的
边长为
x
，在
< br>Rt
ODE
中，由勾股定理建
立方程即可求解
;
(
Ⅱ
)
当
O,P
,F
点共线时
OP
的长度最短
.
【详解】
解：（
I
）
①
∵
折痕为
EF,
点
P
为点
D
的对应点
DOF
POF
DOF
POF
45
∵
四边形
OBCD
是矩形
，
ODF
90
DFO
DOF
45
DF
DO
6
点
F
的坐标为
(6,6)
②
∵
折痕为
EF
，点
P
为点
D
的对应点
.
DG
PG
,
EF
PD
∵
四边形
OBCD<
/p>
是矩形，
D
C
/
/
OB
，
FDG
EPG
；
DGF
PGE
DGF
PGE
DF
PE
DF
/
/
PE
∴
四边形
DEPF
是平行四边形
.
EF
PD
，
DEPF
是菱形
.
< br>设菱形的边长为
x
，则
DE
EP
x
OP
7
，
OE
7
x
，
2
2
2
在
Rt
ODE
中，由勾股定理得
OD
QB
DE
6
2
(7
x
)
2
x
2
解得
x
85
14
85
14
85
,6
14
<
/p>
DF
∴
点
F
的坐标为
<
/p>
（
Ⅱ
）
P
,
【点睛】
此题考查了几何折叠问题、
等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知
识，关键是根据折叠的性质
进行解答，属于中考压轴题．
8<
/p>
6
5
5
4
．
如图，
△
ABC
中，
AD
是边
BC<
/p>
上的中线，过点
A
作
AE
∥
BC
，过点
D
作
DE
∥
< br>AB
，
DE
与
< br>AC
、
AE
分别交于点
O
、点
E
，连接
EC
．
（
1
）求证：
AD=EC
；
（
2
）当
∠
BAC=Rt
∠
时，求证：四边形
ADCE
是菱形．
【答案】（
1
）见解析；
（
2
）见解析
.
【解析】
【分析】
（
1
）先证四边形
ABDE
是平行四边形
，再证四边形
ADCE
是平行四边形即可；
（
2
）由
∠
BAC
=90°
，
AD
是边
BC
上的中线，得<
/p>
AD
=
BD
=<
/p>
CD
，即可证明
.
【详解】
(1)
证明：
∵
AE
∥
BC
，
DE
∥
AB
，
∴
四边形
ABDE
是平行四边
形，
∴
AE
=
BD
，
∵
AD
是边
BC
上的中线，
∴
BD
< br>=
DC
，
∴
AE
=
DC
，
又
∵
AE
∥
BC
，
∴
四边形
ADCE
是平行四边形
.
(2)
证明：
∵
∠
BAC<
/p>
=90°
，
AD
是边
BC
上的中线
.
< br>
∴
AD
=
CD
∵
四边形
ADCE
是平行四边形，
<
/p>
∴
四边形
ADCE
是菱形
.
【点睛】
本题考查了平行四边形的判
定、菱形的判定、直角三角形斜边中线定理
.
根据图形与已知条
件灵活应用平行四边形的判定方法是证明的关键
.
5
．
< br>如图，
ABCD
是正方形，点
G
是
BC
上的任意一点，
DE
⊥
AG
于
E
，
BF
∥
< br>DE
，交
AG
于
F
．
求证：
AF=BF+EF
．
【答案】详见解析
.
【解析】
【分析】
由四边形
< br>ABCD
为正方形，可得出
∠
B
AD
为
90°
，
AB=AD
，进而得到
∠
BAG
与
∠
EAD
互余，
又
DE
垂直于
AG
，得到
∠
EAD
< br>与
∠
ADE
互余，根据同角的余
角相等可得出
∠
ADE=
∠
BAF
，
利用
AAS
可得出
△
ABF
≌
△
DAE
；利用全等三角的对应边相等
可得出
BF=AE
，由
AF-AE=E
F
，
等量代换可得证
.
【详解】
∵
ABCD
是正方形，
∴<
/p>
AD=AB
，
∠
BAD=90°
∵
DE
⊥
AG
，
∴
∠
DEG=
∠
AED=90°
∴
∠
ADE+
∠
DAE=90°
又
∵
∠
BAF+
∠
DAE=
∠
BAD=90°
，
∴<
/p>
∠
ADE=
∠
B
AF
．
∵
B
F
∥
DE
，
∴
∠
AFB=
∠
DEG=
∠
AED
< br>．
在
△
ABF
与
△
DAE
< br>中，
AFB
AED
ADE
BAF
，
AD<
/p>
AB
∴
△
ABF
≌
△
DAE
（
AAS
）
．
∴
BF=AE
．
∵
AF=AE+EF
，
∴
AF=BF+E
F
．
点睛：此题考查了正方形的性质
，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌
握判定与性质是解本题的关键．
6
．
如图
①
，在矩形
A
BCD
中，点
P
从
AB
边的中点
E
出发，沿着
E
B
C
速运动，速
度为每秒
2
个单位长度，到达点
C
后停止运动，点
Q
是
AD
上的
点，
AQ
10
，设
PAQ
的面积为
y
，点
p
运动的时间为
t
秒，
y
与
t
的函数关系如图
②
所示
.
(1)
图
①
中
AB
=
，
BC
=
，图
②
中
m<
/p>
= .
(2)
当
t
=1
秒时，试判
断以
PQ
为直径的圆是否与
BC
边相切
?
请说明理由
:
(3)
点
p
在运动过程中，将矩形沿
PQ
所在直
线折叠，则
t
为何值时，折叠后顶点
A
的对应
点
A
落在矩形的一边上
.
【答案】
(1)8,18,20;(
2)
不相切，证明见解析；（
3
）
t=
【解析】
【分析】
1
17
、
5
、
.
2
3
（
1
）由题意得出
AB=2BE
，
t=2
时，
BE=2×2
=4
，求出
AB=2BE=8
，
AE=BE=4
，
t=11
< br>时，
2t=22
，得出
BC=1
8
，当
t=0
时，点
< br>P
在
E
处，
m=
△
AEQ
的面积
=
1
AQ×AE=20
即可
；
2
（
2<
/p>
）当
t=1
时，
PE=2
，得出
AP=AE+PE=6
，由勾股定理求出
PQ=2
34
，设以
PQ
为直径的
圆的圆心为
O'
，作
O'N
⊥
BC
于
N
，延长
NO'
交
AD
于
M
，则
MN=AB=8
，
O'M
∥
AB
< br>，
MN=AB=8
，由三角形中位线定理得出
O'M=
即可得出结论；
（
3
）分三种情况：
①
当点
P
在
AB
边上，
A'
落在
BC
边上时，作
QF
⊥
B
C
于
F
，则
Q
F=AB=8
，
BF=AQ=10
，由
折叠的性质得：
PA'=PA
，
A'Q
=AQ=10
，
∠
PA'Q=
∠
A=90°
，由勾股定
理求出
A'F=
2
AQ
QF
2
=6
，得出
A'B=BF-A'F=4
，在
Rt
△
A'BP
中，
BP=4-2t
，
PA'=AP=8-
1
AP=3
，求出
O'N=MN-O'M=5
＜圆
O'<
/p>
的半径，
2
（
4
-2t
）
=4+2t
，由勾股定理得出
方程，解方程即可；
②
当点
P
在
BC
边上，
A'
落在
BC
边上时
，由折叠的性质得：
A'P=AP
，证出
∠
APQ=
∠
AQP
，
得出
AP=AQ=A'P=10
，在
Rt
△
ABP
中，由勾股定理求出
BP=6
，由
BP=2t-4
，得出
2t-4=6
，解
方程即可；
③
当点
P
在
BC
边上，
A'
落在
CD
边上时，由折叠的性质得：
A'P=AP
，
A'Q=AQ=10
，在
Rt
△
DQA'
中，
DQ=AD
-AQ=8
，由勾股定理求出
DA'=6
，得出
A'C=CD-DA'=2
，在
Rt
△
ABP
和
Rt
△
A'PC
中，
BP=2t-4
，
CP=BC-
BP=22-2t
，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】
（
1
）
∵
点
P<
/p>
从
AB
边的中点
E
出发，速度为每秒
2
个单位长度，<
/p>
∴
AB=2BE
，
由图象得：
t=2
时，
BE=2×2=4
，
∴
AB=2BE=8
，
AE=BE=4
，
t=11
时，
2t=22
，
∴
BC=22-4=18
，
当
t=0
时，点
P
在
E
处，<
/p>
m=
△
AEQ
的
面积
=
故答案为
8
，
18
，
20
；
（
2
）当
t=1
秒时，以
PQ
为直径的圆不与
BC
边相切，理由如下：
当
t=1
时，
PE=2
，
∴
AP=AE+PE=4+2=6
，
∵
四边形
ABCD<
/p>
是矩形，
∴
∠
A=90°
，
∴
PQ=
1
1
AQ×AE=
×10×4=20
；
2
2
AQ
2<
/p>
AP
2
10
2
6
2
2
34
，
设以
PQ
为直径的圆的圆心为
O'
，作
< br>O'N
⊥
BC
于
N
，延长
NO'
交
AD
于
M
，如图
1
所示：
则
MN=AB=8
，
O
'M
∥
AB
，
MN=AB=8
，
∵
O'
为
PQ
的中点，
∴
O''M
是
△
APQ
的中位线
，
∴
O'M=
1
AP=3
，
2
∴
O'N=MN-O'M=5
＜
34
，
∴<
/p>
以
PQ
为直径的圆不与
< br>BC
边相切；
（
3
）分三种情况：
①
当点<
/p>
P
在
AB
边上，
A'
落在
BC
边上时，作
QF
⊥
BC
于
F
，如图
2
所
示：