方向余弦矩阵
-
变换部分文字
pp
概述
原
则上，
所有图象处理都是图像的变换，
而本章所谓的图象变换特
指数字图象经过某种数学
工具的处理，
把原先二维空间域中的数
据，
变换到另外一个
变换域
形式描述的过程。
例如，
傅立叶变换将时域或空域信号变换成频域的能量分布描述。
任
何图象信号处理都不同程度改变图象信号的频率成分的分布，
因此，
对信号的频域
（变换
域）分析和处理是重要的技术手段，<
/p>
而且，有一些在空间域不容易实现的操作，可以在频域
（变换域）
中简单、方便地完成。
Pp
如上所述，图象变换是将
维空间图象
数据变换成另外一组基向量空间（通常是正交向量空
间）的坐标参数，我们希望这些离散
图象信号坐标参数更集中地代表了图象中的有效信息，
或者是更便于达到某种处理目的。
下图描述了数字图象处理中空域处理与变换域处理的关
系。
pp
图象变换的实质就是将图象从一个空间变换到另一个空间
，
各种变换的不同之处关键在于变
换的基向量不同。以下给出几
种不同变换基向量的变换示例。
例如，由直角坐标系变化到极坐标系，见下图
pp
同样，一幅彩色图象可以按照某种准则，分解成若干个基
本色彩分量图象的和。
傅立叶变换可以将一维信号从时间域变
换到频率域，
例如下图，
一个正弦信号经过傅立叶变
换后，得到它的频率分布零频（直流分量）和基频。
一维傅立叶变换的定义：
一维傅立叶反变换定义：
F(u)<
/p>
包含了正弦和余弦项的无限项的和，
u
称
为频率变量，它的每一个值确定了所对应的正
弦
-
余弦对的频率。
根据尤拉公式
傅立叶变换系数可以写成如下式的复数和极坐标形式
:
其中：
傅立叶谱（幅值函数）为
相角为
能量谱为
pp
连续二维函数的傅立叶变换对定义
二维函数的傅立叶正变换
二维函数的傅立叶逆变换
二维函数的傅立叶谱
二维函数的傅立叶变换的相角
二维函数的傅立叶变换的能量谱
pp
2
离散傅立叶变换
< br>由于实际问题的时间或空间函数的区间是有限的，
或者是频谱有截止频率。
至少在横坐标超
过一定范围时，函数值已趋于
而可以略去不计。将
和
的有效宽度同样等分为
个小间隔，<
/p>
对连续傅立叶变换进行近似的数值计算，得到离散的傅立叶变换定义。
其中，一维离散傅立叶正变换
一维离散傅立叶逆变换
pp
二维离散傅立叶变换：对于
图象
对于
图象
pp
1.3
离散傅立叶变换的性质
性质
1
：可分离性
二维傅立叶变换可分解成了两个方向的一维变换顺序执行。
pp
性质
2
：平移性
空间域平移：
频率域平移：
pp
当
时有：
可以简单的用
乘以
将
的傅立叶变换的原点移动到相应
频率方阵的中心。
（图）
pp
性质
3
：周期性及共轭对称性
离散的傅立叶变换和它的反变换具有周期为
的周期性：
傅立叶变换也存在共轭对称性：
pp
性质
4
：旋转性质
平面直角坐标改写成极坐标形式：
做代换有：
如果
被旋转
则
被旋转同一角度。即有傅立叶变换对：
pp
（图）
性质
5
：线性性质
如果：
则有：
pp
性质
6
：
与图象均值的关系
二维图象灰度均值定义：
而傅立叶变换变换域原点的频谱分量：
所以有：
即
数值
倍于图象灰度均值。
Pp
性质
7
：图象拉普拉斯算子处理后的傅立叶变换
图象拉普拉斯算子处理的定义：
则图象拉普拉斯算子处理后的傅立叶变换对为：
pp
性质
8
：卷积与相关定理
卷积定理
一维序列的卷积运算定义为：
当
则有
注意在用傅立叶变换计算卷积时，
由
于函数被周期化，为了保证卷积结果正确，计算过程
中两个序列长度
N1
，
N2
都要补零加长为
N1+
N2-1
。二维图象序列卷积定理的
定义和计算
过程与一维情况相同。
*
为
卷积符号。
pp
相关定理：
一维、二维两个离散序列的相关可以写作
则有相关定理
pp
4
快速傅立叶变换
由一维傅立叶变换入手，换一种表示方法
pp
定义：
则：
因为：
pp
傅立叶变换的快速计算示意图：
（图）
pp
一维傅立叶变换：
其逆变换为：
R
则有：
对于二维情况：
pp
§
2
离
散余弦变换（
DCT
）
从第一节内容我们可以看到，
傅立叶变换是用无穷区间上的复正弦基函数和信
号的内积描述
信号中总体频率分布，
或者是将信号向不同频率变
量基函数矢量投影。
实际上，
基函数可以
有其它不同类型，相当于用不同类型基函数去分解信号（图象）
。余弦变换是其中常用
的一
种。
pp
设离散序列
，为一离散序列，根据下式延拓成偶对称序列
：
其中
。
是关于
为中心的偶对称序列如下图所示。
（图）
pp
以
代入在
范围内作
点的傅立叶变换：
pp
余弦变换的变换核为：
表示成矩阵形式为：
（其中各列模为
1
）
pp
定义偶余弦变换（
EDCT
）和逆变换为：<
/p>