热力学与统计物理课后习题答案第六章
-
第
六
章
近
独
立
粒
子
的
最
概
然
分
布
6.1
试
根据式（
6.2.13
）证明：在体积
V
内，在
到
ε
+
d
ε
的能
量
范围内，三维自由粒子的量子态数为
1
3
2
V
D
d
3
2
m
2
2
d
< br>
.
h
解
:
式（
6
.2.13
）给出，在体积
V
L
3
内，在
p
x
到
p
x
d
p
x
,
p
y
到
p
y
d
p
y
,
p
x<
/p>
到
p
x
d
p
x
的动量范围内
，自由粒子可能的量子态数为
V
<
/p>
d
p
x
d
p
y
d
p
z
.
（
1
）
h
3
用动量空间的球坐标描述自由粒子的动
量，
并对动量方向积分，
可得
在体积<
/p>
V
内，动量大小在
p
到
p
d
p
范围内三维自由粒子可能的量子
态数为
4
π
V
2
p
d
p
.
（
2
）
3
h
上式可以理解为将
空间体积元
4
Vp
2
d
p
< br>（体积
V
，动量球壳
4
π
p
2
d
p
）
除以相格大小
h
3
而得到的状态数
.
自由粒子的能量动量关系为
p
2
.
2
m
因此
<
/p>
p
2
m
,
p
d
p
md
.
将上式代入式（
2
）
，即得在体积
V
内，在
到
d
的能量范围内，
三维自由粒子的量子态数为
6.2
试证明，对于一
维自由粒子，在长度
L
内，在
到
d
的
能量范围内，量子态数为
D
d
2<
/p>
L
m
d
.
h
2
1
2
1
3
2
π
V
D
(
<
/p>
)d
3
2
m
2
2
d
.
（
3
）
h
解
:
根据式（
6.2.14
）
，一维自由粒子在
空间体积元
d
x
d
p
x
内可能
的量子态数为
d
x
d
p
x
.
h
在长度
L
内，动量大小在
p
到
p
d
p
范围内（注意动量
可以有正负两
个可能的方向）的量子态数为
将能量动量关系
< br>p
2
2
m
2
L
d
p
.
（
1
）
h
代入，即得
6.3
试证明，
对于二维的自由粒子，
在面积
L
2
内，
在
到
d
的
能量范围内，量子态数为<
/p>
2
π
L
2
D
d
2
md
.
< br>
h
D
d
2
L
m
d
.
（
2
）
h
2
1
2
解
:
根据式（
6.2.14
）
，二维自由粒子在
空间体积元
d
x
d
y
d
p
x
d
p
y
内
的量子态数为
1
d
x
d
y<
/p>
d
p
x
d
p
y
.
（
1
）
2
h
用二维动量空间的极坐标
p
,
描述粒子的动量，<
/p>
p
,
与
p
x
,
p
y
的关系
为
p
x
p
cos
,
p
y
p
sin
.
用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为
< br>p
d
p
d
.
在面积
L
2
内，动量大小在
p
到
p
d
< br>p
范围内，动量方向在
到
d
范
围内，二维自由粒子可能的状态数为
L
2
p
d
p
d
.
（
2
）
2
h
对
d
积分，从
0
积分到<
/p>
2
π
，有
维自由粒子可能的状态数为
将能量动量关系
< br>2
0
d
2
π
.
可得在面积
L
2
内，动量大小在
p
到
p
d
p
< br>范围内（动量方向任意）
，二
2
π
L
2
p
d<
/p>
p
.
（
3
）
2
h
p
2
2
m
代入，即有
6.4
在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为
cp
.
< br>
2
π
L
2
D
d
2
m
d
.
（
4
）
h
试求在体积
V
内
，在
到的能量范围内三维粒子的量子态数
.
解
:
式（
6.2.16
）已给出在体积
V
内，动量大小在
p
到
p
d
p
范围
内三维自由粒子可能的状态数为
4
V
2
p
d
p
.
（
1
）
h
3
将极端相对论粒子的能量动量关系
cp
<
/p>
代入，可得在体积
V
内，在
到
< br>d
的能量范围内，极端相对论粒
子的量子态数为
6.5
设系统含有两种粒子，其粒子数分别为
N
和
N
.
粒子间的
相互作用很弱，
< br>可以看作是近独立的
.
假设粒子可以分辨，
处在一个
个体量子态的粒子数不受限制
.
试证明，
在平衡状态下两种粒子的最
概然分布
分别为
D
d
<
/p>
4
π
V
ch
2
d
.
（
2
）
3