高等代数试题四
-
线性变换
一
判断题
3
3
(1)
在向量空间
R
中
,
(
x
1
,
x
2
,<
/p>
x
3
)
(
2
x
1
,
x
2
,
x
2
x
3
)
,
则
是
R
的一个线性变换
. (
).
2
(2)
在
向量空间
R
n
[
x
]
中
,
(
f
(
x<
/p>
))
f
(
x
)
,
则
是
R
n
[
x
]
的一个线性变换<
/p>
.
(
).
(3)
取定
A
M
n
(
F
)
,
对任意的
n
阶矩阵
X
M
n
(
F
)
,
定
义
(
X
)<
/p>
AX
XA<
/p>
,
则
是
M
n
(
F
)
的一个线性变换
.
(
).
(4)
是
向
量
空
间
V
的
线
性
变
换
,
向
量
组
1
,
2
,
,
m
线
性
相
关
,
那
么
(
1
),<
/p>
(
2
),
,
(
m
)
也线性相关
.
(
).
(5)
在向量空间
< br>R
n
[
x
]
中
,
则微商
(
f
(
x
))
f
(
x
)
是一个线性变换
< br>.
(
).
3
(6)
在
向量空间
R
中
,
已知线性变换
'
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
< br>
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
(
x
1
x
2
,
x
2
)
.
x
< br>3
,
x
3
)
,
(
x
1
,
0
x
,
3
则
(
2
)(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
(
x
2
x
1<
/p>
,
x
2
x
3
,
x
3
)
.
(
).
(7)
对
向量空间
V
的任意线性变换
,
有线性变换
,
使
<
/p>
(
是单位变换
).
(
).
(8)
向
量空间
R
的两个线性变换
,
为
(
x
1
,
x
2
)
(
x
1
,
x<
/p>
2
x
1
)
;
(
x
1
,
x
2
)
(
x
1
x
2
,
x
2
)<
/p>
2
则
(
)(
x
1
,
x
2
)
(
x
2
,
x
1
x
2
).
(9)
在实数域
F
上的
n
维向量空间
V
中取定一组基后
,
V<
/p>
的全体线性变换和
F
上全体
n
2
阶矩阵之间就建立了一个一一对应
.
(
).
(10)
在取定基后
,
V
的每个可逆线性变换对应于可逆矩阵
,
但逆变换未必对应于逆矩阵
.
(
).
(11)
线性变换在不同基下对应的矩阵是相似的
.
(
).
(12)
相似矩阵不一定是同一线性变换在不同基下的矩阵
.
(
).
(13)
域
F
上的向量空间
V
及其零子空间
,
对
V
的每个线性
变换来说
,
都是不变子空间
.
(
).
(14)
除零变换外
,
还存在向量空间
V
的线性变换
,
能
使
V
的任意子空间对该变换不变
.(
)
(15)
向量空间
V
的线性变换
1
的不变子空间
W
,
也是
V
的另一线性变换
2
的不变子空
间
,
这里
2
1
.
(
).
(16)
向量空间
< br>V
的线性变换
的象与核都是<
/p>
的不变子空间
.
(
).
(17)
线性变换
的特征向量之和
, <
/p>
仍为
的特征向量
.
(
).
(18)
属于线性变换
同一特征根
0
的特征向量的线性组合仍是
的特征向量
.
(
).
(19)
数域
F
中任意数
都是
F
上的向量空间
V
的零变换的特征根
.
(
).
(20)
在一个基下可以对角化
,
则
在任何基下可以对角化
.
(
).
(1)
正确
(2)
错误
(3)
正确
(4)
正确
(5)
正确
(6)
正确
(7)
错误
(8)
正确
(9)
正确
(10)
错误
(11)
正确
(12)
错误
(13)
正确
(14)
正确
(15)
错误
(
1
6
正
)
确
(17)
错误
(18)
正确
(19)
错误
(20)
错误
二
填空题
(1)
设
V
和
W
是数域
F
上的向量空间
,
而
< br>
:
V
W
是一个线性映射
,
那么
是单射的
充要条件是
____________.
(2)
设
V
和
W
是数域
F
上的向
量空间
,
而
:
V
W
是
一个线性映射
,
那么
是满射的
充要条件是
____________.
(3)
是
向量空间
V
的线性变换
,
若满足
________________,
则称
是可逆变换
.
(4)
向量空间
V
的任意线性变换
,
都有
(0)
_______,
(
)
_
_____.
(5)
是
n
维向量空间
V
的一个位似变换
:
(
)
k<
/p>
,
那么
关于
V
的
____
______
基的矩
阵是
kI
.
(6)
在
V
3
的基
{
1
,
2
,
3
< br>}
下
的矩阵是
a
11
< br>
A
a
21
a
31
a
12
a
22
a
32
a
13
a
23
a<
/p>
33
那么<
/p>
关于基
{
<
/p>
3
,
1
2
,
2
1
}
的矩阵是
_____________.
(7)
在
F
3
中
的
线
性
变
换
(
x
1
,
x
2
,
x
< br>3
)
(
x
2
1
x
2
,
x
2
x
3
,
,
x
那
)
么
关
于
基
1
(
1
,
0
,
0
2
)<
/p>
,
(
0
,
3
1
,
0
)
,
的矩阵是
(
0
________________.
,
0
,
1
)
2
(8)
设
1
,
2
分别是向量空间<
/p>
R
中绕原点逆时针旋转
1
,
2
角的线性变换
,
那么
2
1
关于
基
1
(1,
0),
2
(0,1)
的矩阵是
_
__________________.
(9)
对于域
F
上向量空间
V
的数乘变换来说
______________
不变子空间
.
(10)
2<
/p>
维平面上的旋转变换
,_______
__
非平凡的不变子空间
.
(11)
若线性变换
与
是
_____________,
则
的象与核都是
的不变子空间
.
(12)
相似矩阵有
_____
的特征多项式
.
(13)
(
0
I
A
)
X
0
的
___
________
都是
A
的属于
0
的特征向量
.
(14)
A
与对角阵相似
,
< br>f
(
x
)
F
[
x
]
,
则
f
(<
/p>
A
)
必与某一
_
_____________.
(15)
< br>设
V
是数域
F
< br>上的
n
维向量空间
,
L
(
V
),
的不同的特征根是
1
,
2
,
,
t
,
则
可对角化的充要条件是
___________
__.
(16)
设
是实数域
F
上的
n
维向量空间
V
的线性变
换
,
如果
V
的任意一维子空间都是
的不变子空间
,
那么
可以
_____________.
(17)
设
是实数域
F
上的
n
维向量空间
V
的线性变换
,
可对角化的充要条件是
1)
的特征多项式的根都在
F
内
;
2)
_______________________________;
(18)
设
A
M
n
(<
/p>
F
)
,
如果<
/p>
A
的特征多项式在
F
内有
______________,
那么
A
可对角化
.
(19)
设
是
实
数域
F
上
的
n
维
向
量空
间
V
的
线性
变
换
,
是
的
一
个特
征根
,
则
dim
V
____
的重数<
/p>
.
3
(20)
矩阵
0
0
2
2
0
7
4
的特征根是
______________.
5<
/p>
答案
<
/p>
(1)
ker(
)
{0}
(2)
Im(
)
< br>
W
(3)
< br>存在
V
的线性变换
,
使
(4)
0,
a
1
3
(5)
任意
(
6
< br>)
a
2
3
a
3
3
2
a
1
1
a
2
a
2
2
2
a
2
< br>
(7)
1
< br>1
a
3
a
3
2
2
a
1
3
1
1
2
a
1
a
1
2
0
< br>
1
1
1
0
0
1
0
cos(
<
/p>
1
2
)
(8)
sin(
1
2
)
sin(
1
2
)
)
(
1
1
可交换的
)
< br>(9)
每个子空间都
是
(
1
0
没有
cos(
1
2
)
t
(
1
5
(17)
V
i
n
(
1
6
对角化
(1
2
)<
/p>
相同
(13)
非零解向量
(
1
4
对角阵相似
)
)
d
i
m
)
i
1
对于
的特征多项式的每一个根
,
特征子空间
V
的维数等于
的重数
(
18)
n
个不同的
单根
(19)
(
2
0
3,
2, 5
)
三
.
单选题：
1
．向量空间
V
n
(
F
)
的零变换
< br>的象及核的维数分别是（
）
。
A
.
0,
n
B
.
n
,
0
C
.
0
,
0
D.
n, n
2
．向量空间
V
n
(
F
)
的单位变换
t
的象及核的维数分别是（
）
。
A
.
1,<
/p>
n
1
B
.
n
1
,
1
C
.
n
,
0
D. 0, n
3
．
“有相同的特征多项式”这是两个矩阵相似的（
）条件。
A
.
充分
B
.
必要
C
.
充分必要
D.
以上都不对
< br>4
．对于域
F
上向量空间
V
的数乘变换来说，
（
）不变子空间。
A
.
只有一个
B
.
每个子空间都是
C
.
不存在
D.
存在且有限个
5.
2
维
平面上的旋转变换
，
（
）非平凡的不变子空间。
A
.
有一个
B
.
有无穷多
C
.
没有
D.
有有限个
6
．若线性变换
与
< br>是（
）
，则
的象与核都是
的不变子空间。
A
.
互逆的
B
.
可交换的
C
.
不等的
D.
不可换的
7
．以向量空间
V
的任何非零向量
作为特征向量的线性变换只能是（
）
A
.
零变换
B
.
位似（数乘）变换
C
.
单位变换
D.
以上都不对
8
．设
是一线性变换，若
Ker
(
)
0
。则下面说法正
确的是（
）
A
.
无特征根零
B
.
有特征根零
C
.
不确定
D.
以上都不对
< br>9
．
设
S
是对合矩阵
(
S
2
< br>
I
)
，
P
是幂等矩阵
(
P
< br>2
P
)
，
H
是幂零矩阵
(
< br>H
那么（
）可以对角化。
A
.
S
,
P
,
H
在
F
上均可以对角化
B
.
仅
S
,
P
在
F
上可以对角化
C
.
它们在
F
上均不能对角化。
D.
在
F
上
可以对角化
答案：
1.
A
2.
C
3.
B
4.
B
5.
C
6.
B
7.
B
8.
A
9.
B
m
0)<
/p>
且
H
0
,
四
多选题
1
设
是
n
维线性空间的线性变换
,
则
在不同基下的矩阵
(
).
A
.
一定合同
;
B
.
一定相似
;
C
.
秩一定相等
;
D
.
秩不一
定相等
.
2
设
是线性空间
V
的线性变换
< br>,
则
A
.
(0)
0
;
B
.
(<
/p>
a
1
1
a
2
2
a
n
n
)
a
1
(
1
)<
/p>
a
2
(
2
)
a
n
(
n
)
;
C
.
当
<
/p>
1
,
2
,
,
n
线性无关
,
(
1
),
(
2
),
,
(
n
)
线性无关
;
D
.
当<
/p>
1
,
2
,
,
n
线性相关
,
(
1
),
(
2
),
,
(
n
)
线性相关
.
3
设
是数域
P
上的
n<
/p>
维线性空间
V
的线性变换
,
且
是单的
.
则
A
.
若
1
, <
/p>
2
,
,
n
是
V
的一组基
,
则
(
1
),
(
2
),
,
(
n
< br>)
也是
V
的一组基
;
B
.
是满射
;
C
.
不是满射
;
D
.
是双射
.
4
设
V
是复数域上的
n
维线性空间
,
,
< br>是
V
的线性变换
,
且
.
那么
A
.
若<
/p>
0
是
的一个特征值
,
那么
V
是
的
不变子空间
;
0
B
.
<
/p>
,
的特征值一定相同
< br>;
C
.
,<
/p>
的特征子空间一定相同
;
D
. <
/p>
,
至少有一
个特征值一定相同
;
5
n
阶矩阵
A
相似于对角阵
的充要条件
;
A
.
A<
/p>
的特征子空间的维数和等于
n
;
B
.
A
的初等因子都是一次的
;
C
.
A
有<
/p>
n
个不同的特征根
;
D
.
A
的最小多项式无重根
.
答案
:
1
B
,
C
;
2
A
,
B
,
D
;
3
A
,
< br>B
,
D
;
4
A
,
D
;
5
A
,
B
,
D
.
五
简单题
1.
线性变换是否一定把线性无关的向量组变成线性无关的向量组
?
2.
R
3
的线性变换
为
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
(
x
1
x
2
2
< br>x
3
,
3
x
2
3
x
3
,
x
1
2
x
2
x
3
)
求
< br>的象与核的维数
.
3
．在数域
F
上全体
n
阶
对称矩阵所组成的向量空间
V
中定义变换
:
(
X
)
T
XT
，
其中
T
为一个固定
的
n
阶方阵，
X
为
V
中任一对称矩阵。
证明：
是
V
的一个线性变换。
4
．在向量空间
F
n
中，对任意向量
，规定
(
)
A
，这里
A
为取定的一个
n
阶方阵。
证明：
是
F
n
的一个线性变换。
5
．证明：若某向量组在线性变换下象线性无关，则
该向量组也线性无关。
6
．
,
是向量空间
V
的线性变换。若
，则
或
<
/p>
不成立，试举一反例
.
7.
F
[
x
]
的两个线性变换为：对任意
f
(
x
)
F
[
x
]<
/p>
，
(
f
(
x
))
f
(
x
),
(
f
(
x
))
< br>xf
(
x
)
证明：
< br>
.
8
．设
<
/p>
,
,
是
V
(
F
)
的线性变换，定义
[
,
]
证明：
对任意
,
,
以下等式成立：
[[
,
],
< br>]
[[
,
],
]
[[
,
],
]
9
．
证明：
若
f
(
)
,
g
(
)
< br>
，
则
d
(
)
，
其中
d
(<
/p>
x
)
是
F
[
x
]
中多项式
f
(
x
)
与
g
(
x
)
10
．令
(
< br>x
1
,
x
2
,
x
3
)
是
R
3
中任意
向量，
是线性变换
:
(
)
(
x
1
x
2
,
x<
/p>
2
,
x
3
x
2
)
试证
可逆。
11
．设
A
,
B
是数域
F
上
的
n
阶矩阵，若
A
,
B
之一可逆，则
A
B
与
B
A
< br>相似。
12
．设
V
的两个线性变换
与
是可变换的。
试证
的象
Im(
)
与核
Ker
< br>(
)
都是
的不变子空间。
13
．设
是向量空间
V<
/p>
的线性变换，那么
W
< br>L
(
)
是
的一维不变子空间当且仅当<
/p>
是
的属于某特征根
< br>0
的特征向量。
14
．设
是复数域
C
上线性空间的线性变换，若
关于空间的一
个基
1
,
2
的矩阵为
A
0
a
<
/p>
a
0
,
a
0
求
的特征根与特征向量。
15
．设矩阵
A
cos
sin
sin
cos
,
0
求
A
的特征根与特征向量。
16
．设
是属于
n
阶对称矩阵
A
的特征根
0
的特征向量。
证明：
0
是
(
P
1
AP
)
'
的特征根，并求矩阵
(
P
1
AP
)
'
的属于
0
的一个特征向量。
1
7
．试证幂等矩阵
A
的特征根等于
0
或
1
。
18
．设
A
,
B
均为
n
阶矩阵。证明：
T
r<
/p>
(
AB
)
T
r
(
BA
)
19
．设
n
阶矩阵
A
(
a
ij
)
的特征根是
1
,
2
,...,
n
。
n
n
n
证明：
2
i
a
ij
a
ji
i
1
i
< br>1
j
1
20
．
令
A
是数域
F
上一个
n
阶矩阵，
A
可以对角化的充分必要条件是
< br>f
A
(
x
)
在
F
单根。这种说法对吗？
答案
n
个
内有
1.
答
不一定
.
例如
,
在二维空间
< br>V
2
中
,
到
x
轴的投影变换
:
(
x
< br>1
,
x
2
)
(
x
1
,
0)
,
把
线性
无关的向量组
(1,
0),
(0,1)
,
变为线性相关的向量组
(1,
0),
(0,
0)
.
2.
解
设
1
,
2
,
3
为
R
3
的标准基
,
则得线性方程组
< br>x
1
x
2
2
x
3
0
3
x
2
3
x
3
0
x
< br>
2
x
x
0
2
3
1
其解空间即为
ker(
)
.
因为此方程组的系数矩阵的秩为
2
,
故
dim
ker(
)
1.
3
．证明：任取
X
,
Y
V
,
k
,
l
F
，则
(
kX
lY
)
T
(
kX
lY
)
T
T
(
kX
)
T
T
(
lY
)
T
< br>
k
(
T
XT
)
l
(
T
YT
)
k
(
X
)
L
(
Y
)
故
< br>是
V
的线性变换。
4
．证明：任取
,
F
n
,
< br>a
,
b
F
，有
(<
/p>
a
b
)
A
(
a
b
)
A
(
a
)
A
(
b<
/p>
)
a
(
A
)
b
(
A
)
a
(
)
b
(
<
/p>
)
故
是
F
n
的线性变换。
5
．证明：设向量组
1
,
2
,...,
r
在线性变换
下的象
(
1
),
(
2
),...,
(
r
)
线性无关。
令
k
1
1
k
2
2
...
k
r
r
0
于是
k
1
(
1
)
k
2
(
2<
/p>
)
...
<
/p>
k
r
(
r
)
0
由
(
1
),
< br>
(
2
),...,
(
r
)
线性无关，知
k
1
k
2
...
k
r
0
，故
1
,
2
,...,
r
线性无关。
6
．解：反例为
：对向量空间
R
2
的任意向量
(
x
,
y
)
，定义线性变换
(
x
,
y
)
(
x
,
0);
(
x
,
y
)
< br>
(0,
y
)
< br>
则有
(
< br>x
,
y
)
(0,
y
)
(0,
0).
< br>
即
，
但是
,
。
7
．证明：任取
f
(
x
)
<
/p>
F
[
x
]
，则
(
f
(
x
))
(
xf
(
x
))
f
(
x
)
< br>
xf
(
x
)
(
f
(
x
))
(
f
<
/p>
(
x
))
xf
(
x
)
因而
(
)(
f
(
x
))
(
f
(
x
))
(
f
(
x
))
f
< br>(
x
)
故
8.证
明
:原
式
[
,
]<
/p>
[
,
]
[
,
]
[
,
]
[
<
/p>
,
]
[
,
]
<
/p>
9
．证明：因为
d
(
x
)
是
f
< br>(
x
)
与
g
(
x
)
的
最大公因式，所以存在
u
(
x
),
v
(
x
)
F
(
x
)
，使
< br>f
(
x
)
u
(
x
)
g
(
x
)
v
(
x
)
d
(
x
)
故有
d
(
)
f
(
)
u
(
)
<
/p>
g
(
)
v
(
)
u
(
)
v
(
)
。
10
．任取
R
3<
/p>
的一个基，
1
(1,
0,
0),
< br>
2
(0,1,
0),
3
(0,
0,1)
1
那么
(
(
1
),
(
2
),
(
3
))
(
< br>
1
,
2
,
3
)
0
0
1
1
1
0
0
1
< br>
由于
关于此基的矩阵是可逆阵，故
可逆。
11<
/p>
．证明：不妨设
A
可逆，于是存在
A
1
而有
BA
(
A
1
A
)
BA
A
< br>
1
(
AB
)
A
12
．证明：任取
Im(
)
，则存在
V
使
(
< br>
)
于是
(
)
(
(<
/p>
))
(
)(
)
(
)(
)
(
(
))
Im(
)
所以
Im(
)
是的
不变子空间。
任取
<
/p>
Ker
(
<
/p>
)
，则
(
)
0
，于是
(
(
))
(
)(
)
(
)(
)
(
(
))
(0)
0
故由
(
)
Ke
r
(
)
而知
Ker
(
)
是
的不变子空间。
< br>
13
．证明
：
是一维不变子空间
V
的生成向量，自然有
< br>0
，且
(
)
W
L
(
)<
/p>
，因
此存在
0
F
，而使
(
)
0
。反之，若
是
的属于
特征根
0
的特征向量，那么对
任何
F
,
(
)
(
)
< br>0
(
)
故
(
L
(
))
L
(
)
。
14
．
解
：
易
证
的
特
征
根
为
1
ai
,
2
ai
，
它
们
相
应<
/p>
的
特
征
向
量
分
别
为
k
1
ki
2
,
< br>k
0,
k
C
，及
k
1
ki
2
,
k
<
/p>
0,
k
C
15
．解：
f<
/p>
A
(
)
2
2
cos
1
，从而
A
的特征根为
1
cos
i
sin
,
2
cos
i
sin
因此它们的特征向量分别是：
k
1
(
i
,1)
k
1
(
i
< br>1
2
),
k
1
0
和
k<
/p>
2
(2,1,
1)
k
2
(
2
1
<
/p>
2
3
),
k
2
0
。
16
．证明：因为
A
,
A
A
故
(
P
< br>1
AP
)
(
P
)
P
A<
/p>
0
(
P
)
又
0
,
P
可逆，易知
P
0
，因此
0
是
(
P
1
AP
)
的
一个特征根，并且
P
是所求
的一个特征向量。
2
2
17
．
设
i
是
A
的任一特征根，
因
f
(
i
)
i
是
f
(
A
)
A
2
的特征根，
所以<
/p>
i
f
(
i
)
i
故幂等阵的特征根是
0
或<
/p>
1
。
n
n
ik
n
n
ki
18
．证明：设
A
(
a
ij<
/p>
),
B
(
b
ij
)
，那么<
/p>
T
r
(
AB
)
(
a
i
1
k
1
< br>2
n
b
ki
)
(
b
k
1<
/p>
i
1
a
ik
)
T
r
(
BA
)
n
n
2
i
2
n
ij
< br>19
．证明：由题设易知
A
的特
征根为
,
,...
，因此
T
r
(
A
)
2
2
1
2
2
a
i
1
j
1
a
< br>ji
i
1
20
．答；不对。例如，矩阵
1
A
0
0
1
有二重根
1
，而
A
本身就是对角形矩阵。
六
．
计算题：
1
．向量空间
R
3
的线性变换
为
< br>
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
(2
x
1
,
3
x
2
,
2
x
3
)
求
Im(
)
与
Ker
(
)
，并计算它们的维数。
1.
解
取
R
3
的标准基
1
,<
/p>
2
,
3
,
，于是
(
1
)
(1,
0,
0)
(2,
0,
0),
(
2
)
(0,1,
0)
<
/p>
(0,
3,
0),
(
3
)
(0,
0
,1)
(0,
0,
< br>
2),
任取
a
1
1
a
2
2
a<
/p>
3
3
，则
(
)
a
1
(
1
< br>)
a
2
(
2
)
a
3
(
3
)
因此
Im
(
)
L
(
(
< br>1
),
(
2
),
(
3
))
显然
Im
(
)
L
(
(
1
),
(
2
),
(
3
))
故
Im(
)
L
(
(
1
),
(
2
)
,
(
3<
/p>
))
而
(
1
),
(
2
),
(
3
)
线性无关，所以
Im(
)
R
,
dim
Im(
)
3
因为
K
er
(
)
R
(
)
< br>0
3
3
则由
(2
x
1
,
3
x
2
,
2
x
3
)
(0,
0,
0)
得
x
1
x
2
x
3
0
所以
Ker
(
)
0
,
dim
Ker
(
)
0
2
．令
F
4
表示数域
F
上四元列空间。取
1
1
A
3
1<
/p>
1
1
1
3
5
2
8
9
1
3
1
7
<
/p>
对于任
<
/p>
F
4
，令
(
)
A
。求线性变换<
/p>
的核和象的维数。
2.
解
取
F
4
的标准基
1
,
2<
/p>
,
3
,
4
.
由
Im(
)
L
(
(
1
),
< br>(
2
),
(
3
),
(
4
))
1<
/p>
1
5
5
1
<
/p>
1
1
2
2
3
(
)
(
)
其中
(
1
)
(
2
)
< br>(
3
)
3
4
3
1
8
8
1
< br>
1
3
9
9
7
< br>
由此得
dim
Im(
)
A
秩
2
由线性方程组
A
0
的解空间的维数，得
dim<
/p>
Ker
(
)<
/p>
4
2
2
3
．设
{
1
,
2
,
3
,
4
}
是
V
4
的标准基，线性变换
关于此基的矩阵是
1
1
A
1
2
0
2
2
2
2
1
< br>5
1
1
3
5
2
求
的象
Im(
)
与
Ker
(
)
。
3
解：解齐次线性方程组
A
X
0
得基础解系
{
1
,
2
}
其中
1
(
2,
< br>
3
2
,1,
< br>0)
2
(
1,
2,
0,1)
，从而
Ker
(
)
L
(
< br>1
,
2
)
),
(
)
又由于
A
的秩为
2
，知
(
1
),
(
<
/p>
2
),
(
3
的秩为
2
，且
(
1
),
(
2
)
线性无关，它<
/p>
4
们构成
Im(
)
的一个基，从而
Im(
)
L
(
(
1
),
(
2
)).
4
．
设
是向量空间
C
2
的线性变换，
在基
1
,
2
下的矩阵是
< br>
2
A
5
4
2
试找出
的所有不变子空间。
0
4
解：
C
2
和
是
< br>的两个不变子空间，那么其余的不变子空间都是一维的。由于
< br>
0
f
(
)
I
A
16
(
4
i
)(
4
i
< br>)
1
2
i
2
2
因此当
1
4
i
时，我们得
A
的属于
1
的特征向量
1
。
1
2
i
< br>
2
当
2
4
i
时，得特征向量
2
< br>
令
1
2
1
(1
<
/p>
2
i
)
2
,
2
2
1
(1
2
< br>i
)
2
.
那么
W
1
L
(
<
/p>
1
)
和
W
2
L
(
2
)
是
的另两个不变子空间
.
5.
设数
域
F
上向量空间
V
的线性变换
关于基
1
,
2
,
3
的矩阵是
4
< br>（
1
）
A
5
6
1
（
2
）
A
4
6
2
< br>
（
3
）
A
1
1
5
7
9
3
7
7
6
1
< br>2
2
3
4
4
8
7
15
5
6
试找出
的一个不变子空间。
1
5
解：
（
1
）
因为
1
是
A
的属于特征根
1
的特征向量，
所以
L
(
1
2
3
)
是
的不变子空
1
间。
1
（
2
）
2
是
A
属于特征根
3
的特征向量，所以
L
(
1
2
2
2
<
/p>
3
)
是
的不变子空间。
2
（
3
）因为
A
的特征根是三重根
1
所以
V
特征子空间
V
1
就是
的不变子空间。
6
．
在
F
3
中定义线性变换如下，试求
的特征根和特征向量。
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
(
x
1
x
2
2
x
< br>3
,
2
x
2
x
3
,
x
1
x
2
3
x
3
)
6
解：设
关
于
F
3
的标准基
1
,
2
,
3
,
的矩阵是
A
，则
1
1
3
A
0
2
1
< br>
1
1
3
A
的特征多项式为
< br>
1
1
2
I
A
0
2
1
1
1
3
< br>所以
A
的特征根为三重根
1
2
3
2
。解方程组
(2
I
A
)
X
0
k
(1,1,
0)
k
1
k
2
,
k
< br>0
，得特征向量
7
．
设
是
F
3
的一个线性变换。
已知：
(1,
0,
0)
(5,
6,
3),
(0,1,
0)<
/p>
(
1,
0,1),
(0,
0,1)
(1,
2,1)
试求：
的全部特征
根及特征向量。
7
解：
关于
标准基
1
,
2
,
3<
/p>
的矩阵为
5
A
6
3
1
0
1
1
< br>2
1
3
那么
A
的特征多项式为
I
A
(
2)
，且特征根为
1
2
3
2
解齐次线性方程组
(2
I
A
)
< br>x
0
，得出特征向量为
k
1
(1,
3,
0)
k
2
(0,1,1),
即
k
1
1
(3
k
1
<
/p>
k
2
)
2
k
2
3
这里
k
1
,
k
< br>2
不全为零。
8
．设
<
/p>
1
,
2
,
3
是
F
3
的一个基，令
1
1
2
2
2
< br>3,
2
2
1
2
2
<
/p>
4
3,
3
2
1
4
2
2
< br>3
3
L
(
F
)
，且
(
l<
/p>
1
1
l
2
2
l
3
3
)
l
1
1
l
2
2
<
/p>
l
3
3
求：
的特征根与特征向量。
8
解：由条件
(
i
)
i
,
i<
/p>
1,
2,
3<
/p>
1
故
关于基
1
,
2
,
3
的矩阵为
A
2
2
< br>
2
2
4
2
4
2
于是求出<
/p>
A
的特征根
为
1
<
/p>
2
2,
3
7
当
1
2
< br>
2
时
，
解
齐
次
方
程
组
(2
I
<
/p>
A
)
X
0
，
得
出
特
征
向
量
为
k
1
(
2,1,
0)
k
2
(2,
0,1)
=
(
2
k
1
2
< br>k
2
)
1
k
1
2
k
2
3
k
1
,
k
2
不全为零。
当
3
7
时
，
< br>解
齐
次
方
程
组
(
7
I
A
)
X
0
k
(
1
,
k
< br>
1
2
k
2
k
k
0
2
2
，
得
特
征
向
量
为
3
9
．设
A
4
4
1
1
8
0
0
，试由
A
的特征多项式和特征根写出
A
1
的伴随阵
(
A
<
/p>
1
)
的特
2
征多项式和特征根。
9
解：因
I
A
(<
/p>
2)(
<
/p>
1)
A
的特征根为
2,1,1
。
< br>今
(
A
1
)(
A
1
)
A<
/p>
1
I
1
2
所以
(
A
)
1
A
A
< br>
又
A
2,
所以
(
A
)
的特征多项式是
< br>1
2
1
2
3
1
g
(
)
I
(
(
1
2
3
)
< br>A
(
)
(
2
)
I
A
2
)
(
2
2)(
2
1)
(
1)(
1
2
1
2
,1
。
1
2
)
3
由此
g
(
x
)
的特征根为
<
/p>
,