负数乘负数
-
负数的本质与有理数乘法法则——从数学的角度解析“负负得
正”
作者：文内附
来源：文内附
更新：
2014/9/3
栏目：
数学论文
【热点导读】：
中学语文教学方法的探讨
语文教师角色的转换
初中语文教学
运用
“
情
感教育
”
之
负数的本质与有理数乘法法则
——从数学的角度解析“负负得正”
更
多精
品源
自
3
e d u
课
件
负数的
本质与有理数乘法法则
——
从
数学
的角度解析
“
负负得正
”
曾小平
石冶郝
(
首都师范大学初等
教育
学院，北京
100048)
一、有理数乘法法则需要数学证明
有理数乘法法则是初中数学的重要内容，
“
负负得正
”
是其中的难点，
研究表明，
虽然
学生
都能准确记忆有理数乘法法则
，并能依据法则进行计算，然而绝大多数学生都不能举
出实例来验证法则，更没有学生能
够解释法则背后的数学道理，这也就是说，学生仅仅掌
握了有理数乘法的算法，且只能遵
循算法进行机械计算，并没有真正理解其中的算理，
导致这种现状的原因可能是多方面的，然而本文只探索有理数乘法的算理是什么，即
法则怎么来的，笔者带着这一问题查阅了现行各版本的
初中数学
教材，发现各版本教材只
给出了有理数的
乘法<
/p>
法则，而没有给出其中的理由．但教材为了让学生发现有理数乘法法
则，创设了一个生活化的数学情境，作为脚手架来帮助学生学习法则，
比如，人教版教材创设的是
“
蜗牛爬行
”
的情境，一只蜗牛沿着直线
Z
爬行，它现在
的位置恰好在
f
上的点
O
．
让学生根据生活经验推断：
如果蜗牛一直以每分钟
2<
/p>
厘米的速
度向右／左爬行，
3
分钟后／前它在什么位置，在此情境中，
“
被乘数
”
、
“
乘数<
/p>
”
和
“
积
”
涉及
3
个
物理
量（速度、时间和位移），每个量有
3
个基准（基准点
O
、约定正方向和负
方向），三者关系比较复杂，弄得学生昏头转向，苏教版、浙教版教材也是采用类似的情
境来引入有理数乘法的．由于这类情境中的关系极为复杂，学生并不感兴趣，更不可能从
中归纳概括出有理数乘法法则．
再如，
北师大版教材采用了归纳模型，
即让
学生在计算
（
-3
）
< br>×3=-9
、
（
-3
）
×2=-6
、
（
-3
）
×1=-3
、
（
-3
）
x0=0
的基础上，让学生猜想（
-3
）
×
（
-1
）
=?
、（
-3
）
×
（
-2
）
=?
、（
-3
）
×
（
-3
）
=?
等算式的结果，进而归纳出有理数乘法法则．而华东师大版教材
采用的是相反数模型，即从算式
3x2=6
和（
-3
）
x2=-6
出发，得到
结论
“
两个数相乘，
把一个因数换成它
的相反数，所得的积是原来积的相反数
”
，并用此结论计算
3×
（
-2
）
=?
和
(-3)×
（
-2
）
=?
，进而概括出有理数乘法法则．然而，学生很难接受这两种模型，
因为
< br>“
两个因数变小了，而乘积却变大了
”
< br>，这与学生已有经验相矛盾。
其实，有理数乘法法则并非人为规定，也不是根据生活实例和计算结果归纳出来的，
而是由正负数的数学本质和运算的定义决定的．也就是说，有理数乘法法则是依赖于数学
的特征和数学和谐运转的需要，它的正确性可以用数学逻辑来证明．遗憾的是，现有证明
都用到抽象代数中集、群、环的相关理论，非专业人士很难理解，不可能用于
初中数学
教
学。
然而，只要我们从负数的数学本质人手，根据整数四则运算的
常用结论，可以证明有
理数乘法法则．该证明难度不大，比较轻松地突破了
“
负负得正
”
，
初中
学生容易理解．同
时，从数学出发用推理的方
式证明有理数乘法法则，可以弥补上述教材所采用的归纳方法
的逻辑缺陷。
二、负数的
数学
本质与有理数乘法法则
在非负数范围内，加法可以畅通无阻地进行，即任何两个非负数相加，其结果是非负
数，可是，在非负数范围内，减法却不能畅通无阻地进行，当减数大于被减数时差不是非
负数．然而，减法和加法互为逆运算，应当具备同样的性质，其地位才是对等的，因此，
要适当延伸非负数，即增加一些新的数，得到一个更广阔的范围，在这个范围内，减法可
以畅通无阻地进行，
而原来能在非负数范围内进行的四则运算仍然保持原
来的结果和运算
律（加法和
乘法
的交换
律、结合律以及乘法对加法的分配律）。
1
．负数的数学本质
负数最早出现在中国古代数学名著
《
九章算术》
的
“
方程术
”
中，
在用加减消元法解多
元
一次方程组时，为了表示小数减大数的运算结果，便引入了负数．后来，魏晋时期的数
学
家刘徽在
《九章算术注》
中对负数的出现作了解释，
“
两算得失相反．
要令正负以名之
”
，
著名数学家柯朗在《什么是数学》中进一步解释道
：
“
引进了符号
-1
< br>，
-2
，
-3
< br>，
…
以及对
<
br>-b ×(-b)=(0-a×(-b)=0×(-b)-a× -b
<
br>-ab
b
的情况，定义
b-a=-(a-b)
．这保证了
减法
能在正整数和负整数范围内无限制的进
行。
”
由此可
见，负数的产生，是源于
减法
的需要，负数的本质是小数减去大
数所得的差，
即负数
c=-(a-b)=b-a
（此时
b
）．举个例子来说，在非负数范围内，我
们没办法计
算
5-8
，但可以尽量将它
化简，即根据差不变的性质，得到
5-8=0-3
．把
0-3
看做一个
新的数，简单记作
-3.
而原来在非负数范围内可以进行的减法还按原来的方法进行，比如
8-5=3-0=0+3=3.
更一般的，
数学
上规定形如
3(=0+3)
、
5(=0+5)
这样的数叫做正数，
形如<
/p>
-3(=0
—
3)
、
-5(=0-5)
这样的数叫做负数，把正数、零和负数统
称为有理数。
2
．有理数乘法法则的推导
在有理数范围内，借助负数的本质，可将有理数乘法转化为非
负数乘法来讨论，而且
该过程并不复杂（但要事先规定：零乘任何数都等于零）．为了论
述方便，我们用
a
，
6
表示任意两个正有理数，而用
-a
，
表示任意两个负有理数，对任意两个非零有理数相
乘
的四种情况分别介绍如下：
(1)
正数
×
正数，仍然按照非负数的方式进
行，即
axb=ab
：
(2)
正数
×
负数，
a×(-b=ax(O-b)=a×O-a×b=0-
ab=-(ab-O)=-ab
（其中第二个等
号成立的依据是
乘法分配律，第四个等号成立的依据是负数的定义）；
(3)
负数
×
正数
，
(-a)xb=(O-a)xb=Oxb-
axb=0-ab=-(ab-O)=-ab
；
(4)
负数
×
负数，（
-a
）
（
-b
）
=O-a
（
）
=-a
（一
6
）
=-
（
）
=-
（
O-ab
）
=ab-O=ab(
其中，第五个等号成立的依据
(2)
中的结果，
第六个和第七个等号成立的依据是负数的定义）．
可见，
“
负负得正
”
并非想象的那么复杂，也并非不可证明．还可以验证，在有理数范-
-